Aula 09 - Derivativos Precificação

Question 1

Conceitos de Derivativos e seus significados (long, short, operações puras, OTM, ATM e ITM)

Answer 1

comprado (em put ou call) você está “long”
vendido (em put ou call) você está “short”.
 As operações de compra ou venda de opções “puras” são posições longs
ou shorts a descoberto.
Out of the Money (OTM) – Significa FORA do dinheiro. Para uma call, significa
que o preço do ativo-objeto está MENOR do que o strike (direito de comprar
a R$ 42,00 e preço do ativo no mercado R$ 38). Para uma put é o contrário,
o strike estaria abaixo do valor de mercado (direito de vender por R$ R$ 42 e preço do ativo em R$ 46).
At the Money (ATM) – Significa que a opção tem strike igual ao valor de
Mercado. São opções com boas chances de exercício e, portanto, valem
mais.
In the Money (ITM) – Exatamente o contrário da OTM. É altamente provável
o exercício, pois seria, por exemplo, um direito de comprar uma ação por R$
42,00 que está cotada a R$ 46. Ou o direito de vender uma ação por R$ 42,00
que está cotada a R$ 38,00. Essas opções costumam ter valor mais elevado.

Question 2

O que é Lançamento coberto

Answer 2

É quando o investidor tem a ação (ou compra no mercado) e lança uma opção de compra buscando apenas uma taxa de juros sobre o valor do ativo

Question 3

O que é Trava de Alta e Trava de Baixa?

Answer 3

Imagine a ação negociada a R$ 40,00, você compra uma opção de compra a R$ 38,00 por R$ 1,40 (long call) e vende uma opção de compra a R$ 42,00 por R$ 0,40 (short call).

A trava de baixa é exatamente o contrário. Imagine a ação negociada a R$ 40,00, você compra uma opção de compra a R$ 42,00 por R$ 0,40 (long call) e vende uma opção de compra a R$ 38,00 por R$ 1,40 (short call).

Nesse caso, o lucro é travado em R$3,00 e a perda é travada em R$1,00 que é o custo da operação

A trava de alta também pode ser feita comprando opção de venda a R$ 38,00 e
vendendo opção de venda a R$ 42,00.
A trava de baixa também pode ser feita comprando opção de venda a R$ 42,00 e
vendendo opção de venda a R$ 38,00.

Question 4

O que é Long Butterfly (borboleta comprada)?

Answer 4

Imagine um ativo cotado a R$ 40,00, você compra uma opção de compra (long call) com strike em R$ 38,00 por R$ 2,20, imediatamente compra outra opção de compra com strike em R$ 42,00 por R$ 0,80. Agora venda 2 opções de compra com strike em R$ 40,00 por R$ 1,40 cada uma.

Nesse caso o prejuízo é o custo da operação R$0,20 e o lucro é R$1,80 se a ação fechar a R$ 40,00, você não será exercido e poderá exercer a opção de
comprar por R$ 38,00.

Question 5

O que é Long Straddle (straddle comprado)?

Answer 5

Imagine um ativo cotado a R$ 40,00, você compra uma opção de compra (long call) com strike em R$ 40,00 por R$ 0,40 e compra uma opção de venda (long put) com strike em R$ 40,00 por R$ 0,40.

Essa operação é indicada para quem acha que vai haver forte oscilação, pois se o mercado ficar parado não haverá exercício e você perderá o que gastou para montar a posição (R$ 0,80).

Question 6

O que é long Strangle (Strangle comprado)?

Answer 6

Imagine um ativo cotado a R$ 40,00, você compra uma opção de compra (long call) com strike em R$ 42,00 por R$ 0,20 e compra uma opção de venda (long put) com strike em R$
38,00 por R$ 0,20.

Question 7

Qual a formula da paridade put e call (Put Call Parity) no BLACK-SCHOLES-MERTON?

Answer 7

𝑆 + 𝑝 = 𝐾/(1 + 𝑟𝑓)elevado a “𝑡” + c

ou em capitalização contínua

𝑆 + 𝑝 = 𝐾/𝑒 elevado a (“𝑟𝑓” “𝑡”) + c

O preço do ativo é S; p = preço da put; K= strike; S*= preço do ativo na data de exercício; c = preço da call; rf= taxa de juros do ativo livre de risco; t = tempo em anos.

Question 8

Fórmula para um opção de compra no modelo black and shoes e algumas definições?

Answer 8

A fórmula para uma opção de compra é:
𝐶(𝑆,𝑡) = 𝑆𝑁(𝑑1)−𝐾.𝑒 elevado a (“−𝑟𝑡”) 𝑁(𝑑2)

C(S,t) é o preço de uma opção de compra europeia como função do tempo e do preço da ação. E P(S,t) é o preço de uma opção de venda europeia.
K é o preço de exercício.
r é a taxa de juros livre de risco anualizada, capitalizada continuamente.
µ é a tendência de S (é a taxa com que a média de S muda).
Σ é a volatilidade da ação, a raiz quadrada da variação quadrática do logaritmo natural do S.
t é o tempo em anos, usa-se agora = 0 e vencimento = T. O t abaixo significa o tempo que falta para o vencimento.
N(x) é a função de probabilidade acumulada de uma variável normal padronizada.

Question 9

Qual a fórmula de D1 e D2 da fórmula de put e call de black and scholes?

Answer 9

𝑑1 = {𝑙𝑛 (𝑆/𝐾) + (𝑟 +𝜎2/2) 𝑡} / 𝜎√𝑡
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√t

µ é a tendência de S (é a taxa com que a média de S muda).
Σ (𝜎) é a volatilidade da ação, a raiz quadrada da variação quadrática do logaritmo natural do S.

Question 10

Qual a fórmula de put no black and scholes?

Answer 10

𝑃(𝑆,𝑡) = 𝐾.𝑒 elevado a “−𝑟𝑡” 𝑁(−𝑑2) −𝑆𝑁(−𝑑1)

Question 11

Quais são as premissas do modelo Qual black and scholes?

Answer 11

É possível emprestar e tomar emprestado a uma taxa de juros livre de risco constante e conhecida.
O preço segue um movimento Browniano geométrico com tendência
(variação das médias) e volatilidade constantes.
Não há custos de transação.
A ação não paga dividendos.
Não há restrições para a venda a descoberto.
Não existem oportunidades de arbitragem.
O preço dos ativos tem distribuição lognormal.
A volatilidade do ativo é o único item da fórmula que não é diretamente observado no mercado, portanto deve ser estimado. A forma mais comum é usar o desvio padrão amostral do ativo

Question 12

Como converter a taxa discreta em taxa contínua, que é usada na black and scholes?

Answer 12

𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 = 𝑙𝑛(1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎)

Question 13

Quais são as vantagens e desvantagens do modelo black and scholes?

Answer 13

Precisão: Uma das maiores vantagens do modelo Black-Scholes é a precisão na
determinação do valor teórico das opções
Velocidade: O modelo Black-Scholes é uma forma rápida e eficiente de
determinar o valor de uma opção

Flexibilidade: O modelo Black-Scholes é flexível e pode ser usado para uma
ampla gama de estratégias de negociação de opções (com adaptações).
Amplamente aceito no mercado: O modelo Black-Scholes é um modelo
amplamente aceito no setor financeiro. .
Modelo contínuo: O modelo Black-Scholes é um modelo contínuo, o que significa que pode ser utilizado para determinar o valor das opções em qualquer momento.
Fornece um benchmark: O modelo Black-Scholes fornece uma referência para o preço de uma opção.

Desvantagens do modelo B&S

Pressupostos: O modelo Black-Scholes baseia-se em vários pressupostos que podem não ser verdadeiros em cenários do mundo real.
Volatilidade Implícita: O modelo Black-Scholes requer a entrada de um valor de
volatilidade implícita, que não é diretamente observável no mercado.
Aplicabilidade Limitada: O modelo Black-Scholes só é aplicável, sem ajustes, a
opções de estilo europeu, que possuem datas de exercício específicas. Não pode
ser utilizado para precificar opções do tipo americano, que podem ser exercidas a qualquer momento antes do vencimento. Além disso, não é adequado para opções de precificação de ativos que não seguem uma distribuição log-normal, como commodities ou moedas.
Ineficiências de Mercado: O modelo Black-Scholes assume que o mercado é
eficiente, o que significa que toda a informação relevante é refletida no preço de
mercado do contrato de opção.
Sensibilidade aos inputs: O modelo Black-Scholes é altamente sensível aos seus inputs, particularmente ao valor da volatilidade implícita.

Question 14

Como se calcula o preço da ação usando o modelo binomial?

Answer 14

precisamos de algumas premissas (no caso, para
movimentos no período de 1 ano):
 Valor inicial do ativo (por exemplo $ 50)
 Tamanho do movimento para cima (por exemplo 25%, U=1,25)
 Tamanho do movimento para baixo (25%, D=0,8 ou 1/1,25)
 Probabilidade de se mover para cima (P(U) = 60% ou 0,6)
 Probabilidade de se mover para baixo (P(D) = 40% ou 0,4).
O preço esperado de R$ 53,50 é dado pela média ponderada dos preços em cada cenário

Para cálculo do preço é preciso analisar o histórico de volatilidade do ativo.
Para o cálculo da probabilidade usa a seguinte forma:
𝑅𝑖𝑠𝑘 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑎𝑛 𝑢𝑝 − 𝑚𝑜𝑣𝑒 = 𝜋𝑈 = [1+ 𝑅𝑓 − 𝐷]/ 𝑈 − 𝐷
𝑅𝑖𝑠𝑘 𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑜𝑓 𝑎𝑛 𝑑𝑜𝑤𝑛 − 𝑚𝑜𝑣𝑒 = 𝜋𝐷 = 1 − 𝜋U

Question 15

Qual a fórmula para precificar opções com binomial?

Answer 15

Precisamos construir um portfólio sem risco (riskless portfolio) com a ação objeto LONG (comprada) e a opção SHORT vendida. Para ele ser sem risco, o resultado deverá ser igual tanto se a ação subir quanto se cair.
𝑉1+ = ℎ × 𝑆1+ − 𝐶1 +
𝑉1− = ℎ × 𝑆1− − 𝐶1−

E fazer V1+=V1- para achar h que é o número de ações

𝑉1+ = 𝑉1− =17,50/22,5 × 62,50 − 17,50 = 31,11 = 17,50/22,50 × 40 = 31,11
Esse é o valor do portfólio no ano 1, para saber no período zero, teríamos:
(𝑉0) = 31.1111/1,071 = $29,075
Agora nós conseguimos saber o valor a call option HOJE, no período zero. Sabemos que precisamos comprar 17,5/22,5 ações (0,77778 ações) e sabemos que as ações estão
valendo 50 reais hoje.
Portanto temos, em valor das ações:
𝑉0 = 17,50/22,5 × 50 − 𝐶0 = 29,075 = 38,888 − 𝐶0
𝐶0 = $ 9,81

Question 16

Vantagens e Desvantagens do Modelo Binomial

Answer 16

Flexibilidade: As árvores binomiais são flexíveis. Elas podem ser usadas para
precificar uma ampla gama de opções, incluindo opções americanas, onde o titular tem o direito de exercer a opção a qualquer momento antes de seu vencimento.
Fácil de entender: As árvores binomiais são relativamente fáceis de entender,
Precisão: As árvores binomiais são conhecidas por sua precisão no apreçamento
das opções. O modelo leva em consideração múltiplos fatores que podem impactar o preço de uma opção.
Transparência: As árvores binomiais são transparentes, o que significa que os traders podem ver facilmente como o preço de uma opção foi calculado.
Customizável: As árvores binomiais podem ser personalizadas para atender às necessidades específicas de cada trader.
Permite lidar com opções complexas: As árvores binomiais são capazes de lidar com opções complexas, como aquelas com múltiplos ativos subjacentes ou aquelas com retornos não lineares.

Desvantagens do modelo binomial:
Demorado e complexo: As árvores binomiais podem ser extremamente demoradas e complexas, especialmente quando se trata de modelar um grande número de etapas e de nós.
Precisão limitada: As árvores binomiais baseiam-se numa série de pressupostos para modelar o preço de uma opção, tais como o pressuposto da distribuição lognormal.
Flexibilidade limitada: As árvores binomiais são concebidas para modelar opções europeias, que têm uma data de expiração fixa. Isto significa que o modelo pode não ser adequado, ou precisa ser ajustado, para precificar opções americanas, que podem ser exercidas a qualquer momento antes do vencimento.
Pressuposto neutro ao risco: As árvores binomiais assumem um mundo neutro ao risco
Escalabilidade limitada: As árvores binomiais podem tornar-se difíceis de manejar ao lidar com um grande número de etapas ou estruturas de opções complexas.

Question 17

Derivada Parcial Delta δ de BS, significado?

Answer 17

Delta é nada mais é do que a
derivada parcial da função BS em relação ao preço da ação.
Ou seja, em termos discretos, mediria quanto o valor da opção variaria para cada aumento (ou redução) de R$ 1,00 no preço do ativo subjacente.

O Delta de uma opção de compra é sempre positivo (as variações são sempre na mesma direção) e o Delta de uma opção de venda é sempre negativo.

Imagine uma opção de compra ITM (in the Money). O preço de exercício é R$ 28,00 e a ação está cotada a R$ 32,00. O valor da opção de compra é de R$ 1,60. Se a ação variar para R$ 33,00, a opção deve subir, por hipótese, uns R$ 0,80 (para R$ 2,40), o que significa
delta 80% (R$ 0,80 de variação na opção, para R$ 1,00 de variação no ativo objeto

Question 18

O que significa a derivada parcial – Gama (gamma) – γ em BS?

Answer 18

O Gama seria a derivada segunda da função Black and Scholes, com relação ao preço do ativo objeto.
Ele mede, portanto, a sensibilidade do Delta (derivada primeira) à variação do preço.
O Gama serve para medir como o preço de uma opção se ajusta a essas alterações do Delta. O Gama é o mesmo para opções de compra, quanto para opções de venda, ou seja, quando o preço do ativo objeto varia, o Delta das opções de compra variam da
mesma forma que o Delta das opções de venda (na mesma direção).
Quanto maior for o Gama, maior será a variação no preço de uma opção caso haja uma alteração em seu Delta.

Question 19

O que significa a derivada parcial – Theta (Téta) – θ em BS?

Answer 19

O Theta seria a derivada parcial de BS em relação ao Tempo. Sua fórmula é muito mais complexa do que a fórmula do Delta, mas na prática são cálculos feitos por computador.
O Theta representa a taxa de mudança no valor de uma opção em função da passagem do tempo, ou seja, da aproximação da data de vencimento da opção.

Porém, no caso de uma opção ITM a maior proximidade do vencimento reduz a possibilidade de lucro com a volatilidade o que deve reduzir o preço da opção. O mesmo vale para a opção OTM, o que mostra que a passagem do tempo tira valor da opção.
O Theta tende a ser negativo, pois o preço da opção costuma diminuir à medida que o tempo passa

Question 20

O que significa a derivada parcial – Vega – ν em BS?

Answer 20

A grega VEGA mede o comportamento do prêmio da opção (preço) em relação às mudanças na volatilidade do ativo objeto.
Quanto maior for o Vega de uma opção, mais seu preço variará por conta de uma
alteração na volatilidade de seu ativo subjacente.
O VEGA é um número positivo, pois o aumento da volatilidade costuma trazer (tudo o mais constante) aumento no preço da opção, e vice versa. Lembre-se que é uma derivada parcial. Derivadas são variações no numerador e no denominador, se as variações forem
na mesma direção, a derivada tem resultado positivo

Question 21

O que significa a derivada parcial Rho – ρ em BS?

Answer 21

A grega Rho mede a variação no preço da opção a partir de uma variação nas taxas de juros.
Sabemos que as taxas de juros influenciam o custo de oportunidade das opções, e portanto seu preço.

Para termos uma correta noção do impacto das oscilações de taxas de juros nas opções, precisamos retornar à função de Put Call Parity, aquela estratégia montada para associar
os custos das opções, a partir de uma condição de não arbitragem.
𝑆 + 𝑝 =𝐾.𝑒 𝑟𝑓𝑡 + c
Na presença de uma taxa de juros maior, o fator K/erft diminui, portanto, para manter o equilíbrio, o preço da Put (opção de venda) deve cair e o da call (opção de compra) subir

Question 22

O que é o Delta Hedge?

Answer 22

O delta hedge é uma estratégia feita com opções cujo objetivo é reduzir ou cobrir perdas associadas aos movimentos de preços no ativo subjacente, compensando posições
vendidas e comprada.
Como exemplo, uma posição de comprada em opções de
compra pode ser hedgeada pela venda do ativo subjacente (ganha se ele cair com a ação e perde com a opção). O Delta é utilizado na estratégia para dimensionar o tamanho das posições long e short (compradas e vendidas)
O portfólio em quem o Delta Hedge é pleno, ou seja, está plenamente coberto para as oscilações do ativo subjacente é denominado Portfólio Delta Neutral (Delta Neutro).