Analytische Geometrie

Question 1

Wie ist ein Vektorraum definiert?

Gehe dabei genauer auf die folgenden Begriffe ein:

• Abelsche Gruppe
• inverses Element
• (Null-)Vektor
• Skalar

Answer 1

Question 2

Welche Begriffe (durchgestrichen) sind hier gesucht?

Was sind Einheitsvektoren?

Answer 2

1. Zweipunktdarstellung
2. Einpunktdarstellung
3. Ortsvektor

Question 3

Durch welche zwei indirekten Parameter ist ein Vektor bestimmt und wie berechnet man diese?

Answer 3

Die zwei gesuchten Parameter, die einen Vektor bestimmen, sind die Richtung und die Norm des Vektors.

Die Richtung lässt sich berechnen als Winkel zu der X-Achse mit der folgenden Formel berechnen:

Der Winkel Alpha = arccos[(Der Vektor u * Der Einheitsvektor x) / (Die Norm von dem Vektor u * die Norm von dem Einheitsvektor x)]

Die Norm des Vektors wird auf folgende Weise berechnet:

Question 4

Was sind Einheitsvektoren im R^n und wie sind sie definiert?

Answer 4

Seien n, i ∈ N mit i ≤ n, dann bezeichnen wir jeden der Vektoren (1, 0, 0, . . . , 0),(0, 1, 0, . . . , 0), (0, 0, 1, . . . , 0), . . . ,(0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ R(n) als Einheitsvektor. Den Einheitsvektor, dessen sämtliche Komponenten außer der i-ten Komponente, gleich Null sind, nennen wir i-ten Einheitsvektor und bezeichnen ihn durch e(i).

Question 5

Wie ist das innere Vektorprodukt/Skalarprodukt definiert?

Was bedeutet es, wenn das Ergebnis der Rechnung gleich Null ist?

Nenne mindestens 3 der 6 Eigenschaften des Skalarproduktes.

Answer 5

Fur alle n ∈ N ist das innere oder Skalarprodukt (x, y) der Vektoren x = (x1, x2, x3, . . . , xn) und y = (y1, y2, y3, . . . , yn) definiert durch die Abbildung unten.

Die Eigenschaften des Skalarprodukts sind folgende:

Sei n ∈ N und w, x, y, z ∈ Rn sowie k ∈ R, dann gilt:

1. • |w| = sqrt(w, w),*
2. • |w| = 0 gdw. w = 0,*
3. (kw, y) = k(w, y) = (w, ky),
4. (w + x, y) = (w, y) + (x, y),
5. (w, y + z) = (w, y) + (w, z),
6. (w + x, y + z) = (w, y) + (w, z) + (x, y) + (x, z)

Question 6

Was bedeutet es, wenn Folgen von Vektoren linear unabhängig bzw. linear abhängig sind?

Was ist eine Linearkombination?

Answer 6

Question 7

Wie berechnet man den Winkel, der von zwei Vektoren eingeschlossen wird?

Answer 7

Question 8

Wie ist der Richtungsvektor definiert und wie rechnet man ihn aus?

Was gilt bezüglich des Richtungscosinus noch (siehe Bild)?

Answer 8

Question 9

Was ist die Projektion von einem Vektor auf einen anderen Vektor?

Answer 9

Der eingeschlossene Winkel zwischen zwei Vektoren muss 0 sein, dann gilt folgender Vektor als Projektion von b auf a:

Question 10

Wie ist die Formel für das Kreuzprodukt von zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum?

Was bewirkt diese Formel bzw. was sagt das Ergebnis aus?

Nenne 4 von 7 Rechenregeln des Kreuzprodukts

Answer 10

Das Ergebnis des Kreuzprodukt ist ein Vektor. Dieser neue Vektor ist ein Normalenvektor zu beiden verrechneten Vektoren. (Zeigt auf beide Vektoren im 90° Winkel)

Die Rechenregeln des Kreuzprodukts sind:

Fur alle Vektoren a, b, c ∈ R3 , fur die Einheitsvektoren e1, e2, e3 ∈ R3 und jeden Skalar λ gelten die folgenden Aussagen:

1. a × b = −b × a (Antikommutativität)
2. a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (Linksdistributivität)
3. (a + b) × c = (a × c) + (b × c) (Rechtsdistributivität)
4. (λa) × b = λ(a × b) = a × (λb)
5. e1 × e2 = e3
6. e2 × e3 = e1
7. e3 × e1 = e2

Die Formel für das Kreuzprodukt ist:

Question 11

Was ist dass Spatprodukt und wie berechnet man es?

Im welchem Raum funktioniert es und was sagt es aus?

Was bedeutet es, wenn a, b und c komplanar sind?

Answer 11

Question 12

Was ist ein Parallelepiped (Spat)

Answer 12

Ein Quader aus Parallelogrammen

Question 13

Erkläre die Punkt-Richtungsform einer Geraden als Geradegleichung im dreidimensionalen Raum.

Answer 13

Seien n ∈ N und a, b ∈ Rn , dann nennen wir PRF(a, b) := {a + λb | λ ∈ R} die Punkt-Richtungsform der Geraden mit dem Ortsvektor a und dem Richtungsvektor b.

Question 14

Wie ist der Abstand eines Punktes mit einer Geraden zu verstehen?

Wie berechnet man ihn?

Answer 14

Seien a, b, p ∈ R³ und der Abstand d eines Punktes p ∈ R^n von einer Geraden g = {a+λb | λ ∈ R}.

Der Abstand ist immer der kleinstmögliche Abstand vom Punkt zur Ebene.

Dann ist der Abstand wie folgt zu berechnen:

Question 15

Wann sind zwei Geraden parallel zueinader, windschief, identisch oder sich schneidend?

Answer 15

Question 16

Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Geraden?

Answer 16

Seien g = {a + λb | λ ∈ R} und h = {α + µβ | µ ∈ R} Geraden im R³.

Dann ist der Schnittwinkel der beiden Geraden wie folgt zu berechnen:

Question 17

Wofür stehen die Abkürzungen der Darstellungsformen für Ebenen: PRF und DPF?

Welche weiteren Darstellungsformen gibt es und wie sehen sie aus?

Answer 17

Beide sind die Parameterform der Ebenengleichung:

PRF = Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung

PRF(a, b, c) := {a + λ · b + µ · c | λ, µ ∈ R} mit n ∈ N und a, b, c ∈ R^n, wobei b und c nicht parallel zueinander sind

Ebene, welche durch den Ortsverktor a und die Richtungsvektoren b und c aufgespannt wird.

DPF = Drei-Punkte-Form

DPF(a, b, c) := {a + λ · (b − a) + µ · (c − a)| λ, µ ∈ R} mit n ∈ N und a, b, c ∈ R^n, wobei (b - a) und (c - a) nicht parallel zueinander sind

Ebene, welche durch 3 Punkte a, b und c definiert ist.

Eine weitere Darstellungsform ist die Normalenform der Ebenengleichung:

Seien a, b ∈ R³ , E ⊆ R³ eine Ebene nit a ∈ E, und sei n := b − a. Steht n senkrecht auf c − a, für alle c ∈ E, dann heißt n ein Normalenvektor von E.

NVF = Normalenvektor-Form der Ebenengleichung

NVF(a, n, x) = {x ∈ R³ |(n, x − a) = 0}

Question 18

Wie berechnet man den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene?

Answer 18

Seien a, b, p ∈ R³ , n = b − a und E = {x ∈ R 3 |(n, x − a) = 0} eine Ebene, dann ist der Abstand d von p zu E gleich:

Question 19

Was sind die Strahlensätze in folgendem Szenario?

Answer 19