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Einführung In Die Mathematik > 6. Kapitel > Flashcards

6. Kapitel Flashcards

1
Q

Was sind die Gegenstandsbereiche des Kenntniserwerbs?

A
  • Kenntnisse -> Begriffe (Was versteht man unter
    „Pyramide“)
    -> Lehrsätze (Lehrsatz des
    Pythagoras)
    -> Verfahren (Lösen einer linearen
    Gleichung)
    (Decken in der Summe den gesamten Stoffinhalt der Sekundarstufe 1 ab)
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2
Q

Was ist der didaktische Ort des Kenntniserwerbs?

A
  • Einführungsphase
  • Aneignungsphase
  • Übungsphase
  • Anwendungsphase
  • Kontrollphase

(Jede unterrichtliche Aktivität hat Lerneffekt & kann damit Kenntniserwerb initiieren)

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3
Q

Wie kann beispielsweise in der Einführungsphase Kenntnis erworben werden?

A
  • didaktischer Ort: Beginn einer Unterrichtseinheit oder Unterrichtssequenz
  • methodisches Ziel: Schaffen eines kognitiven Konflikts
  • Unterrichtsstil: inhaltsbezogener unterrichtlicher Zugang
  • Schülerverhalten: meist passiv nachvollziehend

-z.B. Wir haben ein Rechteck mit gleichgroßen Quadraten aus buntem Papier beklebt & haben Umfang des Rechtecks gemessen
-> Anknüpfen an bereits Bekanntes
-> Bereitstellen von notwendigem Wissen

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4
Q

Wie kann beispielsweise in der Aneignungsphase Kenntnis erworben werden?

A
  • didaktischer Ort: Beginn einer Unterrichtseinheit oder Unterrichtssequenz
  • methodisches Ziel: Wissenserarbeitung
  • Unterrichtsstil: entdeckendes Lernen
  • Schülerverhalten: aktives, selbstständiges Arbeiten

-z.B. Das Auslegen & Messen ist sehr zeitaufwändig. Wir wollen heute eine Möglichkeit kennenlernen, wie wir beides schneller ermitteln können (Umfang & Flächeninhalt Rechteck)
-> Erzeugung eines kognitiven Konflikts
-> konkrete Zielangabe als Voraussetzung eines erarbeitenden Unterrichts

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5
Q

Wie kann beispielsweise in der Übungsphase Kenntnis erworben werden?

A
  • didaktischer Ort: Beginn oder Ende einer Unterrichtseinheit oder Unterrichtssequenz
  • methodisches Ziel: Mechanisierung, Transfer
  • Unterrichtsstil: Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit
  • Schülerverhalten: aktiv

-z.B. Bearbeitung verschiedener Aufgabentypen z.B. formale Aufgaben, Eingekleidete Aufgaben, Mehrwertaufgaben (operatives Üben zur Festigung von Formelwissen)
- Quadernetze
-> Erkennen von Teilflächen

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6
Q

Wie kann beispielsweise in der Anwendungsphase Kenntnis erworben werden?

A
  • didaktischer Ort: Ende einer Unterrichtseinheit oder Unterrichtssequenz
  • methodisches Ziel: kulturelle Kohärenz
  • Unterrichtsstil: Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit
  • Schülerverhalten: aktiv
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7
Q

Wie kann beispielsweise in der Kontrollphase Kenntnis erworben werden?

A
  • didaktischer Ort: Ende einer Unterrichtseinheit oder Unterrichtssequenz
  • methodisches Ziel: Allokation
  • Unterrichtsstil: Einzelarbeit
  • Schülerverhalten: aktiv
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8
Q

Was ist der implizite Begriff?

A
  • betrachtet Ansammlung von Nadelbäumen
  • Eigenschaften dieser Nadelbäume können beschrieben werden
  • Begriffsbezeichnung „Wald“ ist nicht greifbar
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9
Q

Was für Formen von Begriffskenntnissen gibt es?

A
  • implizite Begriff
  • explizite Begriff
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10
Q

Was ist der explizite Begriff?

A
  • man betrachtet Ansammlung von Nadelbäumen
  • Eigenschaften dieser Bäume können beschrieben werden
  • Begriffsbezeichnung Wald ist greifbar
  • impliziter Begriff -> Zuordnung einer Begriffsbezeichnung -> expliziter Begriff
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11
Q

Was sind Besonderheiten vom expliziten Begriff?

A
  • jedem Begriff kann eine Begriffsbezeichnung entsprechend der gewählten Sprache zugeordnet werden
  • Menge in der Alltagssprache & Menge ind er Fachsprach (K={})
  • eine Begriffsbezeichnung ist häufig nicht nur eindeutig einem Begriff zugeordnet (Radius: als Bezeichnung für eine Strecke (Punktmenge), als Bezeichnung der Länge einer Strecke)
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12
Q

Was ist die Unterscheidung zwischen Begriffsinhalt & Begriffsumfang?

A
  • Begriffsinhalt: beinhaltet die definierenden Einzelmerkmale des Begriffs
  • Begriffsumfang: umfasst Objekte, auf die der Begriffsinhalt in seiner impliziten & expliziten Form angewendet werden kann
    -> nimmt Begriffsinhalt zu, so vermindert sich der Begriffsumfang & umgekehrt
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13
Q

Wie kann Begriffsumfang & Begriffsinhalt anhand eines Beispiels besser erklärt werden?

A
  • Baum hat Wurzeln, Stamm, Äste & grüne Objekte -> begriffsbestimmende Merkmale
    -> fügt man weiteres begriffsbestimmendes Merkmal hinzu (z.B. Blatt) so nimmt der Begriffsinhalt zu, aber Begriffsumfang nimmt ab
    -> Begriff „Nadelbaum“ fällt aus Begriffsumfang heraus
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14
Q

Was sind Stufen des Begriffsverständnisses?

A
  • intuitives Verständnis:
    o Begriff anhand konkreter Beispiele erkennen (Bild von Quader)
  • inhaltliches Verständnis:
    o definierende Merkmale erkennen können (Welcher Körper liegt vor? -> kreisrunde Grundfläche, Spitze -> beiden Merkmale definieren einen Kegel)
  • integriertes Verständnis:
    o Merkmale als Teil eines Begriffsnetzes erkennen können (Körper hat Spitze -> handelt sich um Pyramide oder um Kegel)
  • formales Verständnis:
    o Einbettung in einen axiomatischen Zusammenhang (Kegelstumpf als Teil eines Kegels)
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15
Q

Wie schaut die Grundvorstellung des Begriffserwerbs nach Jean Piaget aus?

A
  • vorhandene Begriffstruktur (Quader) -> Neufassung der Struktur -> Akkomodation (Kreiskegel) <- Äquilibration -> Assimilation <- Passung der Struktur (Rechtecksäule) <- vorhandene Begrifsstruktur
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16
Q

Wie lässt sich die Grundvorstellung des Begriffserwerbs beschreiben?

A
  • beginnt im Form einer Analyse der schon zur Verfügung stehenden kognitiven Strukturen
  • alte Strukturen werden so lange beibehalten, bis neue invariante Merkmale zugeordnet werden müssen & dadurch eine Korrektur der Begriffstruktur auslösen
  • wird das neue Objekt in vorhandene Begriffsstruktur eingeordnet, so spricht man von Assimilation (Ergänzung)
  • verlangt neues Objekt eine Anpassung der vorhandenen Begriffsstruktur so spricht man von Akkomodation (Erweiterung)
  • zwischen Akkommodation & Assimilation herrscht ein Fließgleichgewicht -> man spricht von Äquilibration
17
Q

Was ist ein Beispiel für Assimilation?

A
  • bestehendes Begriffssystem „Quader“:
    8 Ecken, 12 Kanten, rechte Winkel
  • neues Objekt (Platte) -> kognitive Wahrnehmungssystem wird bestätigt
  • Ergebnis: Die Platte hat 8 Ecken, 12 Kanten & nur rechte Winkel -> Platte ist ein Quader
18
Q

Was ist ein Beispiel für Akkomodation?

A
  • bestehender Begriffsinhalt zum Begriff „Geometrische Körper“: Ecken, Kanten & rechte Winkel -> bestehende Begriffsstruktur führt zum kognitiven Konflikt, es entsteht eine kognitive Diskrepanz
  • neuer Begriffsinhalt: „Kreisrunde Grundfläche“
    -> Begriffsumfang „geometrische Körper“ wird um den Begriff „Zylinder“ erweitert -> kognitive Diskrepanz wird damit gelöst
19
Q

Was bedeutet Akkomodation & Assimilation bezogen auf den Begriff „Baum“?

A
  • bestehende Begriffsstruktur: Wurzeln, Stamm, Äste -> Birnbaum: Assimilation -> Begriffsumfang: ergänzt durch Birnbaum
  • Begriffsinhalt: Wurzeln, Stamm, Äste, Nadeln (Änderung) -> Tanne: Akkomodation -> Begriffsumfang: Laubbaum, (Nadelbaum)
20
Q

Was ist ein Beispiel für Äquilibration?

A
  • Begriffsinhalt - Wahrnehmung der Umwelt - Begriffsumfang (kognitive Diskrepanz zwischen Inhalt & Umfang)
  • Ziel: Ausgleich der Diskrepanz durch selbstregulatorische Aktivität des Individuums; Ausgleich der Diskrepanz = Lernprozess
21
Q

Warum ist die kognitive Diskrepanz ein Initiator eines Lernprozesses?

A
  • Wann erzeugt man einen kognitiven Konflikt?
    1. Bedingungen:
    o Bereitschaft zur Akkomodation/Assimilation
    o keine Bindung an eine Altersstufe
    o keine Einschränkungen bezüglich kognitiver Entwicklung
    o interkulturell
  • Warum erzeugt man einen kogn. Konflikt?
    2. Merkmale:
    o Vernetzung von Verhaltensschemat & kogn. Schemata
    o treibende Kraft aller kogn. Aktivitäten
    o Regulierung der körperlichen Entwicklung
    o Beeinflussung des Umgangs mit der physikalischen Welt
    o Förderung der Kompetenz im sozialen Umfeld
  • Grundgedanke: kogn. Konflikt im Zusammenhang mit einem Lernprozess bezeichnet Prozess, der ausgelöst wird, wenn SuS auf Informationen treffen, welche sie nicht kognitive (wie gewohnt) verarbeiten können
22
Q

Was sind Beispiele für kognitive Konfliktstrukturen (kogn. Diskrepanz)?

A
  • Beispiel „Gebäck“: Kognitives Schema
    -> Brot -> weich, biegbar
    -> hart, nicht formbar -> Keks
  • Beispiel „Gern haben“: Verhaltensschema
    -> Eltern -> Vater, Mutter
    -> Partner, Kinder -> Familie
  • Addition von ungleichnamigen Brüchen:
    o Addition gleichnamiger Brüche ist bekannt
    o Kogn. Konflitk: Addition zweier Brüche mit ungleichem Nenner
    o bestehende Begriffsstruktur passt nicht
    o SuS erkennt Problematik
    o SuS ist bereit für Lernprozess
23
Q

Was ist ein Theorem?

A
  • Darstellung als widerspruchsfreie logische Aussage
  • Bezug auf bereits bekannte Axiome, Definitionen & Sätze
  • Herleitung mittels Beweis
24
Q

Wie läuft der mathematische Lehrsatz (Theorem) ab?

A
  • Voraussetzung:
    o verfügbares Begriffssystem
    o Verwendung von Fachsprache
    o Generalisierung
  • didaktische Ziele:
    o Lernen innerhalb der bestehenden Lehrsatzstruktur
    o Abstraktion aus konkreten Handlungen
    o Einordnung in ein Beziehungsgeflecht
    o Bindung an eine Modellvorstellung
    o Vermittlung einer möglichst hohen Abstraktionsstufe
25
Q

Wie schaut das Beispiel zur Unterrichtseinheit zu „Volumen geometrischer Körper“ zum Erwerb von Lehrsatz- & Verfahrenskenntnissen aus?

A
  • Volumen aller Körper lässt sich mit Schichtenmodell darstellen
  • Volumen von stumpfen Körpern: V=Gxh
  • Umschüttungsversuch: Vspitz=1/3xVstumpf
  • für alle Körper gilt also V=Gxh bzw. V=1/3xGxh
  • Formel zur Volumenberechnung hat die Bauart „Produkt“
    -> basiert auf dem Prinzip der Mobilität des Denkens
26
Q

Wie schaut das Beispiel zur Unterrichtseinheit zum „Lehrsatz des Pythagoras“ aus?

A
  • enaktiv: Auslegen der Beispielfigur mit Plättchen als Spezialfall
  • enaktiv-ikonisch: Hypothesenbildung durch Wiegen der drei Quadrate & Vergleichen der Gewichte
  • ikonisch-symbolisch: geometrischer Beweis
  • symbolisch: Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ist gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats (Generalisierung)
    -> basiert auf dem E-I-S-Prinzip
27
Q

Wie schaut das Beispiel zur Unterrichtseinheit zur „Quadratischen Ergänzung“ aus?

A
    1. TZ: geometrische Diskussion zum Begriff „Vollständiges Quadrat“
    1. TZ: Aussprache zum „Unvollständigen Quadrat“
    1. TZ: Transfer der geometrischen Erkenntnisse auf die Formel (a+b)^2=a^2+axb+axb+b^2
    1. TZ: Auffinden der Maße des zu ergänzenden Quadrats
      -> basiert auf der Vernetzung von geometrischen & algebraischen Kenntnissen
28
Q

Wie schaut das Beispiel „Schriftliche Multiplikation“ aus?

A
  • Zuerst Regeln: notieren zuerst die Null zur Kennzeichnung einer Zehnerstelle; wie bei der Addition schreiben wir entsprechende Stellenwerte untereinander
    -> Generalisierung: wie erfahren wir, wenn wir das Verfahren vereinfachen wollen? (Weglassen der Null)
    Können wir die Multiplikation auch mit der Einerstelle beginnen?
29
Q

Wie schaut das Beispiel zur Unterrichtseinheit zu „Das Produkt zweier negativer Zahlen ist stets positiv“ aus?

A
  • Variante 1: wir fordern Gültigkeit des Distributivgesetzes sowie die Gültigkeit des Permanenzprinzips (nutzt die Nullergänzung)
    (Permanenzprinzip: einmal getroffene Vereinbarungen sollen möglichst ständig gelten)
    -> Darstellung erfolgt formal-deduktiv
  • Variante 2: wir arbeiten mit einer Permanenzreihe; Die Differenz zum nachfolgenden Termwert beträgt (permanent) 3 -> diese Eigenschaft der Permanenzreihe wird beibehalten
    -> Darstellung erfolgt formal-induktiv
30
Q

Was ist das Beispiel zur Unterrichtseinheit zu „Näherungswert für Wurzel von 5“?

A
  • für Wurzel5 gilt: 2< Wurzel5 da 2^2<5
    -> als Gleichung kann man schreiben: (2+dreieckx)^2=(Wurzel5)^2
    -> Wert 2,25 ist ein besserer Näherungswert; noch zu prüfen, ob dieser Wert größer oder kleiner ist als Wurzel5
    -> ins Quadrat
    -> Verfahren (Iterationsverfahren) kann beliebig oft wiederholt & damit die Genauigkeit des Näherungswertes verbessert werden

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