Gleichungen

Question 1

Nenne die PQ-Formel und den Anwendungsbereich ihrer.

Answer 1

Die PQ-Formel wird genutzt, um quadratische Gleichungen auszurechnen.

Question 2

Erkläre den Ablauf der quadratischen Ergänzung und wozu man sie benutzt.

Answer 2

Man benutzt die Quadratische Ergänzung zum ausrechnen von quadratischen Gleichungen.

Der Ablauf ist wie folgt:

1. Eine Funktion ax² + bx + c = 0 gegeben.
2. Die quadratische Ergänzung durchführen: ax² + bx + (b/2)² - (b/2)² + c = 0
3. Die binomische Formel zusammenfassen: (a + (b/2))² - (b/2)² + c = 0
4. Alles vereinfachen wie es geht.

Question 3

Wie geht der Satz von Vieta und was ist die Anwendung davon?

Answer 3

Der Satz von Vieta wird zur einfachen Ausrechnung von quadratischen Gleichungen genutzt.

Kann genutzt werden, wenn man schnell sieht, dass Faktoren von q, addiert oder subtrahiert p ergeben.

Gleichung in Normalform: x² + px + q = 0

Es gilt: -(x1 + x2) = p und x1 * x2 = q.

Question 4

Erkläre wie das Heron-Verfahren funktioniert und wozu es genutzt wird.

Answer 4

Das Heron-Verfahren ist ein altes Verfahren zu Annäherung von Wurzelzahlen.

Dabei nutzt man rekursiv die Formel: x = (x0 + a / x0) / 2

Dabei ist x0 am Anfang ein Ganzzahliger Wert nahe des echten Ergebnisses (z.B. bei sqrt(2) könnte es 1 oder 2 sein) und dann fortlaufend immer das Ergebnis der letzten Formel.

a ist der Wert unter der Wurzel (z.B. bei sqrt(2) wäre es 2).

Diese Formel wird nun beliebig oft durchgerechnet, bis das Ergebnis eine zufriedenstellende Genauigkeit hat.

Question 5

Was ist die Polynomdivision?

Erkläre die Anwendung und den Ablauf.

Answer 5

Die Polynomdivision wird zur Vereinfachung von Gleichungen des x-ten Gerades genutzt.

Der Ablauf ist wie folgt:

1. Man hat eine beliebig gradige Funktion
2. Man bestimmt eine Nullstelle der Funktion durch Schätzen oder durch die Aufgabenstellung
3. Man dividiert das Polynom mit dem Term (x - x0), wobei x0 die bestimmt Nullstelle ist.
   
   1. Man übernimmt den ersten Koeffizieten
   2. Man rechnet den Ausdruck mit dem Term (x - x0) und schreibt den unter den Ausdruck des Polynoms
   3. Man subtrahiert den multiplizierten Ausdruck von dem Ausdruck des Polynoms
   4. Bei Punkt 1 anfangen fortlaufend bis zum Ende des Polynoms

Question 6

Was ist das Horner-Schema?

Erkläre die Anwendung und den Ablauf.

Answer 6

Das Horner-Schema wird als Alternative zur Polynomdivision bei der Berechnung von Gleichungen x-ten Grades genutzt.

Der Ablauf ist wie folgt:

1. Die Funktion wird in Normalform gebracht, fehlende Terme mit 0 multipliziert addiert: ax³ + bx² + cx + d = 0
2. Eine Nullstelle wird bestimmt durch Schätzen oder durch Angabe in der Aufgabenstellung: x0 = m
3. Dann wird rekursiv die Formel angewendet: b(n) = a(n) und b(i) = a(i) + b(i+1)*a, für alle i ∈ {n − 1, n − 2, . . . , 1, 0}
4. Die b’s sind dann die neuen Koeffizienten des neuen Polynoms des (x-1)-ten Grades

Question 7

Was ist das Newton-Verfahren?

Was ist die Anwendung und der Ablauf?

Answer 7

Das Newton Verfahren ist ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion f.

Der Ablauf ist wie folgt:

1. Man hat eine beliebig grade Funktion f
2. Man nimmt einen Startwert x0, den man am besten durch eine Funktionswert Tabelle bestimmen kann
3. Man setzt den x0 Wert in die rekursive Formel ein und macht mehrere Durchläufe bis das Ergebnis die gewünschte Genauigkeit besitzt