Экзамен по математическому анализу. Вопросы 18-26. Pt. 2.2

Question 1

Доказательство непрерывности sin x

Answer 1

Доказательство непрерывности sin x.
Очевидно, что функция является непрерывной в точке x=0: lim sin x = sin 0 = 0, x->0, т.е. при x достаточно близких к нулю значения этой функции будут сколь угодно близки к нулю. Рассмотрим произвольную точку x₀∈R. Приращению Δx аргумента соответствует приращение
Δy=sin(x₀+Δx) - sin(x₀)=2sin(Δx/2)*cos(x₀+Δx/2).
Функция 2cos(x₀+Δx/2) ограничена на R:
|2cos(x₀+Δx/2)|≤2,
а функция sin(Δx/2) - б.м. при Δx->0 по теореме о пределе сложной функции и в силу того, что lim sin x = 0, x->0. По теореме о произведении б.м. функции на локально ограниченную, Δy->0 при Δx->0, а последнее и означает непрерывность функции y=sin x в точке x₀. В силу произвольности выбора точки x₀, функция y=sin x непрерывна на R.

Question 2

Локальные свойства функции, непрерывной в точке x₀ (одно с доказательством)

Answer 2

Локальные свойства функции, непрерывной в точке x₀.
1) Теорема (о локальной ограниченности). Функция, непрерывная в точке x₀, локально ограничена в этой точке. Справедливость этой теоремы вытекает из теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей предел и определения непрерывности.
2) Теорема (о локальном знакопостоянстве). Если функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀)≠0, то существует не проколотая δ-окрестность точки x₀, в которой знак функции совпадает с её знаком в точке x₀.
Доказательство. Поскольку функция f(x) непрерывна в точке x₀,
∃lim f(x) = f(x₀), x->x₀. В силу теоремы о сохранении функцией знака предела, существует δ-окрестность точки x₀, в которой знак функции совпадает с f(x₀).

Question 3

Функция, определенная и непрерывная на данном интервале.
Функция f(x), определенная и непрерывная на полуинтервале [a, b).
Функция f(x), определенная и непрерывная на отрезке [a, b].

Answer 3

Функция, определенная и непрерывная на данном интервале, - это функция, непрерывная в каждой точке данного интервала.
Функция f(x), определенная и непрерывная на полуинтервале [a, b), - это функция, непрерывная на интервале (a, b) и правосторонне непрерывная в точке a.
Функция f(x), определенная и непрерывная на отрезке [a, b], - это функция, непрерывная на интервале (a, b), правосторонне непрерывная в точке a и левосторонне непрерывная в точке b.

Question 4

Теорема (о свойствах функции, непрерывной на отрезке)

Answer 4

Теорема (о свойствах функции, непрерывной на отрезке)
Если функция непрерывна на отрезке x∈[a,b], то она ограничена на этом отрезке. Примеры - см. прикрепленное фото

Question 5

Теорема (о связи непрерывности и достижении экстремумов)

Answer 5

Теорема (о связи непрерывности и достижения экстремумов). Если функция непрерывна на отрезке x∈[a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (m) и наибольшего (M) значений.

Question 6

Теорема (о достижении функцией промежуточных значений на интервале)

Answer 6

Теорема (о достижении функцией промежуточных значений на интервале). Если функция непрерывна на отрезке x∈[a,b] и принимает на границах этого отрезка различные значения: f(a) ≠ f(b), то в точках интервала x∈(a,b) она хотя бы один раз принимает любое значение, заключенное между ее значениями на границах отрезка:
∀μ: f(a) ≤ μ ≤ f(b), ∃c ∈ (a,b): f(c) = μ
(здесь для определенности полагается, что f(a)<f(b)).

Question 7

Теорема (о непрерывности функции, обратной к непрерывной и монотонной функции)

Answer 7

Теорема (о непрерывности функции, обратной к непрерывной и монотонной функции). Если функция f(x) непрерывна на множестве D (E - множество ее значений), то обратная функция f⁻¹(x) непрерывна на множестве E (D - множество ее значений).

Question 8

Точка x₀ разрыва функции f(x), определенной в некоторой проколотой окрестности точки x₀

Answer 8

Точка x₀ разрыва функции f(x), определенной в некоторой проколотой окрестности точки x₀ - это точка, в любой окрестности которой функция определена, а в самой точке - нет.

Question 9

Точка x₀ разрыва первого рода. Виды точек разрыва первого рода

Answer 9

Точка x₀ разрыва первого рода - это точка разрыва, для которой существуют конечные пределы lim f(x) = f(x₀+), x->x₀+, lim f(x) = f(x₀-), x->x₀-.
Виды точек разрыва первого рода:
1) f(x₀+) ≠ f(x₀-) - точка конечного разрыва (точка скачка). Разность Δ=f(x₀+) - f(x₀-) называется скачком функции.
2) f(x₀+) = f(x₀-) ≠ f(x₀), в частности, если f(x₀) не определено, - устранимая точка разрыва.

Question 10

Точка разрыва второго рода

Answer 10

Точка разрыва второго рода - это точка, для которой не существует хотя бы один из односторонних пределов lim f(x) = f(x₀+), x->x₀+, или lim f(x) = f(x₀-), x->x₀-.

Question 11

Точка бесконечного разрыва

Answer 11

Точка бесконечного разрыва - это точка, для которой один из односторонних пределов равен бесконечности.

Question 12

Асимптота

Answer 12

Асимптота - это прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении этой точки вдоль ветви в бесконечность.

Question 13

Критерии существования асимптот (горизонтальной, вертикальной, наклонной)

Answer 13

Критерии существования асимптот (горизонтальной, вертикальной, наклонной):
1) горизонтальная: существование одного из пределов lim f(x) = b, x->+∞ или lim f(x) = b, x->-∞;
2) вертикальная: lim f(x) = b, x->a+ или lim f(x) = b, x->a-;
3) наклонная: существование одного из пределов lim (f(x)-kx) = b, x->+∞ или lim (f(x)-kx) = b, x->-∞.

Question 14

Вывод формул для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты

Answer 14

Вывод формул для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты
Пусть график функции f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b. Найдем k и b. Через d обозначим разность ординат между точкой графика и точкой асимптоты: d=f(x)-kx-b.
Очевидно, что расстояние между графиком и асимптотой ρ стремится к нулю тогда и только тогда, когда d->0. Так как, по определению асимптоты lim ρ = 0, x->∞, то lim d = 0, x->∞. Выразим из выражения d коэффициент k:
k=f(x)/x - d/x - b/x.
Переходя в обоих частях неравенства к пределу при x->∞, получим:
k=lim f(x)/x, x->∞.
Теперь найдем b. Из того же выражения для d имеем:
b=f(x) - kx - d,
или, после переходе к пределу при x->∞,
b=lim(f(x)-kx), x->∞.
Если хотя бы один из полученных пределов не существует (в частности, бесконечен), то график не имеет (двусторонней) наклонной асимптоты.

Question 15

Производная функции y=f(x) в точке x₀. Геометрический смысл производной функции в точке. Физический смысл производной функции в точке

Answer 15

Производная функции y=f(x) в точке x₀ - это предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю:
f’(x₀)=lim (Δx)/(Δy), Δx->0.
Геометрический смысл производной функции в точке: производная функции f(x) в точке x₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции в этой точке по отношению к положительному направлению оси абсцисс, или, что то же самое, угловому коэффициенту касательной.
Физический смысл производной функции в точке: скорость движения материальной точки равна производной перемещения этой точки, как функции времени.

Question 16

Касательная к графику функции M. Уравнение касательной к графику функции

Answer 16

Касательная к графику функции M - это прямая, являющаяся предельным положением секущей MN графика функции f(x), при стремлении N к M вдоль графика. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке M(x₀; y₀):
y-y₀ = f’(x₀)*(x-x₀).

Question 17

Нормаль к графику функции в данной точке

Answer 17

Нормаль к графику функции в данной точке - это прямая, перпендикулярная касательной в данной точке.
Т.к. угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны равенством k₁=-1/k₂, уравнение нормали имеет вид
y-y₀ = (-1/f’(x₀)) * (x-x₀).

Question 18

Функция f(x), дифференцируемая в точке x₀

Answer 18

Функция f(x), дифференцируемая в точке x₀, - это функция, для которой в точке x₀ существует такая постоянная A, что приращение этой функции в точке при Δx->0 представимо в виде
Δy=AΔx+o(Δx).

Question 19

Теорема (о связи дифференцируемости и существования конечной производной) (формулировка + доказательство)

Answer 19

Теорема (о связи дифференцируемости и существования конечной производной). Функция f(x) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную. При этом A=f’(x₀).
Доказательство. Покажем сначала, что если функция дифференцируема в данной, то она имеет в этой точке конечную производную, причём f’(x₀)=A. Для этого разделим обе части равенства Δy=AΔx+o(Δx) на Δx:
Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx.
Переходя к пределу при Δx->0 в обеих частях неравенства и учитывая, что, по определению б.м. высшего порядка малости, lim o(Δx)/Δx =0, Δx->0, получим:
f’(x₀)=lim Δy/Δx, Δx->0 =A.
Покажем теперь, что если функция имеет в точке x₀ конечную производную, то она дифференцируема в этой точке, причем A=f’(x₀). Действительно, поскольку
lim Δy/Δx = f’(x₀), Δx->0 = 0,
по теореме о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой,
Δy/Δx = f’(x₀) + α(Δx),
где α(Δx) - б.м. при Δx->0. Умножив обе части уравнения на Δx, получим
Δy= f’(x₀)Δx + α(Δx)Δx.
Очевидно, что α(Δx)Δx имеет высший порядок малости по сравнению с Δx при Δx->0: α(Δx)Δx=o(Δx). Действительно,
lim ((α(Δx)Δx) / Δx) = lim α(Δx)Δx = 0, Δx->0.
Таким образом, справедлива формула
Δy= f’(x₀)Δx + α(Δx)Δx = AΔx + o(Δx),
где A=f’(x₀).

Question 20

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке) (формулировка + доказательство)

Answer 20

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке). Если функция дифференцируема в точке, то она в ней непрерывна.
Доказательство. Из определения дифференцируемости:
Δy= AΔx + o(Δx)
очевидно, что при Δx->0 Δy->0, но это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀.

Question 21

Правосторонняя производная функции y=f(x) в точке x₀. Левосторонняя производная функции y=f(x) в точке x₀

Answer 21

Правосторонняя производная функции y=f(x) в точке x₀ - это число, равное пределу отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю справа:
f’(x₀+) = lim (Δy/Δx), Δx->0+.
Левосторонняя производная функции y=f(x) в точке x₀ - это число, равное пределу отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю слева:
f’(x₀-) = lim (Δy/Δx), Δx->0-.

Question 22

Теорема (о связи односторонних производных с двусторонними)

Answer 22

Теорема (о связи односторонних производных с двусторонними). Функция f(x) имеет в точке x₀ конечную двустороннюю производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке обе конечных односторонних производных и они равны. При этом двусторонняя производная равна односторонним.

Question 23

Бесконечная производная функции в точке. Геометрическая интерпретация бесконечной производной

Answer 23

Бесконечная производная функции в точке - это производная, равная бесконечности.
Геометрическая интерпретация бесконечной производной: если f’(x₀)=∞, то касательная к графику функции f(x) в точке x₀ параллельна оси ординат и описывается уравнением x=x₀.

Question 24

Правила произведения константы и суммы, произведения, частного. Доказать два (помимо конст.)

Answer 24

Правила произведения константы и суммы, произведения, частного. Доказать два (помимо конст.)
Теорема (о производной константы). Производная постоянной равна нулю: C’=0.
Доказательство. Действительно, для функции y=C=const приращение в любой точке равно нулю, поэтому Δy/Δx=0 и lim Δy/Δx = lim 0 = 0, Δx->0.

Теорема (о производной суммы функций). Производная суммы функций u(x) и v(x) y=u(x)+v(x) в точке x₀ равна сумме производных:
y’(x₀) = u’(x₀) + v’(x₀).
Доказательство. Приращение функции y(x) равно:
Δy = y(x₀+Δx) - y(x₀) = u(x₀+Δx) + v(x₀+Δx) - (u(x₀)+v(x₀)) = Δu + Δv.
Поэтому
y’(x₀) = lim Δy/Δx = lim (Δu + Δv)/Δx = lim Δu /Δx + lim Δv/Δx = u’(x₀) + v’(x₀), Δx->0. Переход от предела суммы к сумме пределов осуществлен на том основании, что последние по условию теоремы существуют.
Что и требовалось доказать.

Теорема (о производной произведения функций). Производная произведения функций u(x) и v(x) y=u(x)v(x) в точке x₀ равна
y’(x₀) = u’(x₀)v(x₀) + u(x₀)v’(x₀).
Доказательство. По определению приращения функции:
Δu = u(x₀+Δx) - u(x₀), Δv = v(x₀+Δx) - v(x₀).
Следовательно
u(x₀+Δx) = u(x₀) + Δu, v(x₀+Δx) = v(x₀) + Δv.
Приращение функции y(x) равно
Δy = y(x₀+Δx) - y(x₀) = u(x₀+Δx)v(x₀+Δx) - u(x₀)v(x₀) = (u(x₀) + Δu)(v(x₀) + Δv) - u(x₀)v(x₀) = u(x₀)Δv + v(x₀)Δu + ΔuΔv.
Поэтому
y’(x₀) = lim Δy/Δx = lim (u(x₀)Δv + v(x₀)Δu + ΔuΔv)/Δx = u(x₀)lim Δv/Δx + v(x₀)lim Δu/Δx + lim ((Δu/Δx) * Δv) = u(x₀)v’(x₀) + u’(x₀)v(x₀), Δx->0. Переход от предела к сумме пределов осуществляется на том основании, что последние по условию теоремы существуют. Предел
lim ((Δu/Δx) * Δv) = lim (Δu/Δx) * lim Δv = u’(x₀)lim Δv = 0, Δx->0,
поскольку функция дифференцируема, а следовательно, непрерывна в точке x₀.

Теорема (о произведении частного). Пусть существуют производные функций u(x) и v(x) в точке x₀. Причем v(x₀) ≠ 0. Тогда существует также производная отношения этих функций y=u(x)/v(x) в точке x₀ и она равна:
y’(x₀) = (u’(x₀)v(x₀) - u(x₀)v’(x₀))/v²(x₀).

Question 25

Формулировка и доказательство теоремы о производной сложной и обратной функций.

Answer 25

Формулировка и доказательство теоремы о производной сложной и обратной функций.
Теорема (о производной сложной функции). Пусть функция v(x) дифференцируема в точке x₀, а функция u(v) - в точке x₀, причем её производная равна y’(x₀) = u’(x₀)v’(x₀).
Доказательство. Т.к. функция v(x) дифференцируема в точке x₀, её приращение представимо в виде
Δv = v’(x₀)Δx + o(Δx).
Т.к. функция u(v) дифференцируема в точке v₀, ее приращение представимо в виде Δu = u’(v₀)Δv + o(Δv).
Приращение сложной функции соответствующее приращению аргумента Δx, очевидно, равно приращению внешней функции. Таким образом,
Δy = u’(v₀)[v’(x₀)*Δx+o(Δx)] + o(Δv) = u’(x₀)v’(x₀)Δx + u’(v₀)o(Δx) + o(Δv).
Из выражения приращения Δv очевидно, что при Δx->0 Δv имеет либо тот же порядок малости, что и Δx, либо высший порядок малости (если v’(x₀)=0). В обоих случаях o(Δv) = o(Δx). Таким образом,
u’(v₀)o(Δx) + o(Δv) = o(Δx).
Имеем
y’(x₀) = (lim (u’(v₀)v’(x₀)Δx + o(Δx))/Δx) = u’(v₀)v’(x₀) + lim o(Δx))/Δx = u’(v₀)v’(x₀), Δx->0.

Теорема (о производной обратной функции). Пусть функция y=f(x) в некоторой окрестности точки x₀ имеет обратную функцию x=f⁻¹(x)=φ(y) и пусть существует конечная производная f’(x₀)≠0. Тогда существует также конечная производная φ’(y₀), где y₀=f(x₀), причем
φ’(y₀)=1/f’(x₀).
Доказательство. По определению производной,
φ’(y₀) = lim Δx/Δy = lim 1/(Δy/Δx).

Т.к. функция y=f(x) дифференцируема y=f(x) в точке x₀, то она непрерывна в этой точке, а значит, при Δx->0 Δy->0. Однако из этого не следует, что при Δy->0 обязательно Δx->0. Но, как мы знаем, функция, непрерывная в точке x₀ непрерывна в соответствующей точке y₀=f(x₀). В силу непрерывности функции x=f⁻¹(y)=φ(y), при Δy->0 Δx->0. Таким образом,
φ’(y₀)=lim 1/(Δy/Δx) = 1/(lim Δy/Δx) = 1/f’(x₀).

Question 26

Вывод формулы для производных константы, показательной, логарифмической, степенной, тригонометрический.

Answer 26

Вывод формулы для производных константы, показательной, логарифмической, степенной, тригонометрический.
Вывод производной постоянной.
Доказательство. Действительно, для функции y=C=const приращение в любой точке равно Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0. Поэтому Δy/Δx=0 и y’=lim Δy/Δx = 0.

Вывод производную показательной функции.
Доказательство. Найдем производную функции y=e^x. Выбрав любую точку x∊R и обозначив через Δx и Δy приращения аргумента и функции в этой точке, имеем:
y’=lim Δy/Δx=lim (f(x+Δx) - f(x))/Δx = lim ((e^(x+Δx)-e^x)/Δx = (e^x)*lim ((e^(Δx)-1)/Δx) = e^x, Δx->0,
в силу следствия второго замечательного предела lim ((e^t-1)/t) = 1, t->0, или соответствующего отношения эквивалентности: e^t -1 ~ t при t->0. Таким образом, производная экспоненты равна экспоненте.

Вывод производной логарифмической функции.
Доказательство. Найдем производную функции y=ln x.
y’=lim (Δy/Δx) = lim ((ln (x+Δx) - ln x)/Δx) = lim (ln (1+Δx/x))/Δx = lim (Δx/(xΔx)) = 1/x, Δx->0.
Здесь использовано отношение эквивалентности ln(1+t) ~ t при t->0.

Вывод производной степенной функции.
Найдем производную степенной функции x^α (x>0). Представим эту функцию в виде y = x^α = e^(ln (x^α)) = e^(αlnx). Мы получили сложную функцию, причем внутренняя - v=αln x, a внешняя - u=e^v. По формуле дифференцирования сложной функции, имеем:
y’ = (e^(αln x)) * (αln x)’ = (e^(αln x)) * (α/x) = (a/x) * x^α = αx^(α-1).

Вывод производной тригонометрических функции.
Найдем производную функции y=sin x.
y’ = lim Δy/Δx = lim (sin(x+Δx) - sin x)/Δx = lim (2sin Δx/2 * cos (x+Δx/2))/Δx = lim cos (x + Δx/2) = cos x, Δx->0.
cos’ x = lim (cos(x+Δx) - cos x)/Δx.
Но вместо разности синусов нужно подставить разность косинусов:
cos a - cos b = -2 sin ((a+b)/2) * sin ((a-b)/2).
Добавим вычисленные ранее суммы углов в эту формулу и получим следующее:
cos a - cos b = -2sin (x+Δx/2)*sin (Δx/2).
Теперь впишем, как и ранее, в формулу с лимитом, и, как в прошлый раз, перенесем 2 под Δx.
cos’ (x) = lim -sin(x+Δx/2) = -sin x, Δx->0.

Question 27

Связь производной арккосинуса и арксинуса

Answer 27

Связь производной арккосинуса и арксинуса:
arccos x = π/2 - arcsin x.
Отсюда
(arccos x)’ = - (arcsin x)’ = - 1/((1-x²)^1/2).

Question 28

Логарифмическое дифференцирование (предварительное логарифмирование) и его применение.

Answer 28

Логарифмическое дифференцирование (предварительное логарифмирование) и его применение.
Пусть требуется найти производную функции вида y=(u(x))^v(x). Эта функция не является степенной (показатель степени зависит от x) и не является показательной, поскольку основание степени зависит от x. Метод дифференцирования подобных функций рассмотрим на простом примере.
Пример. Продифференцируем функцию y=x^x. Для этого сначала прологарифмируем её:
ln y = ln x^x = xln x.
В результате использования известного свойства логарифма мы получили произведение двух функций. Продифференцировав теперь обе части равенства по переменной x, получим:
y’/y = ln x + x1/x = ln x + 1.
Производная левой части найдена по формуле дифференцирования сложной функции ln y(x) (внутренняя функция - v=y(x), внешняя - u = ln v), производная правой части - по формуле дифференцирования произведения. Теперь остается выразить y’:
y’ = y*(ln x + 1) = x^x * (ln x + 1).

Пример. Если нужно найти производную выражения, состоящего произведения нескольких членов, можно прологарифмировать выражение, использовать свойство логарифма суммы и использовать уравнение:
y’ = y*ln’ y.

Question 29

Производная высших порядков. Физический смысл второй производной.

Answer 29

Производная высших порядков. Физический смысл второй производной.
Производная 2-го порядка или второй производной функции y=f(x), дифференцируемая на [a, b] - это функция y’’=(y’)’.

Физический смысл второй производной. Ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени:
a = V’(t) = S’‘(t).

Question 30

Нахождение производной функции, заданной неявно (на примере)

Answer 30

Нахождение производной функции, заданной неявно (на примере).
Пример. Найдем производную функции y(x), заданной уравнением
ln (x+y) = xy.
Продифференцируем обе части неравенства по переменной x, ек забывая о том, что y является функцией этой переменной. Получим:
(1+y’)/(x+y) = y+xy’.
Действительной, в левой части исходного уравнения стоит сложная функция z = ln (x+y) переменной x. Внутренняя функция - v = x+y(x), внешняя - u=ln v. Производная внешней функции равна u’ = 1/v = 1/(x+y), производная внутренней - v’=1+y’. В правой части равенства находится произведение двух функций xy(x).
Теперь получим из полученного неравенства y’:
1/(x+y) + y’/(x+y) = y + xy
y’/(x+y) - xy’ = y - 1/(x+y)
(1/(x+y) - x)y’ = y - 1/(x+y)
Откуда выражаем y’.

Question 31

Нахождение первой и второй производных функции, заданной параметрически

Answer 31

Нахождение первой и второй производных функции, заданной параметрически.
Функция y = f(x) может быть задана системой уравнений:
x=φ(t),
y=ψ(t), t∊[a,b].
Используя теоремы о производной сложной и обратной функции, получим:
y’ₓ = y’ₜ*t’ₓ = y’ₜ/x’ₜ = ψ’(t)/φ’(t).
Итак, формула для вычисления второй производной функции заданной параметрически имеет вид:
y’‘ₓₓ=(y’ₓ)’ₜ/x’ₜ.

Question 32

Дифференциал dy функции f(x) в точке x₀

Answer 32

Дифференциал dy функции f(x) в точке x₀ - это величина, равная первому слагаемому в части формулы dy=f’(x₀)Δx (или dy=f’(x₀)dx), линейная относительно приращения аргумента Δx (или dx).
Формула вычисления дифференциала: dy=f’(x)*dx.

Question 33

Геометрический смысл дифференциала

Answer 33

Геометрический смысл дифференциала можно понять, рассмотрев уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀: y-y₀ = f’(x₀)(x-x₀). Нетрудно заметить, что f’(x₀)(x-x₀) = f’(x₀)Δx = dy. Тогда y-y₀ = dy. То есть дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в точке x₀, соответствующему приращению независимого аргумента Δx, в чём и состоит геометрический смысл дифференциала функции.

Question 34

Формулировка правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказательство двух из них.

Answer 34

Формулировка правила нахождения дифференциала суммы, произведения и частного двух функций. Доказательство двух из них.
Используя формулу вычисления дифференциала и правила дифференцирования, не трудно получить вот такие формулы:
1) d(const) = 0;
2) d(u+v) = (u+v)’dx = (u’+v’)dx = u’dx + v’dx = du + dv;
3) d(uv) = udv + vdu;
4) d(u/v) = (u/v)’dx = (u’v - uv’)dx/v² = (u’vdx - uv’dx)/v² = (vdu - udv)/v².

Question 35

Доказательство инвариантности формы первого дифференциала

Answer 35

Доказательство инвариантности формы первого дифференциала.
Формулу dy=f’(x)*dx иногда называют формой первого дифференциала.
Теорема. Форма первого дифференциала не зависит от того, является аргумент x независимой переменной или функцией другого аргумента.
Доказательство. Пусть y=f(x), x=φ(t), т.е. y - сложная функция независимой переменной t:
y=f(x)=f(φ(t))=F(t).
По формуле вычисления дифференциала имеем:
dy=F’(t)dt.
С другой стороны по теореме о производной сложной функции,
F’(t)=f’(x)φ’(t).
Значит
dy=f’(x)φ’(t)dt=f’(x)dx.
Таким образом, дифференциал сложной функции имеет такой же вид, какой имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент x был независимой переменной.

Question 36

Второй дифференциал функции y=f(x)

Answer 36

Второй дифференциал функции y=f(x) - это дифференциал от дифференциала этой функции:
d²y=d(dy).
Аналогично определяется третий дифференциал.
n-й дифференциал или дифференциал n-го порядка функции называется дифференциал от n-1-го дифференциала этой функции:
dⁿy = d(dⁿ⁻¹y), n=2,3,…