Экзамен по математическому анализу. Вопросы 26-34. pt. 2.3

Question 1

Определение экстремума функции.

Answer 1

Определение экстремума функции.
Опр. Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), а x₀∊(a,b). Тогда
1) Если ∃проколотая окрестность x₀: ∀x∊эта проколотая окрестность x₀ f(x)<f(x₀), то x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), а f(x₀) - максимумом этой функции.
2) Если ∃проколотая окрестность x₀: ∀x∊эта проколотая окрестность x₀ f(x)>f(x₀), то x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), а f(x₀) - максимумом этой функции.

Question 2

Точка локального экстремума. Экстремумы функции

Answer 2

Точка локального экстремума - это точки минимума и максимума.
Экстремумы функции - это минимум и максимум функции.

Question 3

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) (с доказательством)

Answer 3

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Доказательство.
Теорема Ферма. Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀ и пусть в точке x₀ она достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Тогда, если в точке x₀ существует производная, то она равна нулю.
Доказательство. Пусть функция f(x) достигает своего наибольшего или наименьшего значения в точке x₀. Тогда для любого (как положительного, так и отрицательного Δx
f(x₀+Δx)⩽f(x₀)
и приращение в точке x₀
Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)⩽0.
1) Пусть Δx>0, тогда Δy/Δx⩽0. Следовательно lim Δy/Δx = y’(x₀+)⩽0, Δx->0+;
2) Пусть Δx<0, тогда Δy/Δx⩾0. Следовательно lim Δy/Δx = y’(x₀-)⩾0, Δx->0-.
Поскольку, по условию теоремы, функция f(x) имеет (конечную) производную в точке x₀, то существует двусторонний предел
y’(x₀)=lim Δy/Δx, Δx->0,
но, как известно, это возможно только в том случае, если существуют оба соответствующих односторонних предела и они равны. При этом двусторонний предел равен односторонним:
lim Δy/Δx = lim Δy/Δx = lim Δy/Δx.
Δx->0+⠀⠀⠀⠀Δx->0-⠀⠀⠀⠀Δx->0
Из полученных неравенств для односторонних пределов очевидно, что они равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю. Следовательно, нулю равен и двусторонний предел, который равен производной, следовательно, нулю равна производная. В случае, когда функция достигает в точке x₀ своего наименьшего значения, доказательство проводится аналогично.
Что и требовалось доказать.

Question 4

Стационарные точки

Answer 4

Стационарные точки - это точки, в которых производная обращается в ноль.

Question 5

Критические точки

Answer 5

Критические точки - это точки, в которых производная обращается в ноль или не существует.

Question 6

Теорема Ролля с доказательством

Answer 6

Теорема Ролля. Если функция удовлетворяет следующим условиям: непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), принимает одинаковые значения на границах сегмента [a,b]: f(a)=f(b), тогда найдется такая точка c∊(a,b) такая, что f’(c)=0.
Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a,b], она принимает на этом сегменте своё наибольшее (M) и наименьшее W значения (одно из свойств функции, непрерывной на отрезке):
∃c∊[a,b]: f(c) = M.
∃c’∊[a,b]: f(c’) = W.
1) Допустим, для начала, что наибольшее и наименьшее значения равны: W=M. Очевидно, что в этом случае на отрезке [a,b] f(x)=const. Действительно, так как W и M - наибольшее и наименьшее значения функции, то
W⩽f(x)⩽M, x∊[a,b].
Но, с учетом того, что W=M, f(x)=M=const, x∊[a,b].
Производная постоянной равна нулю в любой точке и утверждение теоремы в этом простейшем случае выполняется.
2) Допустим теперь, что W≠M. В этом случае, одно из этих чисел не совпадает со значением функции на границах сегмента f(a)=f(b). Пусть, для определенности, это M. Тогда функция f(x) принимает свое наибольшее значение не на границе сегмента, а в некоторой внутренней точке c интервала (a,b):
f(c)=M, c∊(a,b).
Рассмотрим произвольную выколотую окрестность точки c, лежащую внутри интервала (a,b):
.
u(c)⊂(a,b).
В этой окрестности функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ферма, а значит f’(c)=0.
Теорема доказана.

Question 7

Теорема Лагранжа с доказательством и геометрической интерпретацией

Answer 7

Теорема Лагранжа с доказательством и геометрической интерпретацией.
Теорема. Пусть функция f(x) удовлетворяет следующим условиям
1. Непрерывна на отрезке [a,b];
2. Дифференцируема на отрезке (a,b).
Тогда найдется точка c∊(a,b) такая, что выполняется равенство:
f’(c)=(f(b) - f(a))/(b-a).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-αx, где α - некоторая постоянная. Эта функция непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), в силу соответствующих свойств функций f(x) и αx. Постоянную α выберем из условия F(a)=F(b):
f(a)-αa = f(b)-αb,
откуда
α=(f(b)-f(a))/(b-a).
Теперь функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. По теореме Ролля существует точка c∊(a,b), такая, что F’(c)=0, т.е.
f’(c) - α = 0,
или
f’(c) = α.
С учётом найденного выражения α, имеем:
f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).
Теорема доказана.

Question 8

Теорема Лагранжа в виде формулы конечных приращений

Answer 8

Теорема Лагранжа в виде формулы конечных приращений.
Пусть функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Пусть Δx - приращение аргумента (не выводящее из этой окрестности), а Δy - соответствующее приращение функции. Пусть для определенности Δx>0. Применяя теорему Лагранжа на отрезке [x₀, x₀+Δx], получим^
f’(c)=Δy/Δx, c∊(x₀, x₀+Δx),
или
Δy=f’(c)Δx.
Это формула, связывающая конечные приращения функции и аргумента с производной функции, называется формулой конечных приращений Лагранжа. Из первого замечания очевидно, что она справедлива также для Δx<0 (только, в этом случае, c∊(x₀+Δx, x₀)). Используя вспомогательный параметр θ: 0<θ<1, можно записать формулу конечных приращений в виде:
Δy=f’(x₀+Δxθ)Δx
(здесь c представлено, как c=x₀+Δxθ).

Question 9

Теорема Коши (формулировка и доказательство)

Answer 9

Теорема Коши (формулировка и доказательство).
Теорема Коши. Пусть заданы две функции f(x) и φ(x) и пусть выполняются следующие условия:
1) f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a,b];
2) f(x) и φ(x) дифференцируемы на интервале (a,b);
3) φ’(x)≠0, x∊(a,b).
Тогда ∃c∊(a,b), такая, что справедливо равенство:
f’(c)/φ’(c)=(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a)).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x)=f(x)-αφ(x),
где α - некоторая постоянная. Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] (в силу непрерывности f(x) и φ(x) на этом отрезке) и дифференцируем на интервале (a,b) (в силу дифференцируемости f(x) и φ(x) на этом отрезке). Выберем α из условия
F(a)=F(b):
f(a)-αφ(a) = f(b)-αφ(b),
α(φ(b)-φ(a)) = f(b) - f(a).
Чтобы выразить α, убедимся, что φ(b)-φ(a)≠0. Действительно, если φ(b)=φ(a), то функция φ(x) на [a,b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, следовательно, ∃x₀∊(a,b): φ(x₀) = 0, что противоречит третьему условию настоящей теоремы. Следовательно, φ(b) ≠ φ(a) и
α=(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a)).
Теперь функция F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно, ∃с∊(a,b): F’(c)=0, т.е.
f’(c)-αφ’(c)=0.
С учетом выражения для α, отсюда получим:
f’(c)/φ’(c)=α(f’(b)-f’(a))/(φ’(b)-φ’(a)).
Теорема доказана.

Question 10

Теорема (правило Бернулли-Лопиталя). Доказательство.

Answer 10

Теорема (правило Бернулли-Лопиталя). Доказательство.
Теорема (правило Бернулли-Лопиталя). Пусть в некоторой окрестности u() точки * определены функции f(x) и φ(x), удовлетворяющее следующим условиям:
5. f(x) и φ(x) дифференцируемы в u(a);
6. f(a)->0 и φ(a)->0 при x->, или f(a)->∞ и φ(a)->∞ при x->;
7. φ’(x)≠0, в u(a);
8. ∃lim (f’(x)/φ’(x)) = A, x->a.
Тогда существует
lim f(x)/φ(x)=lim f’(x)/φ’(x), x->.

Question 11

Формулировка и доказательство теоремы (правило Бернулли-Лопиталя) для случая неопределенности 0/0.

Answer 11

Формулировка и доказательство теоремы (правило Бернулли-Лопиталя) для случая неопределенности 0/0.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности u(a) точки a определены функции f(x) и φ(x), удовлетворяющие следующим условиям:
1. f(x) и φ(x) дифференцируемы в u(a);
2. f(a)=0 и φ(a)=0;
3. φ’(x)≠0, в u(a);
4. ∃lim (f’(x)/φ’(x)) = A.
Тогда существует
lim f(x)/φ(x)=A, x->a.
Доказательство. Пусть x∊u(a). Тогда при x>a, на отрезке [a,x] (при x<a, на отрезке [x,a]) функции f и φ удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, ∃c∊(a,x) (либо, соответственно, интервалу (x,a)) такая, что
f’(c)/φ’(c)=(f(x)-f(a))/(φ(x)-φ(a)),
или, с учетом того, что f(a)=0 и φ(a)=0,
f’(c)/φ’(c)=f(x)/φ(x).
Переходя к пределу при x->a, с учетом того, что отрезок [a,x] ([x,a]), внутри которого находится точка c в этом пределе стягивается в точку, т.е. c->x, получим:
lim (f(x)/φ(x)) = lim (f’(c)/φ’(c)) = lim (f’(x)/φ’(x)).
Теорема доказана.

Question 12

Раскрытие неопределенности вида 0*∞. Раскрытие неопределенностей 1^∞, 0^0 и ∞^0

Answer 12

1. Раскрытие неопределенности вида 0∞. Неопределенность 0∞ легко преобразуется в неопределённость 0/0 и ∞/∞:
   0∞=0(1/0)=0/0;
   0∞=(1/∞)∞=∞/∞.
   (Под этими “символическими” преобразованиями подразумеваются соответствующие преобразования над функциями, стоящими под знаком предела.
2. Раскрытие неопределенностей 1^∞, 0^0 и ∞^0. Все три неопределённости преобразуются в неопределенность 0∞ по одной и той же схеме:
   1^∞ = e^(ln (1^∞)) = e^(∞ln 1) = e^(∞0).
   0^0 = e^(ln (0^0)) = e^(0ln 0) = e^(0∞).
   ∞^0 = e^(ln (∞^0)) = e^(0ln ∞) = e^(0*∞).

Question 13

Доказать теорему о сравнении роста показательной, степенной и логарифмической функций при x->+∞

Answer 13

Доказать теорему о сравнении роста показательной, степенной и логарифмической функций при x->+∞
1) Рассмотрим степенную функцию с натуральным показателем f(x)=x^n, n∊N и показательную функцию с основанием больше единицы: g(x)=a^x, a>1.
Покажем, что показательная функция имеет высший порядок роста, по сравнению со степенной при x->+∞.
Действительно, lim (x^n)/(a^x)=lim ((nx^(n-1))/((a^x)lna))=lim ((n(n-1)x^(n-2))/((a^x)lna))=…=lim (n!/((a^x)(ln a)^n))=0, x->+∞.
Таким образом, x^n = o(a^x), x->+∞.
Итак, показательная функция при x->+∞ растёт быстрее любой степени x. В частности,
x^α = o(e^x) при x->+∞.
2) Рассмотрим теперь степенную функцию с положительным показателем и натуральный логарифм: f(x)=x^α, α>0, g(x)=ln(x). Покажем, что степенная функция имеет высший порядок роста по сравнению с логарифмом при x->+∞. Действительно,
lim ((ln x)/(x^α)) = lim ((1/x)/(αx^(α-1)) = lim (1/(ax^α)) = 0.
Таким образом,
ln x = o(x^α) при x->+∞.
Это равенство справедливо и для логарифма с произвольным основанием a>1:
logₐ x = o(x^α) при x->+∞.
3) С учетом сказанного, очевидно, что показательная функция имеет высший порядок роста по сравнению с логарифмической при x->+∞:
logₐ x = o(b^x) при x->+∞
(a,b>1).

Question 14

Многочлен Тейлора. Формула Тейлора n-го порядка

Answer 14

Многочлен Тейлора имеет вид:
Pₙ(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² +… + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ.
Формула Тейлора n-го порядка:
f(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² + … + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ + Rₙ(x),
где f(x) - данная нам функция, Rₙ(x) - остаточный член формулы Тейлора.

Question 15

Построение многочлена Тейлора

Answer 15

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой окрестности все производные, вплоть до (n+1)-го порядка включительно. Построим многочлен Pₙ(x), удовлетворяющий следующим условиям (1):
Pₙ(x₀)=f(x₀),
Pₙ’(x₀)=f’(x₀),
Pₙ’‘(x₀)=f’‘(x₀),
…,
Pₙ⁽ⁿ⁾(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀).
(Все выше заключено в систему).
Эти условия позволяют предположить, что многочлен будет достаточно хорошо приближать функцию f(x) при x близких к x₀. Действительно, в точке x₀ значение многочлена совпадает со значением функции, “скорость” изменения многочлена - со “скоростью” изменения значения функции, “ускорение” изменения значения многочлена - с “ускорением” изменения значения функции и т.д.
Будем искать этот многочлен в виде:
Pₙ(x) = C₀ + C₁(x-x₀) + C₂(x-x₀)² + C₃(x-x₀)³ + … + Cₙ(x-x₀)ⁿ,
где коэффициенты Cₖ (k=0,1,2,…,n) выберем так, что выполнялись условия (1). Дифференцируя равенство, получим:
Pₙ’(x) = C₁ + 2C₂(x-x₀) + 3C₃(x-x₀)² + … + nCₙ(x-x₀)ⁿ⁻¹,
Pₙ’‘(x) = 2C₂ + 6C₃(x-x₀) + … + n(n-1)Cₙ(x-x₀)ⁿ⁻²,
Pₙ’’‘(x) = 6C₃ + … + n(n-1)(n-2)Cₙ(x-x₀)ⁿ⁻³,
…,
Pₙ⁽ⁿ⁾(x) = n(n-1)(n-2)…321Cₙ = Cₙn!.
С учётом условий (1), найдем:
Pₙ(x₀) = C₀ = f(x₀),
Pₙ’(x₀) = C₁ = f’(x₀),
Pₙ’‘(x₀) = 2C₂ = f’‘(x₀),
Pₙ’’‘(x₀) = 6C₃ = f’’‘(x₀),
…,
Pₙ⁽ⁿ⁾(x₀) = Cₙn! = f⁽ⁿ⁾(x₀).
Откуда
C₀ = f(x₀) = f(x₀)/0!,
C₁ = f’(x₀) = f’(x₀)/1!,
C₂ = f’‘(x₀) = f’‘(x₀)/2!,
C₃ = f’’‘(x₀)/3!,
…,
Cₙn! = f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!.
Таким образом, мы нашли формулу для Cₖ:
Cₖ = f⁽k⁾(x₀)/k!, k=0,1,2,…,n.
и искомый многочлен (многочлен Тейлора) имеет вид:
Pₙ(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² +… + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ.
Введём обозначение:
Rₙ(x)=f(x) - Pₙ(x).
Тогда
f(x)=Pₙ(x) + Rₙ(x)
или (формула Тейлора n-го порядка):
f(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² + … + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)*(x-x₀)ⁿ + Rₙ(x).

Question 16

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Answer 16

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
f(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² + … + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)*(x-x₀)ⁿ + o((x-x₀)ⁿ).

Question 17

Теорема о представимости функции по формуле Тейлора в форме Лагранжа

Answer 17

Теорема о представимости функции по формуле Тейлора в форме Лагранжа. Пусть функция f(x) (n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Тогда ∃c∊(x₀;x) при x>x₀ или c∊(x;x₀) при x<x₀ такая, что
f(x) = f(x₀) + (f’(x₀)/1!)(x-x₀) + (f’‘(x₀)/2!)(x-x₀)² + … + (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!)(x-x₀)ⁿ + (f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)/(n+1)!)(x-x₀)ⁿ⁺¹

Question 18

Монотонно возрастающая (убывающая) и определенная на интервале (a,b) функция. Монотонная функция. Теорема (необходимое условие монотонности дифференцируемой функции)

Answer 18

Монотонно возрастающая (убывающая) и определенная на интервале (a,b) функция - это функция, для любых x₁ и x₂ ∊ (a,b), таких, что x₂>x₁, справедливо f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).
Монотонная функция - это функция, которая монотонно возрастает или убывает на данном интервале.
Теорема (необходимое условие монотонности дифференцируемой функции). Пусть функция y=f(x), определенная и дифференцируемая на (a,b), монотонно возрастает (убывает) на этом интервале. Тогда ∀x на этом интервале:
f’(x)⩾0 (f’(x)⩽0).

Question 19

Теорема (достаточное условие монотонности дифференцируемой функции). Доказательство

Answer 19

Теорема (достаточное условие монотонности дифференцируемой функции). Пусть функция определена и дифференцируема на интервале (a,b). Тогда
1) если ∀x∊(a,b) f’(x)>0, то f(x) монотонно возрастает на (a,b).
2) если ∀x∊(a,b) f’(x)<0, то f(x) монотонно убывает на (a,b).
Доказательство. Выберем две произвольные точки x₁, x₂ ∊ (a,b) такие, что x₂>x₁. На сегменте [x₁, x₂] функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на этом сегменте и дифференцируема на (x₁, x₂).
По теореме Лагранжа ∃c∊(x₁, x₂):
f(x₂)-f(x₁)=f’(c)*(x₂-x₁).
Поскольку x₂>x₁, то x₂-x₁>0 и знак разности f(x₂)-f(x₁) определяется знаком производной f’(c).
1) Пусть f’(x)>0 ∀x∊(a,b). Тогда f’(c)>0. Следовательно, f(x₂)-f(x₁)>0, т.е. f(x₂)>f(x₁).
Итак, для произвольных точек x₁, x₂ ∊ (a,b), таких, что x₂>x₁ выполняется неравенство f(x₂)>f(x₁). Последнее означает, что f(x) монотонно возрастает на интервале (a,b).
2) Пусть теперь f’(x)<0 ∀x∊(a,b). Тогда f’(c)<0. Следовательно, f(x₂)-f(x₁)<0, т.е. f(x₂)<f(x₁).
Следовательно, функция f(x) монотонно убывает на интервале (a,b).
Теорема доказана.

Question 20

Определения максимума, минимума и экстремума функции

Answer 20

Опр. Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), а x₀∊(a,b). Тогда
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀.⠀⠀⠀⠀⠀⠀.
1) Если ∃u(x₀): ∀x∊u(x₀) f(x)<f(x₀), то x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), а f(x₀) - максимумом этой функции.
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀.⠀⠀⠀⠀⠀⠀.
2) Если ∃u(x₀): ∀x∊u(x₀) f(x)>f(x₀), то x₀ называется точкой локального минимума функции f(x), а f(x₀) - минимумом этой функции.
Экстремум функции - это точка, являющаяся минимумом или максимумом функции.

Question 21

Первый признак экстремума (в критической точке - по первой производной). Доказательство

Answer 21

Первый признак экстремума (в критической точке - по первой производной).
Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в проколотой окрестности u(x₀) точки x₀ и непрерывна в u(x₀). Тогда, если производная данной функции меняет знак при прохождении через точку x₀, то x₀ - точка экстремума, причем:
1) если при x<x₀ f’(x₀)>0, а при x>x₀ f’(x)<0, то x₀ - точка максимума;
2) если при x<x₀ f’(x₀)<0, а при x>x₀ f’(x)>0, то x₀ - точка минимума.
Доказательство. Проведем доказательство для точки максимума. В случае точки минимума оно аналогично. Рассмотрим два случая.
1) Пусть x>x₀
На [x₀,x] выполняются условия теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа
∃с∊(x₀,x): f(x)-f(x₀)=f’(c)*(x-x₀).
Т.к.x-x₀>0 и f’(x)<0 ∀x∊(x₀,x), а значит f’(c)<0,
то
f(x)-f(x₀)<0 и f(x)<f(x₀)
2) Пусть x<x₀
На [x,x₀] f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По теорема Лагранжа
∃с∊(x,x₀): f(x₀)-f(x) = f’(c)(x₀-x).
Т.к. x₀-x>0, и f’(x)>0 ∀x∊(x,x₀), а значит f’(c)>0, то
f(x₀)-f(x)>0 и f(x)<f(x₀).
Таким образом, как в левосторонней, так и в правосторонней окрестности точки x₀ выполняется неравенство
f(x)<f(x₀).
Следовательно, x₀ - точка максимума.

Question 22

Второй признак экстремума (в стационарной точке - по второй производной).. Доказательство

Answer 22

Второй признак экстремума (в стационарной точке - по второй производной).
Теорема. Пусть функция y=f(x) имеет непрерывную вторую производную некоторой окрестности u(x₀) точки x₀ и пусть f’(x₀)=0. Тогда
1) Если f’‘(x₀)<0, то x₀ - точка максимума.
2) Если f’‘(x₀)>0, то x₀ - точка минимума.
Доказательство. Представим функцию f(x) по формуле Тейлора 2-го порядка в окрестности точки x₀:
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+f’‘(x₀)(x-x₀)²+o((x-x₀)²).
Так как f’(x₀)=0, то
f(x)-f(x₀)=f’‘(x₀)(x-x₀)²+o((x-x₀)²).
В достаточно малой окрестности точки x₀ остаточный член пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в правой части равенства и знак правой части равенства определяется первым слагаемым, поэтому:
1) Если f’‘(x₀)<0, то f(x)-f(x₀)<0 в достаточно малой окрестности u(x₀) и f(x)<f(x₀) ∀x∊u(x₀). Следовательно, x₀ - точка локального максимума.
2) Если f’‘(x₀)>0, то f(x)-f(x₀)>0 в достаточно малой окрестности u(x₀) и f(x)>f(x₀) ∀x∊u(x₀). Следовательно, x₀ - точка минимума.
Теорема доказана.
Замечание. Если f’‘(x₀)=0, то второй достаточный признак не позволяет исследовать функцию на экстремум.

Question 23

Выпуклый (выпуклый вверх) и дифференцируемый на (a,b) график функции.
Теорема (о связи второй производной и выпуклости функции)

Answer 23

Выпуклый (выпуклый вверх) и дифференцируемый на (a,b) график функции - это график функции, касательная к которому в любой точке данного интервала лежит выше графика.
Вогнутый (выпуклый вниз) и дифференцируемый на (a,b) график функции - это график функции, касательная к которому в любой точке данного интервала лежит ниже графика.
Теорема (о связи второй производной и выпуклости функции). Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема на (a,b) (т.е. ∀x∊(a,b)∃f’‘(x)). Тогда
1) Если ∀x∊(a,b): f’‘(x)<0, то график функции y=f(x) - выпуклый на (a,b).
2) Если ∀x∊(a,b): f’‘(x)>0, то график функции y=f(x) - вогнутый на (a,b).
Доказательство. Покажем, что при f’‘(x)<0 ∀x∊(a,b) касательная лежит выше графика функции, т.е. ордината любой точки касательной больше ординаты соответствующей точки графика f(x): yₖ>f(x), а при f’‘(x) - наоборот.
Запишем уравнение касательной к графику функции y=f(x) в произвольной точке x₀∊(a,b):
yₖ-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀),
или
yₖ=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀).
Разность ординат равна:
yₖ - f(x) = f(x₀) - f(x) + f’(x₀)(x-x₀),
Пусть, для определенности x>x₀. Функция f(x) на [x₀,x] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа, ∃с∊(x₀,x): f(x)-f(x₀)=f’(c)(x-x₀). Следовательно,
yₖ - f(x) = -f’(c)(x-x₀) + f’(x₀)(x-x₀),
или
yₖ - f(x) = (x-x₀)(f’(x₀)-f’(c).
Поскольку x>x₀ и c∊(x₀,x), то c>x₀. Функция f’(x) на [x₀,c] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. По теореме Лагранжа ∃c₁∊(x₀,c): f’(c)-f’(x₀)=f’‘(c₁)(c-x₀)=>
yₖ - f(x)=-(x-x₀)(c-x₀)f’‘(c₁).
Поскольку x>x₀ и c>x₀, то (x-x₀)(c-x₀)>0.
К тому же результату придём и в случае x<x₀ и (использовав теорему Лагранжа на сегменте [x,x₀]).
Теперь рассмотрим по отдельности два случая.
1) Если, f’‘(x)<0 ∀x∊(a,b), то yₖ - f(x)>0, т.е. yₖ > f(x), т.е. касательная лежит выше графика и график выпуклый.
2) Если, f’‘(x)>0 ∀x∊(a,b), то yₖ - f(x)<0, т.е. yₖ < f(x), т.е. касательная лежит ниже графика и график вогнутый.
Теорема доказана.

Question 24

Точка перегиба. Теорема (необходимое условие точки перегиба). Доказательство

Answer 24

Точка перегиба - это точка графика функции, при прохождении через которую меняется направление выпуклости графика (с выпуклости на вогнутость или наоборот).
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет в точке x₀ непрерывную 2-ую производную и точка M(x₀, f(x₀)) - точка перегиба графика функции y=f(x). Тогда f’‘(x₀)=0.
Доказательство. Проведём доказательство от противного.
Допустим, что f’‘(x₀)>0. В силу непрерывности второй производной в точке x₀, существует окрестность u(x₀) этой точки такая, что внутри u(x₀) f’‘(x₀)>0, а значит график функции является выпуклым, следовательно x₀ не может быть точкой перегиба, что противоречит условию теоремы.
Допустим теперь, что f’‘(x₀)<0. В силу непрерывности 2-й производной в точке x₀, существует окрестность u(x₀) этой точки такая, что внутри u(x₀) f’‘(x)<0, а значит график функции является вогнутым, следовательно x₀ опять же не может быть точкой перегиба, что противоречит условию теоремы.
Поскольку f’‘(x₀) не положительна и не отрицательна, но всё же существует, то f’‘(x₀)=0.
Теорема доказана.

Question 25

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Доказательство

Answer 25

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀, f’‘(x₀)=0 или f’‘(x₀) не существует (в частности, бесконечна) и при прохождении через точку x₀ f’‘(x₀) меняет знак, то (x₀, f(x₀)) - точка перегиба графика.
Доказательство. Пусть, для определенности, f’‘(x) при прохождении через точку x₀ меняет знак с “+” на “-“, т.е.
f’‘(x)>0 при x<x₀,
f’‘(x)<0 при x>x₀.
Тогда при x<x₀ график функции f(x) является вогнутым, а при x>x₀ - выпуклым. Следовательно, (x₀, f(x₀)) - точка перегиба графика.
Аналогично, если f’‘(x) при прохождении через т. x₀ меняет знак с “-“ на “+”, то слева от точки x₀ график является выпуклым, а справа вогнутым. Следовательно, (x₀, f(x₀)) - точка перегиба графика.

Question 26

Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика

Answer 26

Схема полного исследования функции и построения (эскиза) ее графика.
1) область определения;
2) четность;
3) асимптоты: проверить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных (для них мы находим k и b через пределы при стремлении x к бесконечности; находим пределы отношения y/x и предел y - kx, соответственно);
4) три числовых прямых для x одна под другой: одна отражает y (отмечаем знаки функции), вторая - y’ (отмечаем возрастание/убывание), третья - y’’ (отмечаем выпуклости). На основании предыдущих действий строим графики. Строим асимптоты. Строим касательные (небольшой отрезок в 3-4 клетки с отмеченной на ней точкой касания) в точках перегиба (смена знака y’’) и экстремумах.