Вопросы 3-6. Математической анализ. Сессия 1-й семестр. Flashcards
Заданная функция f, определенная на множестве D со значениями в множестве E.
Заданная функция f определенная на множестве D со значениями в множестве E - это некий закон по которому любому элементу из D ставится в соответствие единственный элемент из E.
Взаимно однозначное (биективное) отображение множества D в множество E
Взаимно однозначное (биективное) отображение множества D в множество E - это такое отображение при котором любому x ∊ D соответствует единственное y ∊ E , а разным x
отвечают (обязательно) различные y (или, что то же самое, любому y ∊ E отвечает единственное x ∊ D ).
Обратная функция. Примеры
Обратная функция - это отображение, определенное для функции, если отображение множества D в множество E взаимно однозначно, являющееся обратным данному: если отображение было из D в E, то обратным будет из E в D.
Примеры:
1) Для функции у=х³, обратной функцией является x = (y)^(1/3). Как для прямой, так для обратной функции и область определения и область значений есть R.
2) Для функции y = a^x (для определенности, будем считать a > 1) обратной функцией является x = logₐ y. Область определения прямой функции, в данном случае,
x ∊ R , область значений y ∊ (0,+∞). Область определения обратной функции y ∊ (0,+∞), область значений x ∊ R.
3) Для функции y = tgx обратной является x = arctgy. Прямая функция определена всюду на R , за исключением точек xₙ=(2n+1)π/2, n ∊ Z.
Область значений прямой функции - R . Область определения обратной функции - R , а область значений – интервал, (-π/2, π/2).
Другими словами, для определения обратной функции dыбирается только одна ветвь тангенса, иначе обратное соответствие не было бы однозначным (т.е. не было бы функцией)
Сложная функция (композиция отображений). Примеры
Сложная функция (композиция отображений) - это функция, которая получается из двух функций, если область значений одной (внутренней функции) сделать областью определения другой (внешней функции). Записать можно так:
y=h(x)=f(g(x)).
Примеры
1. Внутренняя функция f(x)=x^2, внешняя - g(y)= sin y. Сложная функция z=g(f(x))=sin(x^2).
2. Теперь наоборот. Внутренняя функция f(x)= sin x , внешняя g(y)=y^2 .
u=f(g(x))=sin²(x).
Основные элементарные функции (области определения и значений, монотонность, четность-нечетность, периодичность)
Основные элементарные функции:
- Степенные функции: y=x^a.
- Показательные функции: y = a^x.
- Логарифмические функции y = logₐ x.
- Тригонометрические функции
y = sin x ,
y = cos x,
y = tgx ,
y = ctgx.
- Обратные тригонометрические функции
y = arcsin x (D(y)=(-1, 1), E(y)=(-π/2, π/2); монотонно возрастает; нечетная; непереодична),
y = arccos x (D(y)=(-1, 1), E(y)=(0, π); монотонно убывает; общего вида; непереодична),
y = arctgx(D(y)=(-∞, ∞), E(y)=(-π/2, π/2); монотонно возрастает; нечетная; непереодична),
y = arcctgx (D(y)=(-∞, ∞), E(y)=(0, π); монотонно убывает; общего вида; непереодична).
Элементарная функция. Примеры элементарной и неэлементарной функций
Элементарная функция - это функция, построенная из основных элементарных функций и постоянных с помощью операций сложения, умножения и деления, а также композиции.
Функция y = sign(x) , определенная равенством
sign x=1, если x⩾0 и sign x=-1, если x⩽0.
Числовая последовательность. Значение формулировки “задать последовательность”. Рекуррентный способ задания последовательности
Числовая последовательность - это упорядоченное множество вещественных чисел, элементы которого пронумерованы натуральными числами.
Задать последовательность - значит указать правило, позволяющее по номеру n находить значение элемента последовательности.
Рекуррентно задать последовательность - значит определить первый элемент последовательности и правило, по которому (n+1)-й элемент последовательности вычисляется через n-й элемент.
Предел числовой последовательности. Основные свойства предела числовой последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности
Предел a числовой последовательности {xn} - это такое число a, что все члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки к числу a. Записывается так:
lim xn = a, x->∞.
Точная формулировка:
“Число a называется пределом числовой последовательности {xn} при n->∞,
если для любого, сколь угодно малого, положительного числа ε найдется такое,
достаточно большое, натуральное число N , что при n ∊ N выполняется неравенство
{lim xn = a |n->∞} <=> {∀ε>0 ∃N: n > N=>|xn -a|<ε}”.
Основные свойства предела числовой последовательности:
1. Теорема. Пусть xn = c, n = 1, 2,3,…, где с – постоянная (т.е. члены
последовательности не зависят от n . Тогда lim xn=c, x->∞.
2. Теорема (о единственности предела).
Если предел последовательности {xn} существует, то он единственен.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, что существует два различных предела последовательности {xn}:
lim xn = a, lim xn = b, n->∞, причем a ≠ b .
Пусть, для определенности, b>a. Выберем
ε = (b-a)/2>0.
Тогда по определению предела
∃N₁ : n > N₁ =>| xn - a |< ε.
∃N₂ : n > N₂ =>| xn - b |< ε.
Обозначим через N наибольшее среди чисел N₁ и N₂: N=max{N₁,N₂}, тогда при n ∊ N выполняются оба неравенства:
Следовательно
xn - a <(b-a)/2
xn - b >-(b-a)/2
Откуда
xn< (a+b)/2
xn>(a+b)/2.
Приходим к противоречию. Следовательно, наше предположение о существовании двух различных пределов было неверным и предел единственен.
3. Теорема (необходимое условие сходимости последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Итак, пусть последовательность {xn} сходится и ее предел равен
a : lim xn=a, n->∞. Зададим произвольное ε > 0 . По определению предела,
∃N > 0 : n > N => | xn - a |< ε => -ε < xn - a < ε => a-ε< xn <a+ε.
С другой стороны при n < N имеется конечное множество элементов . Наибольший из них обозначим M₁ , а наименьший – m₁. Обозначим, далее, через M наибольшее из чисел M₁ и a+ε, а через m – наименьшее из чисел m₁ и a-ε:
M=max{M₁, a+ε}, m=min{m₁, a-ε}.
Имеем ∀n : m ⩽ xn ⩽ M , т.е. последовательность {xn } ограничена и сверху и снизу, а значит ограничена.
4. Теорема (теорема Вейерштрасса или достаточное условие сходимости последовательности). Если неубывающая (невозрастающая) последовательность
ограничена сверху (снизу), то она сходится, причем ее предел равен ее точной верхней грани.
Геометрической интерпретацией предела последовательности может служить числовая прямая и отмеченные на ней число a, являющееся пределом, границы интервала a-ε и a+ε, а также элементы последовательности, которые с увеличением n приближаются к a и с N оказываются внутри интервала (a-ε, a+ε).
Число e (число Эйлера)
Число e (число Эйлера) - это число, равное пределу последовательности
lim ((1 + 1/n)^n),
при n->∞.
Экспонента. Обратная функция
Экспонентой называют показательную функцию с основанием в виде числа e: e^x. Обратной функцией является ln x (натуральный логарифм).
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм - это логарифм с основанием e: ln x. Обратной функцией является e^x (экспонента).
Гиперболические функции. Основные соотношение между гиперболическими функциями. Графики гиперболических функций
Гиперболический синус:
shx = (e^x - e^(-x))/2.
Гиперболический косинус:
chx = (e^x + e^(-x))/2.
Гиперболический тангенс:
thx = shx/chx.
Гиперболический котангенс:
thx = chx/shx.
Основные соотношение между гиперболическими функциями:
ch² x - sh² x = 1 ,
sh(2x) = 2shx * chx,
ch(2x) = ch² x + sh² x.
Графики гиперболических функций:
* cosh x (гиперболический косинус): График напоминает параболу, открытую вверх. Он симметричен относительно оси Y и имеет минимум в точке (0, 1). Функция всегда положительна и монотонно возрастает для положительных x и монотонно убывает для отрицательных x.
- sinh x (гиперболический синус): График похож на экспоненциальную функцию, но нечётный, то есть симметричен относительно начала координат. Он проходит через точку (0, 0) и монотонно возрастает.
- tanh x (гиперболический тангенс): График имеет S-образную форму. Он имеет горизонтальные асимптоты при y = 1 (когда x стремится к бесконечности) и y = -1 (когда x стремится к минус бесконечности). Функция монотонно возрастает.
- coth x (гиперболический котангенс): График также имеет S-образную форму, но обратную по сравнению с tanh x. Он имеет горизонтальные асимптоты при y = 1 и y = -1, и вертикальную асимптоту при x = 0. Функция монотонно убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, ∞).
