Differentialrechnung Flashcards
Differenzierbarkeit:
Sei I ⊆ R ein Intervall und x ∈ I.
Wann ist eine Funktion f : I → R differenzierbar?
Wie wird der Term des Grenzwertes genannt?
Und wie wird die Funktion genannt, die im genannten Intervall jedem x den Grenzwert des gesuchten Terms zuordnet.
Wenn die Funktion f an der Stelle x differenzierbar ist, was gilt noch für die Stelle x?
Die Funktion f ist differenzierbar, wenn an der Stelle x folgender Grenzwert existiert (im Bild).
Der Term des Grenzwertes wird Differenzenquotient genannt und die Funktion wird Ableitung von f genannt.
Die Funktion f ist an dieser Stelle stetig.
h-Methode:
Was kann man mit der h-Methode berechnen und wie ist der Ablauf?
Man kann mit der h-Methode die exakte Steigung an einem Punkt bestimmen und der Ablauf ist wie folgt:
- Man bestimmt einen Punkt P(x/f(x)) und einen Punkt Q(x + h/ f(x +h).
- Man setzt die Werte in die Formel für den Mittelwertsatz von Lagrange ein.
- Man setzt die Funktion mit den Funktionswerten in die Formel ein.
- Man verrechnet alles bis zu einem einfachen Term.
- Man berechnet den Grenzwert, wenn h gegen 0 läuft.
Monotonie:
Wann ist eine Funktion in einem Intervall (streng-) monoton steigend/fallend?
Benutze folgende Vorraussetzungen:
Seien I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion sowie J ⊆ I ein Intervall und ξ1, ξ2 ∈ J mit ξ1 ≤ ξ2.
Man nennt f monoton steigend auf J, falls f(ξ1) ≤ f(ξ2) ist und man nennt ferner f monoton fallend auf J, falls f(ξ2) ≤ f(ξ1) ist.
Man nennt eine monotone Funktion dort streng monoton, wo sie zudem injektiv ist.
Extremstellen:
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion.
Was ist ein relatives Extremum?
Was ist der Unterschied zwischen einer lokalen und globalen Extremstelle?
Ein relatives Extremum ist entweder ein relatives Maximum oder relatives Minimum.
Dabei sagt man, dass f an der Stelle x ∈ I ein relatives Maximum hat, wenn ein offenes Intervall J ⊆ I mit x ∈ J so existiert, dass für alle h ∈ J gilt f(h) ≤ f(x).
Entsprechend sagt man, dass f an der Stelle x ∈ I ein relatives Minimum hat, wenn fur alle h ∈ J gilt f(h) ≥ f(x).
Ein x ∈ I heißt globale oder absolute Maximalstelle von f, falls f(x) ≥ f(ξ) ist, für alle ξ ∈ I.
Satz von Fermat:
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion.
Wie lautet dann der Satz von Fermat?
Hat f an einer inneren Stelle x ∈ I ein relatives Extremum und ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f ‘(x) = 0.
Satz von Darboux:
Sei a, b ∈ R und die Funktion f : [a, b] → R auf [a, b] differenzierbar. Was gilt dann für die Ableitung von f?
Die Ableitung von f: f ‘ auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f ‘(a) und f ‘(b) an.
Satz von Rolle:
Seien a, b ∈ R , a ≠ b , I = [a, b] und die Funktion f : I → R auf I stetig und auf (a, b) differenzierbar und gilt f(a) = f(b). Was gilt dann?
Dann gibt es ein c ∈ (a, b) mit f ‘(c) = 0.
Mit eigenen Worten: Wenn es zwei ungleiche Stellen gibt, an denen der Funktionswert identisch ist, muss es einen Wert in dem offenen Intervall zwischen den beiden Stellen geben, an dem die Steigung 0 ist.
MWS nach Lagrange:
Seien a, b ∈ R, a ≠ b, I = [a, b] und die Funktion f : I → R auf I stetig und auf (a, b) differenzierbar. Was gilt dann?
Dann existiert ein c ∈ (a, b) mit f ‘(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).
Mit eigenen Worten: Auf einer stetigen Funktion gibt es in dem Intervall zwischen a und b einen Punkt c, der als momentane Steigung die durchschnittliche Steigung zwischen Punkt a und b besitzt.
MWS nach Cauchy:
Seien a, b ∈ R, a ≠ b, I = [a, b] und die Funktionen f, g : I → R auf I stetig und auf (a, b) differenzierbar. Außerdem sei g’(x) ≠ 0, für alle x ∈ (a, b).
Was gilt dann?
Dann existiert ein c ∈ (a, b) mit
(f(b) − f(a)) / (g(b) − g(a)) = f ‘(c) / g’(c)
Mit eigenen Worten: Auf einer stetigen Funktion gibt es in dem Intervall zwischen a und b eine Stelle c, bei dem die Steigungsdivision von f und g an der Stelle c gleich der Funktionswertdivision von f und g im Intervall von a und b ist.
Hinreichendes Kriterium:
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R differenzierbar. Seien ferner die inneren Punkte x1, x2, x3, . . . , xn von I Nullstellen von f ‘ . Für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} kann man eine der folgenden Methoden versuchen um zu entscheiden ob xi eine Extremstelle ist:
-
Methode des Vorzeichenvergleichs (Vorzeichenwechselkriterium):
- Sei h ∈ R so klein, dass weder in (xi − h, xi) noch in (xi , xi + h) eine der Nullstellen x1, x2, x3, . . . , xn liegt. Dann berechnet man s(i,l) = sign(f ‘(xi −h)) und s(i,r) = sign(f 0 (xi + h)). Ist s(i,l) = 1 und s(i,r) = −1, so ist xi eine relative Maximalstelle. Ist aber si,l = −1 und s(i,r) = 1, so ist xi eine relativ Minimalstelle. Ist aber s(i,l) = s(i,r), so ist xi keine Extremstelle, sondern eine Wendestelle mit waagerechter Tangente.
-
Methode der höheren Ableitungen:
- Existieren die Ableitungen f ‘‘(xi), f ‘’‘(xi), . . . , f(n)(xi) auf einer Umgebung U von xi , und ist m ≥ 2 die kleinste naturliche Zahl derart, dass zwar f ‘(xi), . . . , f(m−1)(xi) = 0 sind, aber f(m) (xi) ≠ 0 ist, so ist xi eine Wendestelle und keine Extremstelle, falls m ungerade ist. Ist aber m gerade, so ist xi eine Maximalstelle, falls f(m) (xi) < 0 ist und eine Minimalstelle, falls f(m) (xi) > 0 ist.
Mit eigenen Worten: Bei dem Vorzeichenwechselkriterium schaut man, ob sich das Vorzeichen vor und nach der gesuchten Extremstelle ändert. Bei positiv zu negativ ist es eine Maximalstellen, bei negativ zu positiv eine Minimalstelle und bei keiner Veränderung ist es eine Wendestelle mit waagerechter Tangente.
Ableitungsregeln:
- Faktorregel
- Summenregel
- Produktregel
- Quotietenregel
- Kettenregel
- Umkehrregel
- Polynomregel
- Logarithmische Regel
1. Satz von l’Hospital:
Seien g(x) und h(x) Terme und sei a ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so nennt man den Limes: lim von x→a (g(x) / h(x)) einen unbestimmten Ausdruck vom Typ 0/0 bzw ∞/∞ wenn lim von x→a (g(x)) = 0 bzw. lim von x→a (g(x)) = ∞ oder lim von x→a (g(x)) = −∞ ist.
Was ist unter folgenden Bedingungen anwendbar?
2. Satz von l’Hospital:
Seien g(x) und h(x) Terme und sei a ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so nennt man den Limes: lim von x→a (g(x) / h(x)) einen unbestimmten Ausdruck vom Typ 0/0 bzw ∞/∞ wenn lim von x→a (g(x)) = 0 bzw. lim von x→a (g(x)) = ∞ oder lim von x→a (g(x)) = −∞ ist.
Was ist unter folgenden Bedingungen anwendbar?
3. Satz von l’Hospital:
Seien g(x) und h(x) Terme und sei a ∈ R ∪ {−∞, ∞}, so nennt man den Limes: lim von x→a (g(x) / h(x)) einen unbestimmten Ausdruck vom Typ 0/0 bzw ∞/∞ wenn lim von x→a (g(x)) = 0 bzw. lim von x→a (g(x)) = ∞ oder lim von x→a (g(x)) = −∞ ist.
Was ist unter folgenden Bedingungen anwendbar?
Satz von Stolz:
Sind x = {xn} mit n∈ N und y = {yn} mit n∈ N Folgen und ist lim mit n→∞ von (xn / yn) ein unbestimmter Ausdruck vom Typ ∞/∞ und gibt es eine Zahl m ∈ N derart, dass y oberhalb von m monoton steigt, so gilt was?
Seien n ∈ N eine natürliche Zahl, x, a ∈ R reelle Zahlen und I = [min{x, a}, max{x, a}] sowie f : I → R eine Funktion deren n-te Ableitung auf I existiert und stetig ist und die auf dem Inneren ˚I := I \ {a, x} von I n + 1 mal differenzierbar ist, dann gibt es ein ξ ∈ ˚I für das was gilt?
Elastizität:
f : I → R sei differenzierbar an der Stelle x ∈ R.
Wie sieht die Elastizität von f an der Stelle x aus?
