Вопросы 1-2. Математической анализ. Сессия 1-й семестр.

Question 1

Конечное и бесконечное множества

Answer 1

Конечное множество - это множество из определённого
конечного числа элементов. В противном случае оно называется бесконечным.

Question 2

Пустое множество

Answer 2

Пустое множество - это множество, не содержащее ни одного элемента.

Question 3

Равные множества

Answer 3

Равные множества - это множества, состоящие из одинаковых элементов.

Question 4

Подмножество X множества Y

Answer 4

Подмножество X множества Y - это множество X, каждый элемент которого принадлежит множеству Y.

Question 5

Собственное подмножество B подмножества A

Answer 5

Собственное подмножество - это любое непустое подмножество В множества А, не равное А.

Question 6

Диаграммы Эйлера-Венна

Answer 6

Диаграммы Эйлера-Венна - это графические представления множеств в виде областей на плоскости.

Question 7

Пересечение А ∩ В

Answer 7

Пересечение А ∩ В - это множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам.

Question 8

Объединение A ∪ B

Answer 8

Объединение A ∪ B - это множество C, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Question 9

Разность А\В множеств А и В

Answer 9

Разность А\В множеств А и В - это множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В.

Question 10

Множество натуральных чисел N

Answer 10

Множество натуральных чисел N - это множество чисел, начинающихся от одного и увеличивающихся на один до бесконечности.

Question 11

Множество целых чисел Z

Answer 11

Множество целых чисел Z - это множество, содержащее множество натуральных чисел N, -N={-1,-2,-3,-4…}, {0}.

Question 12

Множество рациональных чисел

Answer 12

Множество рациональных чисел - это множество всех возможных отношений целых чисел.

Question 13

Множество иррациональных чисел J

Answer 13

Множество иррациональных чисел J - это множество всех непериодических бесконечных десятичных
дробей.

Question 14

Множество действительных (вещественных) чисел

Answer 14

Множество действительных (вещественных) чисел - это множество, являющееся множеством объединение рациональных и иррациональных чисел.

Question 15

Числовая ось

Answer 15

Числовая ось - это прямая, на которой указано начало отсчета, масштаб и направление отсчета.

Question 16

Аксиома полноты (непрерывности) множества вещественных чисел

Answer 16

Аксиома полноты (непрерывности) множества вещественных чисел:
Каковы
бы ни были непустые множества А= { a } ⊂ R и B= {b} ⊂ R такие, что для любых a и b выполняется неравенство a ≤ b , найдется число c ⊂ R такое, что a ≤ c ≤ b.

Question 17

Числовое множество

Answer 17

Числовое множество - это любое подмножество множества действительных чисел.

Question 18

Отрезок числовой прямой

Answer 18

Отрезок числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, включающее в себя элементы, являющиеся границами множества на числовой прямой.

Question 19

Интервал числовой прямой

Answer 19

Интервал числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, не включающее в себя элементы, являющиеся границами множества на числовой прямой.

Question 20

Полуинтервал числовой прямой

Answer 20

Полуинтервал числовой прямой - это непрерывное множество вещественных чисел, не включающее в себя один из элементов, являющихся границей множества на числовой прямой и включающее другой.

Question 21

Принцип вложенных отрезков

Answer 21

Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам.

Question 22

δ-окрестность точки x₀ числовой прямой

Answer 22

δ-окрестность точки x₀ числовой прямой - это интервал длиной 2δ с центром в точке x₀.

Question 23

Проколотая δ-окрестность точки x₀

Answer 23

Проколотая δ-окрестность точки x₀ - это окрестность этой точки,
из которой исключена сама точка x₀.

Question 24

Правосторонняя (левосторонняя) δ-окрестность точки x₀

Answer 24

Правосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это полуинтервал u(x₀+)=[x₀, x₀+δ).
Левосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это полуинтервал u(x₀+)=(x₀+δ, x₀].

Question 25

Проколотая правосторонняя (левосторонняя) δ-окрестность точки x₀

Answer 25

Проколотая правосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это интервал u(x₀+)=(x₀, x₀+δ).
Проколотая левосторонняя δ-окрестность точки x₀ - это интервал u(x₀+)=(x₀+δ, x₀).

Question 26

δ-окрестность плюс (минус) бесконечности

Answer 26

δ-окрестность плюс бесконечности - это интервал u(+∞)=(δ,+∞).
δ-окрестность минус бесконечности - это интервал u(-∞)=(-∞,δ).

Question 27

δ-окрестность бесконечности

Answer 27

δ-окрестность бесконечности - это интервал u(∞)=(-∞,δ)∪(δ,+∞).

Question 28

Радиус δ-окрестности

Answer 28

Радиусом δ-окрестности называется число δ.

Question 29

Ограниченное сверху множество X. Верхняя грань множества X.
Ограниченное снизу множество X. Нижняя грань множества X.

Answer 29

Ограниченное сверху множество X - это множество, для которого существует такое число M, что все элементы этого множества меньше либо равны M. Число M при этом называют верхней гранью множества X
Ограниченное снизу множество X - это множество, для которого существует такое число M, что все элементы этого множества больше либо равны M. Число M при этом называют нижней гранью множества X

Question 30

Ограниченное множество

Answer 30

Ограниченное множество - это множество, ограниченное как сверху, так и снизу.

Question 31

Точная верхняя грань (супремум)

Answer 31

Точная верхняя грань (супремум) - это наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества. Обозначается “x с чертой сверху” = sup X.

Question 32

Точная нижняя грань (инфинимум)

Answer 32

Точная верхняя грань (инфинимум) - это наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества. Обозначается “x с чертой снизу” = inf X.

Question 33

Теорема о точных гранях (с доказательством)

Answer 33

Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число, которое является
точной верхней (нижней) гранью этого множества.

Доказательство. Не ограничивая общности, проведем доказательство для множества ограниченного сверху (для множества ограниченного снизу теорема
доказывается аналогично). Итак, пусть множество Х ограничено сверху. Обозначим
В={b} множество всех его верхних граней:
∀x ∊ X, b ∊ B : x ≤ b .
В силу аксиомы полноты R: ∃c : ∀x ∊ X , b ∊ B : x ≤ с ≤ b.
Поскольку ∀x ∊ X x ≤ c , то c - верхняя грань множества X. Но, поскольку, ∀b ∊ B c ≤ b ,
c - наименьшая из всех верхних граней, т.е. точная верхняя грань множества X.
Таким образом, точная верхняя грань существует.