Основные понятия с матана Flashcards
Предел последовательности {xn} при n->∞
Предел последовательности {xn} при n->∞ - это число a, обладающее свойством, что для любого, сколь угодно малого, положительного числа ε найдется такое, достаточно большое, натуральное число N, что при n>N выполняется неравенство |xn - a|<ε:
{lim xn = a, n->∞}<=>{∀ε>0 ∃N: n>N => |xn - a|<ε}.
Предел функции f(x) при x->*
Предел функции f(x) при x->* - это число a, обладающее свойством, что для любого, сколь угодно малого, положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что в проколотой δ-окрестности выполняется неравенство |f(x) - a|<ε:
{lim f(x)n = a, x->}<=>{∀ε>0 ∃δ: x∈u() => |f(x) - a|<ε}.
Первый замечательный предел. Доказательство. Следствия
Первый замечательный предел:
lim (sin x)/x=1, при x->0.
Доказательство:
Так как функция (sin x)/x - четная, то достаточно ограничиться случаем, когда x->0+ (x>0). Очевидно, что характер стремления при x->0- тот же самый.
Общая схема:
1) начертить тригонометрический круг с R=1;
2) провести прямую из начала координат, отметить x как угол, sin x, tg x, хорду;
3) сравнить площади: треугольник с хордой, сектор, треугольник с tgx;
4) прийти к заключению, что sin x < x < tgx; используя теорему о пределе промежуточной функции завершить доказательство.
Следствия 1-го замечательного предела (при x->0):
1. lim (sin ax)/x = a.
2. lim (tg x)/x = 1.
3. lim (arcsin x)/x = 1.
4. lim (arctg x)/x = 1.
5. lim (1-cos x)/(x²) = 1/2.
Второй замечательный предел. Формулировка и следствия
Второй замечательный предел:
lim (1+1/x)^x = e, x->∞.
Следствия 2-го замечательного предела (1-3 при x->0, 4 при x->∞):
1. lim (1+x)^(1/x) = e.
2. lim (ln(1+x))/x = 1.
3. lim (e^x-1)/x = 1.
4. lim (1+a/x)^x = e^a.
4 определения непрерывности функции в точке
4 определения непрерывности функции в точке:
1) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой существует lim f(x) при x->x₀ и этот предел равен значению функции.
2) Функция f(x) непрерывная и определенная в некоторой окрестности точки x₀ - это функция, которая в достаточно малой окрестности точки x₀ имеет значения сколь угодно близкие к f(x₀).
3) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой существуют правосторонние и левосторонние пределы f(x) при x->x₀, и их значения равны f(x₀).
4) Непрерывная и определенная в некоторой не проколотой окрестности x₀ функция f(x) - это функция, для которой бесконечно малое приращение аргумента в точке x₀ соответствует бесконечно малое приращение функции.
Производная функции y=f(x) в точке x₀
Производная функции y=f(x) в точке x₀ - это предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю:
f’(x₀)=lim (Δx)/(Δy), Δx->0.
Дифференциал функции
Дифференциал функции - это величина, равная произведению производной функции и приращения аргумента:
dy=f’(x)*dx.
