Вопросы 1-2. Математической анализ. Сессия 1-й семестр. Flashcards
Конечное и бесконечное множества
Конечное множество - это множество из определённого
конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным.
Пустое множество
Пустое множество - это множество, не содержащее ни одного элемента.
Равные множества
Равные множества - это множества, состоящие из одинаковых элементов.
Подмножество X множества Y
Подмножество X множества Y - это множество X, каждый элемент которого принадлежит множеству Y.
Собственное подмножество B подмножества A
Собственное подмножество - это любое непустое подмножество В множества А, не равное А.
Диаграммы Эйлера-Венна
Диаграммы Эйлера-Венна - это графические представления множеств в виде областей на плоскости.
Пересечение А ∩ В
Пересечение А ∩ В - это множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам.
Объединение A ∪ B
Объединение A ∪ B - это множество C, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.
Разность А\В множеств А и В
Разность А\В множеств А и В - это множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В.
Множество натуральных чисел N
Множество натуральных чисел N - это множество чисел, начинающихся от одного и увеличивающихся на один до бесконечности.
Множество целых чисел Z
Множество целых чисел Z - это множество, содержащее множество натуральных чисел N, -N={-1,-2,-3,-4…}, {0}.
Множество рациональных чисел
Множество рациональных чисел - это множество всех возможных отношений целых чисел.
Множество иррациональных чисел J
Множество иррациональных чисел J - это множество всех непериодических бесконечных десятичных
дробей.
Множество действительных (вещественных) чисел
Множество действительных (вещественных) чисел - это множество, являющееся множеством объединение рациональных и иррациональных чисел.
Числовая ось
Числовая ось - это прямая, на которой указано начало отсчета, масштаб и направление отсчета.
Аксиома полноты (непрерывности) множества вещественных чисел
Аксиома полноты (непрерывности) множества вещественных чисел:
Каковы
бы ни были непустые множества А= { a } ⊂ R и B= {b} ⊂ R такие, что для любых a и b выполняется неравенство a ≤ b , найдется число c ⊂ R такое, что a ≤ c ≤ b.
Числовое множество
Числовое множество - это любое подмножество множества действительных чисел.
Отрезок числовой прямой
Отрезок числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, включающее в себя элементы, являющиеся границами множества на числовой прямой.
Интервал числовой прямой
Интервал числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, не включающее в себя элементы, являющиеся границами множества на числовой прямой.
Полуинтервал числовой прямой
Полуинтервал числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, не включающее в себя один из элементов, являющихся границей множества на числовой прямой и включающее другой.
Принцип вложенных отрезков
Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам.
δ-окрестность точки x₀ числовой прямой
δ-окрестность точки x₀ числовой прямой - это интервал длиной 2δ с центром в точке x₀.
Проколотая δ-окрестность точки x₀
Проколотая δ-окрестность точки x₀ - это окрестность этой точки,
из которой исключена сама точка x₀.
Правосторонняя (левосторонняя) δ-окрестность точки x₀
Правосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это полуинтервал u(x₀+)=[x₀, x₀+δ).
Левосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это полуинтервал u(x₀+)=(x₀+δ, x₀].
Проколотая правосторонняя (левосторонняя) δ-окрестность точки x₀
Проколотая правосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это интервал u(x₀+)=(x₀, x₀+δ).
Проколотая левосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это интервал u(x₀+)=(x₀+δ, x₀).
δ-окрестность плюс (минус) бесконечности
δ-окрестность плюс бесконечности - это интервал u(+∞)=(δ,+∞).
δ-окрестность минус бесконечности - это интервал u(-∞)=(-∞,δ).
δ-окрестность бесконечности
δ-окрестность бесконечности - это интервал u(∞)=(-∞,δ)∪(δ,+∞).
Радиус δ-окрестности
Радиусом δ-окрестности называется число δ.
Ограниченное сверху множество X. Верхняя грань множества X.
Ограниченное снизу множество X. Нижняя грань множества X.
Ограниченное сверху множество X - это множество, для которого существует такое число M, что все элементы этого множества меньше либо равны M. Число M при этом называют верхней гранью множества X
Ограниченное снизу множество X - это множество, для которого существует такое число M, что все элементы этого множества больше либо равны M. Число M при этом называют нижней гранью множества X
Ограниченное множество
Ограниченное множество - это множество, ограниченное как сверху, так и снизу.
Точная верхняя грань (супремум)
Точная верхняя грань (супремум) - это наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества. Обозначается “x с чертой сверху” = sup X.
Точная нижняя грань (инфинимум)
Точная верхняя грань (инфинимум) - это наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества. Обозначается “x с чертой снизу” = inf X.
Теорема о точных гранях (с доказательством)
Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число, которое является
точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Не ограничивая общности, проведем доказательство для множества ограниченного сверху (для множества ограниченного снизу теорема
доказывается аналогично). Итак, пусть множество Х ограничено сверху. Обозначим
В={b} множество всех его верхних граней:
∀x ∊ X, b ∊ B : x ≤ b .
В силу аксиомы полноты R: ∃c : ∀x ∊ X , b ∊ B : x ≤ с ≤ b.
Поскольку ∀x ∊ X x ≤ c , то c - верхняя грань множества X. Но, поскольку, ∀b ∊ B c ≤ b ,
c - наименьшая из всех верхних граней, т.е. точная верхняя грань множества X.
Таким образом, точная верхняя грань существует.
