Zahlen

Question 1

Erkläre die fünf Körperaxiome.

Answer 1

1. Kommutativgesetz: a + b = b + a, a · b = b · a
2. Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c
3. Distributivgesetz: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
4. Neutralitätsaxiom: Es gibt Elemente 0, 1 ∈ R mit 0 ≠ 1 und a + 0 = a sowie a · 1 = a
5. Inversenaxiom: Es gibt eine Zahl −a ∈ R derart, dass a + (−a) = 0 ist. Ist a ≠ 0, so gibt es zudem eine Zahl a −1 ∈ R derart, dass a · a −1 = 1 ist.

Question 2

Erkläre die drei Ordnungsaxiome und das Schnittaxiom

Answer 2

1. Trichotomieaxiom: a < b oder a = b oder b < a
2. Transitivitätsaxiom: ist a < b und b < c, so ist a < c
3. Monotonieaxiom: ist a < b, so ist a + c < b + c und a · c < b · c, falls c > 0
4. Schnittaxiom: Zu je zwei nicht leeren Teilmengen X, Y ⊆ R mit X ∪ Y = R und x < y für alle x ∈ X und y ∈ Y gibt es genau eine Zahl z ∈ R mit x ≤ z ≤ y, für alle x ∈ X und alle y ∈ Y

Question 3

Was ist der binomische Lehrsatz?

Answer 3

Für alle a, b ∈ R und jede natürliche Zahl n ist:

Question 4

Was ist eine induktive Menge?

Answer 4

Eine Teilmenge N ⊆ R heißt induktiv, induktive Menge oder Induktionsmenge wenn 1 ∈ N ist und für jedes n ∈ N auch n + 1 ∈ N ist.

Question 5

Was ist die Funktion von komplexen Zahlen?

Wie ist eine komplexe Zahl grundlegend aufgebaut?

Wie werden zwei komplexe Zahlen addiert bzw. multipliziert?

Answer 5

Komplexe Zahlen erfüllen den Zweck Gleichungen, wie x² + 1 = 0 lösen zu können, was mit irrationalen Zahlen bisher nicht möglich war.

Eine komplexe Zahl ist unterteilt in einen Realteil und einen Imaginärteil.

1. a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
2. a · b = (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 − a2b2, a1b2 + a2b1)

Question 6

Was sind die Inversen einer komplexen Zahl?

Answer 6

Die Inversen zu (a, b) ∈ C sind:

−(a, b) = (−a, −b) und (a, b) −1 = (a/(a² + b²), −b/(a² + b²) falls (a, b) ≠ 0.

Die Division von (a, b), (c, d) ∈ C ist wie folgt:

Question 7

Wie potenziert man eine komplexe Zahl?

Answer 7

Zum Potenzieren von komplexen Zahlen muss die Zahl in trigonometrischer Darstellung bekannt oder umgewandelt sein.

Wurzeln können nach Potenzgesetzen zu Potenzen umgewandelt werden.

Dann kann die Moivresche Formel angewendet werden:

Question 8

Was für Darstellungsformen gibt es bei komplexen Zahlen und wie können sie jeweils ineinander umgewandelt werden?

Answer 8

Es gibt folgende Darstellungen:

1. Vektordarstellung: (a, b)
2. kartesische Form: a + bi
3. trigonometrische Form: r * (cos(æ) + i * sin(æ))
4. e-normalisierte Polarkoordinaten Form: r * e ^ (æ * i)

Die Vektordarstellung und kartesische Form ist die Standard Form und kann an der Gauß’schen Zahlenebene abgelesen werden.

Die trigonometrische Form und die e-normalisierte Polarkoordinaten Form müssen vorher berechnet werden mit r als dem Modul der komplexen Zahl und æ als dem Argument der komplexen Zahl.