Экзамен по математическому анализу. Вопросы 1-18. Pt. 2.1

Question 1

Множество действительных чисел

Answer 1

Множество действительных чисел - это множество, являющееся объединением множеств иррациональных и рациональных чисел.
Аксиома полноты: каковы бы ни были непустые множества A={a}⊂R и B={b}⊂R такие, что для любых a и b выполняется неравенство a≤b, найдется число с∈R такое, что a≤c≤b.

Question 2

Ограниченное сверху множество. Ограниченное снизу множество. Ограниченное множество
Точная верхняя грань (определение, название и обозначение). Точная нижняя грань (определение, название и обозначение).

Answer 2

Ограниченное сверху множество - это множество, для которого существует M∈R такое, что все элементы этого множества меньше либо равны M:
∃M∈R: ∀x∈X => x≤M.
Ограниченное снизу множество - это [определяется аналогично ограниченному сверху множеству].
Ограниченное множество - это множество, ограниченное и сверху и снизу.

Точная верхняя грань - это наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества (называется супремум и обозначается x(сверху черта как not)=sup X).
Точная нижняя грань - это наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества (называется инфинимум и обозначается x(снизу черта как not)=inf X).

Question 3

Теорема о существовании точной верхней и нижней грани множества (формулировка + доказательство).

Answer 3

Теорема о существовании точной верхней и нижней грани множества. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число, которое является верхней (нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Не ограничивая общности, проведем доказательство для множества ограниченного сверху (для множества ограниченного снизу теорема
доказывается аналогично). Итак, пусть множество Х ограничено сверху. Обозначим
В={b} множество всех его верхних граней:
∀x ∊ X, b ∊ B : x ≤ b .
В силу аксиомы полноты R: ∃c : ∀x ∊ X , b ∊ B : x ≤ с ≤ b.
Поскольку ∀x ∊ X x ≤ c , то c - верхняя грань множества X. Но, поскольку, ∀b ∊ B c ≤ b ,
c - наименьшая из всех верхних граней, т.е. точная верхняя грань множества X.
Таким образом, точная верхняя грань существует.
Теорема доказана.

Question 4

Сложная функция (композиция отображений)

Answer 4

Сложная функция (композиция отображений) - это функция, область определения которой является областью значений другой функции. Данная называется внешней функцией, другая - внутренней.

Question 5

Обратная функция

Answer 5

Обратная функция - это отображение, определенное для функции, если отображение множества D в множество E взаимно однозначно, являющееся обратным данному: если отображение было из D в E, то обратным будет из E в D.

Question 6

Возрастающая на (a,b) функция f(x). Монотонная функция

Answer 6

Возрастающая на (a,b) функция f(x) - это функция, для которой, если ∀x₁, x₂ ∊ (a, b), x₁<x₂: f(x₁)≤f(x₂) (f(x₁)≥f(x₂)).
Монотонная функция - это функция, возрастающая или убывающая функция.

Question 7

Основные элементарные функции

Answer 7

Основные элементарные функции:
- Степенные функции: y=x^a.
- Показательные функции: y = a^x.
- Логарифмические функции y = logₐ x.
- Тригонометрические функции
y = sin x ,
y = cos x,
y = tgx ,
y = ctgx.
- Обратные тригонометрические функции
y = arcsin x (D(y)=(-1, 1), E(y)=(-π/2, π/2); монотонно возрастает; нечетная; непереодична),
y = arccos x (D(y)=(-1, 1), E(y)=(0, π); монотонно убывает; общего вида; непереодична),
y = arctgx(D(y)=(-∞, ∞), E(y)=(-π/2, π/2); монотонно возрастает; нечетная; непереодична),
y = arcctgx (D(y)=(-∞, ∞), E(y)=(0, π); монотонно убывает; общего вида; непереодична).

Question 8

Элементарная функция

Answer 8

Элементарная функция - это функция, построенная из основных элементарных функций и постоянных с помощью операций сложения, умножения и деления, а также композиции.

Question 9

Предел a числовой последовательности {xn} (определение+запись)

Answer 9

Предел a числовой последовательности {xn} - это такое число a, что все члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки к числу a. Записывается так:
lim xn = a, x->∞.

Question 10

Основные свойства предела последовательности

Answer 10

Основные свойства предела последовательности:
1) Предел последовательности xn = c, n->∞, где c - постоянная, равен c.
2) Теорема (о единственности предела).
Если предел последовательности {xn} существует, то он единственен.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, что существует два различных предела последовательности {xn}:
lim xn = a, lim xn = b, n->∞, причем a ≠ b .
Пусть, для определенности, b>a. Выберем
ε = (b-a)/2>0.
Тогда по определению предела
∃N₁ : n > N₁ =>| xn - a |< ε.
∃N₂ : n > N₂ =>| xn - b |< ε.
Обозначим через N наибольшее среди чисел N₁ и N₂: N=max{N₁,N₂}, тогда при n ∊ N выполняются оба неравенства:
Следовательно
xn - a <(b-a)/2
xn - b >-(b-a)/2
Откуда
xn< (a+b)/2
xn>(a+b)/2.
Приходим к противоречию. Следовательно, наше предположение о существовании двух различных пределов было неверным и предел единственен.
3) Теорема (необходимое условие сходимости последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Итак, пусть последовательность {xn} сходится и ее предел равен
a : lim xn=a, n->∞. Зададим произвольное ε > 0 . По определению предела,
∃N > 0 : n > N => | xn - a |< ε => -ε < xn - a < ε => a-ε< xn <a+ε.
С другой стороны при n < N имеется конечное множество элементов . Наибольший из них обозначим M₁ , а наименьший – m₁. Обозначим, далее, через M наибольшее из чисел M₁ и a+ε, а через m – наименьшее из чисел m₁ и a-ε:
M=max{M₁, a+ε}, m=min{m₁, a-ε}.
Имеем ∀n : m ⩽ xn ⩽ M , т.е. последовательность {xn } ограничена и сверху и снизу, а значит ограничена.
4) Теорема (теорема Вейерштрасса или достаточное условие сходимости последовательности). Если неубывающая (невозрастающая) последовательность
ограничена сверху (снизу), то она сходится, причем ее предел равен ее точной верхней грани.

Question 11

Геометрическая интерпретация предела последовательности

Answer 11

Геометрическая интерпретация предела последовательности - это числовая прямая и отмеченные на ней число a, являющееся пределом, границы интервала a-ε и a+ε, а также элементы последовательности, которые с увеличением n приближаются к a и с N оказываются внутри интервала (a-ε, a+ε).

Question 12

Теорема о существовании предела (1+1/n)^n

Answer 12

Теорема о существовании предела (1+1/n)^n:
Существует предел последовательности a=lim(1+1/n)^n, причем этот предел удовлетворяет неравенству 2<a<3.

Question 13

Число e (число Эйлера)

Answer 13

Число e (число Эйлера) - это число, равное пределу последовательности
lim ((1 + 1/n)^n),
при n->∞.

Question 14

Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента

Answer 14

Общее определение предела функции по Коши при произвольном стремлении аргумента:
“Число a называется пределом числовой последовательности {xn} при n->∞,
если для любого, сколь угодно малого, положительного числа ε найдется такое,
достаточно большое, натуральное число N , что при n ∊ N выполняется неравенство
{lim xn = a |n->∞} <=> {∀ε>0 ∃N: n > N=>|xn -a|<ε}”.

Question 15

Теорема (о связи между пределами функции при одностороннем и двустороннем стремлении аргумента)

Answer 15

Теорема (о связи между пределами функции при одностороннем и двустороннем стремлении аргумента):
Двусторонний предел функции при x->x₀ существует тогда и только тогда, когда существует оба соответствующих односторонних пределов и они равны. При этом двусторонний предел равен односторонним.

Question 16

Теорема (о единственности предела функции) (формулировка+доказательство)

Answer 16

Теорема (о единственности предела функции): “Если предел функции существует, то он единственен”.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Допустим существует два предела: lim f(x) = a, x->, и lim f(x) = b, x->, причем a≠b. На основании первой (прямой) теоремы о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой:
f(x)=a+α(x),
f(x)=b+β(x),
где α(x) и β(x) - б.м. при заданном стремлении аргумента.
Вычтя из второго равенства первое, получим:
0=b-a+β(x)-α(x)=b-a+γ(x).
γ(x)=a-b=const. Так как бесконечно малая, равная константе, тождественно равна нулю, a-b=0 => a=b => предположение неверно, предел единственен.

Question 17

Теорема (о пределе сложной функции)

Answer 17

Теорема (о пределе сложной функции).
“Пусть y=f(x), z=g(y) и пусть существуют пределы lim f(x)=a, x->, lim g(y)=b, y->a. Тогда существует предел сложной функции g(f(x)) при x-> и этот предел равен b:
lim g(f(x)) = b, x->*”.

Question 18

Теорема о локальной ограниченности функции (формулировка+доказательство)

Answer 18

Теорема о локальной ограниченности функции:
“Функция, имеющая конечный предел при x->, локально ограничена в точке ”.
Доказательство. По условию теоремы функция имеет предел при x->: lim f(x)=a, x->.
Зададим ε=|a|/2.
По определению предела, для такого ε найдется такое δ>0, что при x лежащем в проколотой δ-окрестности * выполняется неравенство |f(x)-a|<ε. Раскрывая модуль, получим:
a-ε<f(x)<a+ε,
или
a-|a|/2<f(x)<a+|a|/2.
При a>0 имеем:
a/2<f(x)<3a/2.
При a<0 имеем:
3a/2<f(x)<a/2.
В обоих случаях существует такая проколотая δ-окрестность точки *, в которой функция f(x) ограничена и сверху (числом M = a+|a|/2) и снизу (числом M=a-|a|/2). Следовательно функция локально ограничена в точке *.

Question 19

Теорема (о сохранении функцией знака предела)

Answer 19

Теорема (о сохранении функцией знака предела). Если при x->* функция имеет предел отличный от нуля, то существует проколотая δ-окрестность точки *, внутри которой знак функции совпадает со знаком её предела.

Question 20

Теорема (о переходе к пределу в неравенстве) (формулировка+доказательство).

Answer 20

Теорема (о переходе к пределу в неравенстве). Пусть в некоторой проколотой δ-окрестности точки * выполняется неравенство f(x)≤g(x), и пусть существуют пределы функций f(x) и g(x) при x->: lim f(x)=a, lim g(x)=b. Тогда имеет место неравенство: a≤b.
Доказательство. Внутри проколотой δ-окрестности точки , в которой g(x)≥f(x) функция φ(x)=g(x)-f(x)≥0, но в силу следствия теоремы 1 это значит, что ∃lim(g(x) - f(x))≥0, x->.
Используя арифметические свойства предела, получим:
∃lim(g(x)-f(x))≥0 = lim g(x) - lim f(x) ≥ 0, x->,
следовательно
lim g(x) ≥ lim f(x), x->*,
т.е. a≤b.

Question 21

Теорема о пределе промежуточной функции

Answer 21

Теорема о пределе промежуточной функции
Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой проколотой δ₀-окрестность точки * выполняется неравенство f(x)≤φ(x)≤g(x) и пусть существуют пределы функций f(x) и g(x) при x->, причем они равны: lim f(x)=lim g(x)=a. Тогда существует lim φ(x), x->, и он равен a.

Question 22

Функция f(x), бесконечно малая при x->*

Answer 22

Функция f(x), бесконечно малая при x->, - это функция, предел которой стремится к нулю:
{f(x) - б.м. при x->}<=>{lim f(x) = 0, x->*}.

Question 23

Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой).
(формулировка+доказательство).

Answer 23

Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой).
“Если функция y=f(x) имеет конечный предел при x->, то ее можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой α(x) при x->:
{lim f(x)=a, x->}=>{f(x)=a+α(x), α(x) - б.м., x->}”.
Доказательство. Т.к. lim f(x)=a, x->, то ∀ε>0 ∃δ>0: x принадлежит проколотой δ-окрестности точки * => |f(x) - a|<ε. Введем обозначение α(x)=f(x)-a. Тогда f(x) = a+α(x). При этом α(x) - б.м.
Действительно,
∀ε>0 ∃δ>0: x принадлежит проколотой δ-окрестности точки * => |α(x)|<ε,
т.е.
lim α(x)=0, x->.

Question 24

Свойства бесконечно малых функций. Следствия из свойств б.м.

Answer 24

Свойства бесконечно малых функций
Теорема. Если α(x) - б.м. при x->, то она локально ограничена при данном стремлении аргумента.
Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. - есть б.м.
Теорема. Произведение б.м. α(x) при x-> на локально ограниченную функцию f(x) при этом стремлении есть функция б.м. при x->*.

Следствия из свойств б.м.
1. Произведение конечного числа б. м. - есть б.м.
2. Произведение б. м. на постоянную - есть б.м.

Question 25

Арифметические теоремы о пределах (два с доказательством)

Answer 25

Арифметические теоремы о пределах
1) Теорема о сумме
Пусть существуют конечные пределы lim f(x)=a, lim g(x)=b, x->. Тогда существует конечный предел суммы функций φ(x)=f(x)+g(x) при x-> и он равен a+b:
lim (f(x)+g(x))=lim f(x) + lim g(x), x->.
Доказательство. На основании 1-ой (прямой) теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой, функции f и g представимы в виде
f(x)=a+α(x), g(x)=b+β(x),
где α и β - б.м. при x->. Следовательно,
φ(x)=f(x)+g(x)=a+b+α(x)+β(x)=c+γ(x),
где c=a+b - постоянная, γ(x)=α(x)+β(x) - б.м., как сумма двух б.м. На основании 2-й (обратной) теоремы о связи функции, её предела и бесконечно малой, lim φ(x) =c=a+b, x->.
2) Теорема о произведении
Пусть существуют конечные пределы lim f(x)=a, lim g(x)=b, x->. Тогда существует конечный предел произведений функций φ(x)=f(x)g(x) при x-> и он равен ab:
lim (f(x)+g(x))=lim f(x) + lim g(x), x->.
Доказательство. На основании 1-ой (прямой) теоремы о связи функции, ее предела и бесконечно малой, функции f и g представимы в виде
f(x)=a+α(x), g(x)=b+β(x),
где α и β - б.м. при x->. Следовательно,
φ(x)=f(x)g(x)=(a+α)(b+β)=ab+aβ+αb+αβ=ab+γ,
где γ=aβ+αb+αβ - б.м., как сумма б.м. На основании 2-й (обратной) теоремы о связи функции, её предела и бесконечно малой, lim φ(x) =ab, x->.
3) Теорема о частном
Пусть существуют конечные пределы lim f(x)=a, lim g(x)=b, x-> и пусть b≠0. Тогда существует конечный предел частного функций φ(x)=f(x)/g(x) при x->* и он равен a/b:
lim (f(x)/g(x))=lim f(x) / lim g(x), x->*.
Доказательство. Аналогично предыдущим.

Question 26

Бесконечно большая функция

Answer 26

Бесконечно большая функция.
Бесконечно большая при x->* функция f(x) - это функция, для которой соблюдается следующее условие:
∀ε>0 ∃δ(ε): x∊проколотая δ-окрестность точки * => |f(x)|>ε.

Question 27

Теорема о связи б.м. и б.б. функций. (формулировка+доказательство)

Answer 27

Теорема о связи б.м. и б.б. функций.
Если функция б.б. при x->, то функция g(x)=1/f(x) - б.м. при этом стремлении аргумента.
Доказательство. Зададим произвольное ε>0 и обозначим M=1/ε.
Т.к. f(x) - б.б. при x->∞ (т.е. lim f(x)=∞, x->), то ∃δ: x∊проколотой δ-окрестности точки * => |f(x)|>M => |1/f(x)|<1/M=ε => lim 1/f(x) = 0, x->,
т.е.
g(x) = 1/f(x) - б.м. при x->.

Question 28

Первый замечательный предел (формулировка+доказательство)

Answer 28

Первый замечательный предел:
lim (sin x)/x=1, при x->0.
Доказательство:
Так как функция (sin x)/x - четная, то достаточно ограничиться случаем, когда x->0+ (x>0). Очевидно, что характер стремления при x->0- тот же самый.
Общая схема:
1) начертить тригонометрический круг с R=1;
2) провести прямую из начала координат, отметить x как угол, sin x, tg x, хорду;
3) сравнить площади: треугольник с хордой, сектор, треугольник с tgx;
4) прийти к заключению, что sin x < x < tgx; используя теорему о пределе промежуточной функции завершить доказательство.

Question 29

Следствия 1-го замечательного предела (при x->0) (одно с доказательством)

Answer 29

Следствия 1-го замечательного предела (при x->0):
1. lim (sin ax)/x = a.
Доказательство. Выполнив замену переменной y=ax, получим
lim (sin (ax))/x = alim (sin y)/y = a, x->0.
2. lim (tg x)/x = 1.
lim (tg x)/x = lim (sin x)/(xcos x) = (lim (sin x)/x) * lim 1/cos x = 1, x->0.
3. lim (arcsin x)/x = 1.
4. lim (arctg x)/x = 1.
5. lim (1-cos x)/(x²) = 1/2.

Question 30

Второй замечательный предел. Следствия 2-го замечательного предела (два с доказательством).

Answer 30

Второй замечательный предел:
lim (1+1/x)^x = e, x->∞.
Следствия 2-го замечательного предела (1-3 при x->0, 4 при x->∞):
1. lim (1+x)^(1/x) = e.
Действительно, после замены переменной y=1/x (x=1/y, x->0, y->∞), рассматриваемый предел преобразуется ко второму замечательному:
lim (1+x)^(1/x) = lim (1+1/y)^y = e.
2. lim (ln(1+x))/x = 1.
Действительно,
lim (ln(1+x))/x = lim ( (1/x)*(ln (1+x)) ) = lim (ln(1+x)^(1/x)) = ln e = 1
3. lim (e^x-1)/x = 1.
4. lim (1+a/x)^x = e^a.

Question 31

Расшифровка обозначения f(x)=o(g(x))

Answer 31

Расшифровка обозначения f(x)=o(g(x)):
Если lim (f(x)/g(x)) = 0, x->, говорят, что б.м. f(x) имеет высший порядок малости (в.п.м.) по сравнению с б.м. g(x) при x-> (б.б. g(x) имеет высший порядок роста (в.п.р.) по сравнению с б.б. f(x) при x->). При этом используется следующее обозначение:
f(x) = o(g(x)), x->.

Question 32

Б.м. (б.б.) одного порядка малости (роста)

Answer 32

Б.м. (б.б.) одного порядка малости (роста):
f(x) считается б.м. (б.б.) одного порядка малости (роста) с g(x) при x->*, если существует lim (f(x)/g(x)) = a ≠ 0.

Question 33

Эквивалентные функции при x->*

Answer 33

Эквивалентные функции при x->* - это функции, предел отношения которых, при x->* равен 1:
{lim (f(x)/g(x)) = 1} <=> {f(x)~g(x), x->*}.

Question 34

Теоремы об эквивалентных функциях (две с доказательством)

Answer 34

Теоремы об эквивалентных функциях
Теорема. Если при x->* f(x)~φ(x) и g(x)~φ(x), то f(x)~g(x).
Доказательство. lim (f(x)/g(x)) = lim (f(x) / φ(x))(φ(x) / g(x)) = lim (f(x) / φ(x)) * lim (φ(x) / g(x)) = 11 = 1, ч.т.д.
Теорема (о разности эквивалентных функций). Разность 2-х эквивалентных б.м. функций f(x) и g(x) имеет высший порядок малости по сравнению с каждой из них.
Теорема. Если разность двух функций f(x)-g(x) есть бесконечно малая функция по сравнению с одной из них при x->, то эти функции эквивалентны.
Теорема. Сумма бесконечно малых (бесконечно больших) различного порядка малости эквивалентна слагаемому низшего порядка малости (высшего порядка роста).
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится при их замене на эквивалентные, т.е. если f(x)~f₀(x) при x->, а g(x)~g₀(x) при x->, то
lim f(x)/g(x) = lim f₀(x)/g₀(x).
Доказательство. lim f(x)/g(x) = lim (f(x)/f₀(x))(g₀(x)/g(x)) = lim (f(x)/f₀(x)) * lim(g₀(x)/g(x)) = lim f₀(x)/g₀(x), x->*.

Question 35

Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента

Answer 35

Определение порядка малости (или роста) одной функции относительно другой при данном стремлении аргумента
Если существует конечный и отличный от нуля предел
lim f(x)/( (g(x))^k ) = a ≠ 0, где k>0,
число k называется порядком малости (роста) f(x) относительно g(x) при x->*.

Question 36

Эквивалентности (при x->0)

Answer 36

Эквивалентности (при x->0):
sin x ~ x
tg x ~ x
arcsin x ~ x
arctg x ~ x
1 - cos x ~ (x^2)/2
a^x-1~xln a
log(1+x)~x/ln a
(1+x)^a - 1 ~ xA

Question 37

Теорема (о замене функций на эквивалентные в пределе)

Answer 37

Теорема (о замене функций на эквивалентные в пределе).
Передел отношения двух бесконечно малых (двух бесконечно больших) функций не изменится при замене этих функций на эквивалентные, т.е. если f(x)~f₀(x) при x->, а g(x)~g₀(x) при x->, то
lim f(x)/g(x) = lim f₀(x)/g₀(x), x->*.

Question 38

4 определения непрерывности функции в точке

Answer 38

4 определения непрерывности функции в точке:
1) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой существует lim f(x) при x->x₀ и этот предел равен значению функции.
2) Функция f(x) непрерывная и определенная в некоторой окрестности точки x₀ - это функция, которая в достаточно малой окрестности точки x₀ имеет значения сколь угодно близкие к f(x₀).
3) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой существуют правосторонние и левосторонние пределы f(x) при x->x₀, и их значения равны f(x₀).
4) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой бесконечно малое приращение аргумента в точке x₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.

Question 39

Теорема (связь односторонней непрерывности в точке с обычной)

Answer 39

Теорема (связь односторонней непрерывности в точке с обычной). Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке, как слева, так и справа.

Question 40

Теорема (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции) (формулировка+доказательство)

Answer 40

Теорема (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции).
Пусть функция z=g(y) непрерывна в точке y₀, а функция y=f(x) имеет конечный предел при x->x₀ равный y₀:
∃lim f(x) = y₀, x->x₀.
Тогда
∃lim g(f(x)) = g(lim f(x)), x->x₀.
Доказательство. Поскольку g(y) непрерывна в точке y₀,
∃lim g(y) = g(y₀), y->y₀.
По условию теоремы, ∃lim f(x) = y₀, x->x₀. Но по теореме о пределе сложной функции, из этих двух фактов вытекает, что
∃lim g(y) = g(y₀) = g(lim f(x)), x->x₀.

Question 41

Теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций (одна с доказательством).

Answer 41

Теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций. Доказать одну
Теорема (о непрерывности суммы непрерывных функций). Сумма функций, непрерывных в точке x₀, есть функция, непрерывная в этой точке.
Доказательство. Пусть функции f(x) и g(x), определенные в некоторой окрестности точки x₀ непрерывны в этой точке. По определению непрерывности (первая формулировка) это означает, что
∃lim f(x) = f(x₀), x->x₀ и ∃lim g(x) = g(x₀), x->x₀.
Значение функции φ(x) = f(x)+g(x) в точке x₀ очевидно равно φ(x₀) = f(x₀)+g(x₀). В силу теоремы о пределе суммы, существует
lim φ(x) = lim f(x) + lim g(x) = f(x₀) + g(x₀) = φ(x₀),
что и означает непрерывность функции φ(x) в точке x₀.

Теорема (о непрерывности произведения непрерывных функций). Произведение функций, непрерывных в точке x₀, есть функция, непрерывная в этой точке.
Следствие из теоремы о непрерывности произведения непрерывных функций. Произведение непрерывной функции на число - функция непрерывная. Действительно, число (т.е. постоянная) есть функция, непрерывная на R.
Теорема (о непрерывности частного непрерывных функций). Частное функций, непрерывных в точке x₀, есть функция, непрерывная в этой точке.

Question 42

Формулировка и доказательство теоремы о непрерывности композиции двух непрерывных функций

Answer 42

Формулировка и доказательство теоремы о непрерывности композиции двух непрерывных функций
Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x₀, а функция g(y) непрерывна в точке y₀, причем y₀=f(x₀). Тогда сложная функция F(x) = g(f(x)) непрерывна в точке x₀.
Доказательство. Поскольку функция f(x) непрерывна в точке x₀
∃lim f(x) = f(x₀), x->x₀.
Но в силу теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции
∃lim F(x) = ∃lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(x₀)) = F(x₀),
что и означает непрерывность функции F(x)=g(f(x)) в точке x₀.

Question 43

Теорема (о непрерывности основных элементарных функций)

Answer 43

Теорема (о непрерывности основных элементарных функций). Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Question 44

Теорема (о непрерывности элементарных функций)

Answer 44

Теорема (о непрерывности элементарных функций). Элементарные функции непрерывны в области определения.