07 - Oscillations Mécaniques Flashcards
Pendule pesant simple > Equation différentielle en précisant également ω₀²
θ̈ + gθ/ℓ = 0
Avec ω₀² = g/ℓ où ω₀ est la pulsation propre en rad/s
Pendule pesant simple : Période propre
T₀ = 2π/ω₀ = 2π √( ℓ/g )
Pendule pesant simple : Loi d’isochronisme
- La période propre T₀ d’un pendule simple est indépendante de l’… pour des petites oscillations d’angle inférieur à …
- Elle est également indépendante de sa …
- Amplitude > 20°
- Masse
Pendule pesant simple : solution de l’équation différentielle
θ(t) = …
θ(t) = θᵐ.cos(ω₀t + φ₀)
où θᵐ est l’amplitude angulaire
Cas 1 - L’horloge monte en accélérant ou descend en ralentissant
Période propre T₀₁
T₀₁ = 2π √( ℓ/ g+a ) = T₀ √( g/ g+a )
Cas 2 - L’horloge monte en ralentissant ou descend en accélérant
Période propre T₀₂
T₀₂ = 2π √( ℓ/ g-a ) = T₀ √( g/ g-a )
Cas 3 - L’ascenseur monte ou descend à vitesse constante
Période propre T₀
T₀ = 2π √( ℓ/g )
Horloge à pendule dans un ascenseur : Cas 1, 2 et 3 L’heure indiquée et la période propre sont inversement proportionnelles
t₀/T₀ = t₁/T₀₁ = t₂/T₀₂ ⇔ t₀ > t₁ > t₂
Horloge à pendule dans un ascenseur : cas où l’horloge à pendule s’arrête
- a = …
- La période propre tend vers …
- a = g
- ∞
Horloge à pendule dans un ascenseur : chute libre La masse m est en … et l’horloge ne cesse de …
Apesanteur
Battre
Rencontre de 2 pendules
Donner la relation T₂/T₁
T₂/T₁ = √( ℓ₂/ℓ₁ ) = n₂/n₁
Ressort horizontal
Force F⃗ exercée par le ressort sur le mobile
F⃗ = kx i⃗
Où x est le déplacement de l’extrémité mobile du ressort
Ressort horizontal > Etirement
Si x … 0, T⃗ est orienté dans le sens de …
- x > 0
- -i⃗
Ressort horizontal : compression
Si x … 0, T⃗ est orientée dans le sens de …
- x < 0
- i⃗
Ressort horizontal
Tension T⃗ du ressort
T⃗ = kx i⃗
Où x est l’écartement du ressort
Ressort horizontal > Equation différentielle de l’oscillateur harmonique
ẍ + kx/m = 0 Avec ω₀² = k/m ⇒ ẍ + ω₀².x = 0
Ressort horizontal > Forme de la solution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
x(t) = Xm.cos(ω0t+φ)
Ressort horizontal > Solution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique
x(t) = Xm.cos( √(k/m).t +φ0 )
Ressort horizontal
- Xᵐ est l’… des oscillations
- ω₀ est la … du système ressort-solide
- φ₀ est la … à l’origine des dates
- Xᵐ et φ₀ sont des constantes qui dépendent des …
Amplitude / Pulsation propre / Phase / Conditions initiales
Ressort horizontal > Période propre de ces oscillations libres mécaniques non amorties
T₀ = 2π/ω₀ = 2π.√( m/k )
Ressort horizontal > Fréquence propre de ces oscillations libres mécaniques non amorties
f₀ = 1/T₀ = (1/2π) . √( k/m )
Ressort horizontal étiré et lâché sans vitesse initiale
Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire
- x(0) = x₀ > 0 et v(0) = 0
- φ₀ = 0
- Xm = x₀
- x(t) = x₀.cos(ω₀t)
Ressort horizontal comprimé et lâché sans vitesse initiale
Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire
- x(0) = x₀ < 0 et v(0) = 0
- φ₀ = π
- Xm = x₀
- x(t) = -x₀.cos(ω₀t + π)
Ressort horizontal à l’équilibre et vitesse initiale négative
Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire
- x(0) = 0 et v(0) = v₀ < 0
- φ₀ = π/2
- Xm = v₀/ω₀
- x(t) = -(v₀/ω₀) . sin(ω₀t)
À t=0, x₀=0 et v₀< 0 φ₀ = π/2 et Xm = v₀/ω₀
x(t) = (v₀/ω₀).cos(ω₀t+π/2) = -(v₀/ω₀).sin(ω₀t)
Ressort horizontal à l’équilibre et vitesse initiale positive
Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire
- x(0) = 0 et v(0) = v₀ > 0
- φ₀ = -π/2
- Xm = v₀/ω₀
- x(t) = (v₀/ω₀) . sin(ω₀t)
Ressort horizontal > Classification des conditions initiales
Si x₀ = Xᵐ/2 et v₀ = - (V(3)/2).Vm Alors φ₀ = …
π/3
Ressort horizontal > Classification des conditions initiales
Si x₀ = Xᵐ/V(2) et v₀ = - Vᵐ/V(2) Alors φ₀ = …
π/4
Ressort horizontal > Classification des conditions initiales
Si x₀ = Xᵐ/V(2) et v₀ = Vᵐ/V(2) Alors φ₀ = …
- π/4
Ressort horizontal > Classification des conditions initiales
Si x₀ = ( V(3)/2 ).Xᵐ et v₀ = - Vᵐ/2 Alors φ₀ = …
π/6
Ressort horizontal > Déphasage de la position et de la vitesse
- La position x et la vitesse v sont en … de phase (déphasage de π/2) quand x est … et v est … Et inversement.
- La position x et la vitesse v sont … de période …
- Quadrature / Nulle / Extrémale
- Périodiques / T₀
Ressort horizontal > Energie potentielle élastique
Epe = 1/2kx²
Ressort horizontal > Energie mécanique en l’absence de frottement
Em = 1/2k(Xm)² = 1/2m(Vm)² = Ec + Ep = 1/2mv² + 1/2kx²
Ressort horizontal > Vitesse maximale
Vm = ω₀Xm
Ressort horizontal > Aspect énergétique
- Quand la masse se rapproche de sa position d’équilibre, Epe … et Ec …
- Quand elle s’en éloigne, Epe … et Ec …
- Au cours d’une oscillation, il y a … des Ec et Epe du système
- Diminue / augmente
- Augmente / diminue
- Conversion réciproque
Ressort horizontal > Erreur fréquente sur la période des énergies
Ec et Epe sont périodiques de période … et non T₀
T₀/2
2 ressorts horizontaux
Le système de 2 ressorts de coefficient de raideur k₁ et k₂ séparés d’une masse est équivalent à un ressort de coefficient de raideur K = …
K = k₁ + k₂
2 ressorts horizontaux > Equation différentielle
ẍ + (k₁ + k₂)x /m = 0
2 ressorts horizontaux > Conception erronée de la notion d’allongement Δℓ
A tout instant, l’allongement Δℓ de T = kΔℓ est toujours défini par rapport à la longueur du ressort au … et non par rapport à la longueur du ressort à l’…
Repos ℓ₀ / équilibre
2 ressorts horizontaux > Pulsation propre ω₀
ω₀ = √( k₁+k₂ /m)
2 ressorts horizontaux > Période propre T₀
T₀ = 2π .√( m /k₁+k₂)
Ressort vertical : Principe d’inertie
Le ressort est à l’équilibre : …
- (Penser au ressort au repos puis à l’équilibre)
- T₀ - P = 0 -k( xéq - ℓ₀ ) - mg = 0
Ressort vertical > Équation différentielle en condition d’équilibre
- ẍ + k( x - xéq ) /m = 0
- On pose X = x - xéq, on a donc ẌX = ẍx puisque xéq est une constante Ẍ + ω₀²X = 0
Ressort vertical > Solution de l’équation différentielle
- La solution de Ẍ + ω₀²X = 0 est : X(t) = Xmcos(ω₀t + Φ₀)
- Donc, dans le repère (Ox) la solution de ẍ + k( x - xéq ) /m = 0 est :
- x(t) = (xm-xéq).cos(ω₀t+Φ₀) + xéq
- x(t) = (xm-xéq).cos(ω₀t+π/2) + xéq
Ressort vertical > Énergie mécanique à l’équilibre
Em = Ec + Epe + Epp = 1/2 mvm² + 1/2 k(xéq - ℓ₀)² + mgxéq
Ressort vertical > Énergie mécanique au point d’amplitude maximale
Em = 1/2 k(xm - ℓ₀)² + mgxm
2 ressorts liés entre eux > Coefficient de raideur K
K = k₁k₂ /(k₁+k₂) ⇔ 1/K = 1/k₁ +1/k₂
2 ressorts reliés entre eux > Équation différentielle
mẍ + k₁k₂x /(k₁+k₂) = 0
Oscillateur mécanique libre amorti
- En présence de frottements, l’énergie mécanique de l’oscillateur libre ne se … plus
- L’énergie mécanique … et se transforme en … dissipée vers le milieu extérieur
- Conserve
- Diminue Chaleur
Oscillateur mécanique libre amorti
La force de frottement est proportionnelle à la …
- Vitesse f⃗ = -λv⃗ avec λ>0
Oscillateur mécanique amorti > Equation différentielle dans tous les cas
-λẋ - kx = mẍ ⇔ ẍ + λẋ/m + ω₀²x = 0
Oscillateur mécanique amorti > Solution de l’équation différentielle
- De la forme, x(t) = Ae-λt/2m.cos(ωt + Φ₀)
- Avec ω² = ω₀² - (λ/2m)² T > T₀
Régime apériodique
- Les frottement sont très …
- Le solide revient rapidement vers sa position d’équilibre sans …
- Le mouvement cesse d’être oscillatoire à partir d’une valeur critique de l’…
- Importants
- Osciller
- Amortissement
Régime critique
- Parmi tous les mouvements apériodiques de cet oscillateur, c’est celui pour lequel le retour vers la position d’équilibre est le plus …
- Le régime critique est un régime particulier entre les régimes … et …
- Rapide Peudopériodiques
- Apériodiques
Oscillation forcée ou entretenue
- Puisque l’oscillateur réel est non … il faut lui fournir un apport … d’énergie par un système … si l’on veut qu’il conserve une énergie mécanique constante
- Convervatif / régulier
- Extérieur
Énergie cinétique maximale
Ecmax = 1/2 kX2
Oscillation forcée ou entretenue > Oscillation à la résonnance
- On applique à l’oscillateur une force motrice extérieur périodique. L’amplitude Xm des oscillations d’un ressort ou l’amplitude angulaire Am d’un pendule dépend de la … d’un excitateur
- Elle est maximale quand la fréquence de l’excitateur est voisine de la … caractérisant le résonateur … On dit que l’oscillateur est à la …
- Fréquence de rotation
- Fréquence propre f0 / solide-ressort / résonnance
Oscillation forcée ou entretenue > Courbe de résonnance en fréquence
- La courbe donnant les variations de l’amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence imposée par l’excitateur s’appelle …
- La bande passante à -3dB représente l’intervalle de fréquence Δf=… comprise entre … et … pour lesquelles l’amplitude est supérieure à … pour un ressort ou à … pour un pendule
- Courbe de résonance
- Δf=f2-f1 / f1 et f2 /
- Xm/√2 et Am/√2
Oscillation forcée ou entretenue > Courbe de résonnance en temps
Oscillation forcée ou entretenue > Courbe de résonnance en fréquence
- L’amplitude à la résonnance Xm est obtenue pour une fréquence voisine de la … appelée fréquence de …
- Dans le cas du ressort, on applique sur la masse m, en plus de la force de rappel et de la force d’amortissement, une force du milieu extérieur qui entretient le système. Cette force est de la forme : F(t) = …
- L’équation différentielle est alors : …
- Fréquence propre f0 / fréquence de résonnance
- F(t) = F0sin(2πft)
- mẍ + λẋ + kx = F(t)
