10 Diskrete Fourier-Transformation

Question 1

Was ist bei der diskreten Fourier-Transformation anders als bei der für kontinuierliche Signale?

Answer 1

1. Die Integration wird durch die Summation über die ganzen Zahlen von 0 bis N-1 ersetzt
2. Im Exponent steht zusätzlich der Faktor 1/N
3. Bei der Rücktransformation zusätzlicher Faktor 1/N

Question 2

Warum erweitert man die Seitenlänge von Bildern meist auf die nächst größere Zweierpotenz?

Answer 2

Um die Anzahl der Datenpunkte auf eine Potenz von zwei zu bringen, damit man den Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation anwenden kann um den Rechenaufwand zu minimieren

Question 3

Woraus ergibt sich eine zweidimensionale DFT?

Answer 3

Durch die Ausführung einer eindimensionalen DFT in beide Raumrichtungen. Dabei ist es egal welche der beiden Richtungen zuerst durchgeführt wird

Question 4

Was ist das Spektrum eines Bildes?

Answer 4

Das Spektrum eines Bildes ist wieder ein Bild. Allerdings ist dieses Bild komplexwertig, obwohl das Originalbild reellwertig war. Dafür ist der Realteil des Spektrums symmetrisch und der Imaginärteil antisymmetrisch

Question 5

Worüber sagen bei der kontinuierlichen FT die tiefen Frequenzen etwas aus?

Answer 5

Die tiefen Frequenzen sagen etwas über die langsamen Änderungen und die großräumigen Strukturen eines Signals aus

Question 6

Worüber sagen bei der kontinuierlichen FT die hohen Frequenzen etwas aus?

Answer 6

Die hohen Frequenzen sagen etwas über schnelle Änderungen und kleinräumige Strukturen aus, die Details beschreiben

Question 7

Was für widerstrebende Anforderungen gibt es bei der Fensterfunktion beim Leakage Effekt?

Answer 7

1. Je steiler das Fenster, desto stärker bleibt der Leakage Effekt, da auch die steile Kante des Fensters hohe Frequenzen erzeugt
2. Je flacher das Fenster, desto schmaler ist der Bereich, der übrig bleibt und desto ungenauer ist die Frequenzmessung

Question 8

Wodurch ergeben sich Kanten und Linien im Bild?

Answer 8

Solche Strukturen ergeben sich, wenn die Wellenfronten für die gleiche Richtung in Phase sind, und zwar

1. im Nulldurchgang für Kanten
2. im Minimum bzw. Maximum für dünne Linien

Question 9

Was entscheidet die Phase in Bildern?

Answer 9

Wo sich die entsprechenden Strukturen befinden

Question 10

Was entscheidet der Betrag in Bildern?

Answer 10

Ob die Strukturen eher scharf oder eher unscharf sind

Question 11

Wo ist im Wesentlichen der Bildinhalt enthalten?

Answer 11

In der Phase

Question 12

Wie funktioniert eine Entfaltung?

Answer 12

Die Entfaltung ist ein Verfahren, um in einfacher Weise eine Filterung zu invertieren. Dazu nimmt man die diskrete Impulsantwort des Filters und berechnet die Übertragungsfunktion. Anschließend wird das Spektrum durch die Übertragungsfunktion dividiert, um die vorherige Multiplikation wieder rückgängig zu machen

Question 13

Was ist der Nachteil der Entfaltung?

Answer 13

Funktioniert nur wenn die Übertragungsfunktion nicht 0 ist

Question 14

Wodurch lässt sich grundsätzlich jede lineare Filterung realisieren?

Answer 14

1. Durch eine Faltung des Bildes mit der Impulsantwort

2. Durch eine Multiplikation der Fourier-Transformierten mit der Übertragungsfunktion

Question 15

Was sind die Vorteile bei der Multiplikation mit der Übertragungsfunktion?

Answer 15

Weniger Rechenaufwand bei räumlich ausgedehnter Impulsantwort und große Flexibilität im Frequenzgang

Question 16

Was sind die Vorteile einer Faltung?

Answer 16

Keine Transformation, daher weniger Aufwand bei nur wenigen Punkten und breiter Impulsantwort, Keine Vergrößerung auf nächste Potenz von 2 und Signal ist in der Realität nicht zyklisch und bei diesem Verfahren ist eine andere Behandlung des Signals am Rande möglich

Question 17

Was sind die bei der Abtastung betrachteten Frequenzen auf dem Rechner?

Answer 17

Die bei der Abtastung betrachteten Frequenzen sind die, bei der man eine ganze Zahl von Perioden auf der Bildbreite bzw -höhe hat