Kurvendiskussion

Question 1

Was bedeutet es, wenn eine Funktion f auf ein Intervall I konkav bzw. konvex ist?

Answer 1

Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. Man sagt, dass f auf I konvex ist, wenn für je zwei Zahlen x(1), x(2) ∈ I mit x(1) ≠ x(2) und alle p ∈ (0, 1) die Ungleichung:

• f(px(1) + (1 − p)x(2)) ≤ pf(x(1)) + (1 − p)f(x(2))*
  gilt. Entsprechend wird f konkav auf I genannt, wenn für alle x(1), x(2) ∈ I mit x(1) ≠ x(2) und alle p ∈ (0, 1) die Ungleichung:
• f(px(1) + (1 − p)x(2)) ≥ pf(x(1)) + (1 − p)f(x(2))*

erfüllt ist.

Question 2

Wie ist eine Wendestelle von f definiert? Bzw. was gilt für den Bereich von f vor und nach der Stelle x.

Answer 2

Seien I ⊆ R ein Intervall, f : I → R eine Funktion und x ∈ I. Dann heißt x Wendestelle von f, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen gilt:

1. f ist links von x konvex und rechts von x konkav.
2. f ist links von x konkav und rechts von x konvex.

Ist x Wendestelle von f, so nennt man (x, f(x) Wendepunkt von f.

Question 3

Was sind die wichtigsten Charakteristika einer Funktion, die bei einer Kurvendiskussion beachtet werden müssen?

Answer 3

1. Definitionsbereich, Wertebereich, Definitionslücken
2. Symmetrie
3. Achsenabschnitte und insbesondere Nullstellen,
4. Pole
5. Asymptoten
6. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
7. Steigung, Monotonie
8. Konvexität und Wendestellen
9. Extremstellen, Stellen mit waagerechte oder senkrechter Tangente
10. Periodizität, falls sie auftritt
11. Umkehrfunktion, falls sie existiert