Основные Обозначения и Элементы Теории Множеста Flashcards
Начало и окончание док-ва
◀ и ▶
Окончание примера, замечания
#
Элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а)
а∈А, А∋а
Элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а)
а∉А, А∌а
Множество А состоит из элементов а, b, с
А = {а, b, с}
Множество А состоит из элементов x, обладающих некторыми свойствами
А = {х: …}
Множество А пусто
А = ⌀
Подмножество А включено в множество B (В включает А)
А ⊂ В, В ⊃ А
Подмножество А включено в множество В или совпадает с ним (В включает А или совпадает с ним)
А ⊆ В, В ⊇ А
Подмножество А включено в множество В или совпадает с ним (В включает А или совпадает с ним)
А ⊆ В, В ⊇ А
Подмножество А не включено в множество В (В не включает А)
А ⊄ В, В ⊅ А
Множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел, расширенная числовая прямая
Соответсвенно: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℝ с чертой сверху
Отрезок с концами в точках а и b
[а, b]
Интервал с концами в точках а и b
(а, b)
Полуинтервал с концами в точках а и b
[а, b), (a, b]
Абсолютное значение числа x
|х|
Бесконечные точки расширенной числовой прямой
+∞, -∞
Объединение бесконечных точек
∞
Бесконечные интервалы и полуинтервалы
Бесконечные интервалы: (-∞; +∞), (-∞; а) (b; +∞).
Бесконечные полуинтервалы: (-∞; а], [b; +∞)
Окрестность точки х₀
U (x₀)
ℰ-окрестность точки х₀
U (x₀, ℰ)
Объединение множеств A и B
A∪B
Пересечение множеств A и B
A∩B
Разность множеств A и B
A\B
Дополнение множества A до множества B
См. с. 36 В. Д. Морозова “Введение в анализ”
Дополнение множества A до универсального множества Ω
См. с. 36 В. Д. Морозова “Введение в анализ”
Симметрическая разность множеств A и B
A△B
Объединение N множеств A₁, …, Aₙ, …, AN
См. с. 36 В. Д. Морозова “Введение в анализ”
Пересечение N множеств A₁, …, Aₙ, …, AN
См. с. 36 В. Д. Морозова “Введение в анализ”
Из высказывания A следует высказывание B (A - достаточное условие B, B - необходимое условие A)
A=>B
Высказывания A и B равносильны
A<=>B
Утверждение справедливо по определению
:<=>
Символы дизъюнкции и конъюнкции
∨ и ∧
Отрицание высказывания А
¬A
Существует такое x, что …
∃x : …
Существует единственное x, такое что …
∃!x : …
Не существует x, такого что …
∄x : …
Для любого x
∀x
Отображение f множества X в (на) множество Y
f: X→Y
Переменное y - функция переменного x
y = f (x)
Значение функции f(x) в точке a
f(a)
Область определения (существования) функции f(x)
D (f)
Область значений функции f(x)
R (f)
Функция, обратная к функции y=f(x)
x = f ⁻¹(y)
Тождественное отображение множества X на себя
См. страницу 37 в Морозовой
Композиция функций y=f(x) и g(y) (сложная функция аргумента x)
g ∘ f(x), g(f(x))
Точка M плоскости с координатами x (абсцисса) и y (ордината)
M (x,y)
Произведение (декартово) множества X на множество Y
X ∘ Y
Произведение (декартово) n множеств действительных чисел
ℝⁿ
Сумма n слагаемых a1, …, ak, …, an
∑aₖ
(сверху значка суммы - n, снизу - k=1)
Произведение n сомножителей a1, …, am, …, an
∑aₘ
(сверху значка суммы - n, снизу - m=1)
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно
n!
Произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих с ним одинаковую чётность
n!!
Количество размещений из n элементов по k элементов
Aₙ
(A имеет верхний индекс k)
Количество перестановок из n элементов
Pₙ
Количество сочетаний из n элементов по k элементов
Cₙ
(C имеет верхний индекс k)
Число k принимает последовательно все значения из множества натуральных чисел от 1 до n включительно
См. Морозова 37 стр., предпоследняя сверху
Точная верхняя грань множества X
sup X, sup x
⠀⠀⠀⠀x∈X
Точная нижняя грань множества X
inf X, inf x
⠀⠀⠀x∈X
Кардинальное множество A
card A
Функция знака числа x
sgn x
Многочлен степени n∊ℕ
Pₙ(x)
Мнимая единица (i² = -1)
i
Множество (поле) комплексных чисел
ℂ
Действительная часть комплексного числа z
Re z
Мнимая часть комплексного числа z
Im z
Главная значение аргумента комплексного числа z
arg z
Элемент, комплексно сопряжённый элементу z
z с чертой сверху
Расстояние между точками x и y метрического пространства
ρ (x,y)
Диаметр ограниченного множества X
diam X
Граница множества X
∂ X
Множество функций, непрерывных на множестве A
C (A)
Точная верхняя грань (наибольшее значение) функции f(x) на множестве X
⠀⠀⠀sup f(x)
x∈X
Точная нижняя грань (наименьшее значение) функции f(x) на множестве X
⠀⠀⠀inf f(x)
x∈X
Бесконечная последовательность элементов xn
{xₙ}
Предел последовательности {xₙ}
lim {xₙ}
Проколотая окрестность точки a
∘⠀⠀
U (a)
Проколотая δ-окрестность точки a
∘⠀⠀
U (a, δ)
Переменная x стремится к точке a
x→a
Предел функции f(x) в точке a при x→a
lim f(x)⠀
x→a⠀⠀⠀
⠀⠀⠀
Функция f(x) стремится к точке b при стремлении аргумента к точке a
f(x) → b
⠀x→a
Проколотые левая и правая полуокрестности точки а
∘⠀⠀⠀
U₋ (a),
∘⠀⠀⠀
U₊ (a)
Предел справа функции f(x) в точке a
f(a+0)
Экспоненциальная функция (экспонента) аргумента x
exp (x), e^(x)
Предел слева функции f(x) в точке а
f(a-0)
Натуральный логарифм числа x (по основанию e)
ln x
Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс аргумента x
sh x, ch x, th x, cth x
Приращения аргумента x и функции y=f(x)
Δx и Δy=Δf(x)
Предел отображения (функции) f: A→Y в точке x по множеству A
lim f(x)⠀
x→a⠀⠀⠀
⠀⠀A⠀⠀⠀⠀⠀
Функции f(x) и g(x) одного порядка при x→a
f(x) = O(g(x))
x→a⠀⠀
Функция f(x) более высокого порядка малости по сравнению с функцией g(x) при x→a
f(x) = o(g(x))
x→a⠀⠀
Функции f(x) и g(x) эквивалентны при x→a
f(x) ~ g(x)
x→a
