2D Vector Field Foundations Flashcards

1
Q

Welche beiden Formen gibt es um ein Vector Field zu definieren?

A
  • Analytic form, nur sehr selten gegeben
  • Discrete form, kommt häufiger vor
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2
Q

Wofür stehen die partiellen Ableitungen?

A

Für die momentane Änderungsrate vom Vektor in Richtung der angegebenen Achse

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3
Q

Was macht die Jacobi Matrix?

A

Die Jacobi Matrix beschreibt die Änderung des Vector Fields in (x,y)

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4
Q

Wie kann man formal die Divergence bestimmen?

A

Die Divergence ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen der Jacobi Matrix

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Q

Was ist die Divergence praktisch?

A

Die Divergence ist ein lokales Maß für den Abfluss eines Vektorfeldes an einem bestimmten Punkt und hilft bei der Klassifizierung von Quellen und Senken

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6
Q

Wie kann man formal die Vorticity (dt. Wirbelstärke) bestimmen?

A

Die Vorticity ist definiert als die Krümmung (Rotation) eines Vektorfeldes, d.h. sie ist die Differenz der Elemente der Gegendiagonalen der Jacobi Matrix

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7
Q

Was ist die Vorticity praktisch?

A
  • Vorticity ist das lokale Maß der Krümmung eines Vektorfeldes in einem bestimmten Punkt
  • Vorticity hat nichts mit dem globalen Verhalten des Vektorfeldes zu tun
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8
Q

Was ermöglicht die Taylor Entwicklung?

A

Die Taylor Entwicklung ermöglicht eine Annäherung beliebiger Funktionen durch Polynome

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9
Q

Was sind critical points?

A

Critical points oder auch Fixpoints sind Punkte in einem Vektorfeld wo der flow gleich 0 ist

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10
Q

Wovon hängen die lokalen Eigenschaften des flow in unmittelbarer Nähe des critical points ab?

A

Nur von der Jacobi Matrix

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11
Q

Wie lässt sich jede Matrix zusammensetzen?

A

Jede Matrix lässt sich zusammensetzen aus der Summe einer symmetrischen und einer asymmetrischen Matrix

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12
Q

Was ist der Eigenwert einer nxn-Matrix?

A

Der Eigenwert einer Matrix ist ein scalar Wert lambda, der folgende Gleichung löst: Ax=lambdax

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13
Q

Wie kann man die Eigenwerte berechnen?

A

Die Eigenwerte kann man mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen
-> Minus lambda auf der Diagonalen der Matrix

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14
Q

Was ist wichtig über die Vielfachen des Eigenvektors?

A

Jedes Vielfache eines Eigenvektors ist auch ein Eigenvektor des gleichen Eigenwertes

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15
Q

Wie lautet der Ansatz zur Bestimmung der Topologie von critical points?

A
  • Bestimmung der Jacobi Matrix für jeden critical point
  • Bestimmung der Eigenwerte der Jacobi Matrix und Kategorisierung der Topologie
  • Bestimmung der Eigenvektoren für jeden Eigenwert
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16
Q

Welche Rollen spielen reelle Eigenvektoren?

A
  • Beispielmatrizen hatten die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen als Eigenvektoren
  • Die Eigenvektoren beliebiger Jacobi Matrizen bestimmen die Scherung der Koordinatenachsen
17
Q

Wie kann man vektorwertige Funktionen differenzieren?

A
  • Totales Differntial: Jacobi Matrix
  • Richtungsableitung (unter Verwendung der Jacobi Matrix)
  • Divergenz: Beschreibt die Intensität von Quellen und Senken
  • Krümmung: Beschreibt die Wirbelstärke
18
Q

Wie kann man die Feldlinien berechnen?

A
  • Bestimmen des Weges des Teilchens, d.h. seine Position in Abhängigkeit von der Zeit
  • Man bestimmt diesen Weg so, dass er in jedem Punkt tangential zum Vektorfeld ist
19
Q

Was ist Vorteil der Implicit Euler Method?

A

Numerisch stabil aber nicht genauer als Explicit Euler

20
Q

Was ist der Nachteil der Implicit Euler Method?

A

Kann sehr rechenaufwendig sein, wenn man einen iterativen Ansatz verwendet, um X_{i-1} zu berechnen

21
Q

Was sind die Eigenschaften der Implicit Euler Method?

A
  • First order consistent
  • Numerisch stabil für große Schrittweiten
22
Q

Was sind die Eigenschaften der Explicit Euler Method?

A
  • Einfach und schnell zu berechnen
  • First order consistent
  • Numerisch stabild für kleine Schrittweiten
23
Q

Was sind die Eigenschaften der Explicit Heun Method?

A
  • Einfach zu berechnen
  • Second order consistent
  • Numerisch stabil für kleine Schrittweiten
24
Q

Was sind die Eigenschaften der Implicit Heun Method?

A
  • Braucht rechenaufwendige iterative Berechnungen
  • Second order consistent
  • Numerisch stabil für größere Schrittweiten
25
Q

Was sind die Eigenschaften der Runge Kutta Method?

A
  • Bisschen komplexer zu berechen (Vier-Schritt vorwärts Methode, keine Iteration)
  • Forth order consistent
  • Numerisch stabil für größere Schrittweiten