04 - Application de la seconde loi de Newton à la chute Flashcards
Chute libre verticale sans vitesse initiale (axe descendant) :
z = 1/2.gt²
Pourquoi la chute libre verticale est un MRUA ?
- sa trajectoire décrit une droite
- a = cste
Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 1 : l’objet est lancé vers le bas avec une vitesse v₀ non nulle
Équation horaire ?
z = 1/2.gt² + v₀.t
Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 1 : l’objet est lancé vers le bas avec une vitesse v₀ non nulle
Hauteur de chute ?
h = 1/2.gt[c]² + v₀.t (t[c] est le temps de chute)
Chute libre avec vitesse initiale (axe descendant) :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle
Equation horaire ?
z = 1/2.gt² - v₀.t
Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle
Temps de montée ?
t = v₀ / g
Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle
Hauteur maximale (flèche) ?
h(max) = v₀² / 2g
Chute libre avec vitesse initiale :
Cas 2 : l’objet est lancé vers le haut avec une vitesse v₀ non nulle
Temps de repassage ?
t(repassage) = 2v₀ / g
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Equation différentielle ?
dv/dt + (K/m)v = g (1 - ρ[fluide]/ρ)
dv/dt + (K/m)v = g (m - m[fluide] ) / m
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Pourquoi cette situation ne correspond pas à une chute libre ?
Le poids n’est pas la seule force agissant sur le système :
a⃗ ≠ g⃗
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Solution de l’équation différentielle ?
De la forme v(t) = A + Be ̄ᶛᵗ
v(t) = mg/K (1 - ρ[fluide]/ρ) (1 - e^(-Kt/m) )
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Quel est la valeur de la vitesse limite ?
Dans l’équation différentielle de la vitesse :
La vitesse limite est atteinte quand dv/dt = 0
d’où v[lim] = mg/K (1 - ρ[fluide]/ρ)
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
(Méthode des 50%) À quoi correspond la valeur τ.ln2 ≃ 0,7t ?
Au temps correspondant à 50% de v[lim], càd la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint la moitié de sa valeur
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Au bout d’une durée de quel ordre le régime est dit asymptotique / permanent (MRU) ?
Au bout d’une durée de l’ordre de 5τ
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Accélération ?
a = dv/dt = ( v[lim] / τ ).e^(-t/τ) = g.(1 - ρ[fluide]/ρ).e^(-t/τ)
Avec a[max] = v[lim] / τ = g.(1 - ρ[fluide]/ρ)
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Constante de frottement ?
f⃗ = -Kv⃗
K = 6πrη
K est le coeff. de frottement
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Equation différentielle en négligeant la poussée d’Archimède ?
dv/dt + (K/m)v = g
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Solution de l’équation différentielle en négligeant la poussée d’Archimède ?
v(t) = v[lim].( 1 - e^(-t/τ) )
où v[lim] = mg/K et τ = m/K
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv
Accélération en négligeant la poussée d’Archimède ?
a(t) = a[max].e^(-t/τ)
où a[max] = v[lim] / τ = g
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv²
Equation différentielle ?
dv/dt + (K/m)v² = g (1 - ρ[fluide]/ρ)
Chute verticale avec frottement fluide : f = Kv²
Vitesse limite ?
La vitesse limite est atteinte quand dv/dt = 0,
soit v[lim] = √ ( mg/K.1-ρ[fluide]/ρ )
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Equation de la trajectoire ?
z = -1/2 g x²/v₀².cos²α + x.tanα
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Portée x[p] telle que z = 0 ?
x[p] = v₀².sin2α / g = 2v₀ ͯv₀ʸ / g
Remarque :
sin2α = 2 sinα . cosα
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
A quelle condition la portée est maximale ?
La portée est maximale pour α = π/4 (45°)
soit x[p]max = v₀² / g
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Flèche z[f] telle que vᶻ = 0 ?
z[f] = v₀².sin²α / 2g
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
À quelle condition la flèche est maximale ?
La flèche est maximale pour α = π/2
soit z[f]max = v₀² / 2g
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Relation entre flèche et portée ?
z[f] / x[p] = tanα / 4
x[p] = 2x[f]
z[f] / x[f] = tanα / 2
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Temps de chute ?
t[chute] = x[p] / v₀.cosα = 2v₀.sinα / g t[chute]² = 8z[f] / g
Chute parabolique - Cas 1 (α, v₀)
Vitesse initiale ?
v₀² = g.x[p] / sin2α
puisque x[p] = v₀².sin2α / g
Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)
Equation de la trajectoire ?
z = -1/2 g x²/v₀² + h
Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)
Flèche ?
z[f] = h
Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)√
Portée ?
x[p] = v₀ √(2h/g)
Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)
Temps de chute ?
t[chute] = √(2h/g)
Chute parabolique - Cas 2 (h, v₀)
Vitesse initiale ?
v₀² = gp² / 2h
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Equation de la trajectoire ?
z = -1/2 g x²/v₀².cos²α + x.tanα + h
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Flèche ?
z[f] = F + h = v₀².sin²α / 2g + h
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Portée ?
x[p] = P/2 ( 1 + √(1+h/F) )
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Temps de chute ?
t[chute] = x[p] / v₀.cosα
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀) Vitesse initiale (de façon générale) ?
v₀² = gP² / P.sin2α+2hcos²α
Chute parabolique - Cas 3 (h, α, v₀)
Vitesse initiale si α = 45° = π/4 ?
v₀² = gP / 1+h/P
