Integralrechnung

Question 1

Was ist die Stammfunktion einer Funktion?

Answer 1

Seien I ⊆ R ein Intervall, f, F auf I definierte Funktionen und sei F auf I differenzierbar. Ist dann F’ = f, also F‘(x) = f(x), für alle x ∈ I, so heißt F Stammfunktion, Aufleitung oder unbestimmtes Integral von f auf I. Ist F eine Stammfunktion von f auf I, so wird F durch folgendes bezeichnet:

Question 2

Was sind die 6 Rechenregeln für Stammfunktionen?

Answer 2

1. Ableitung der Stammfunktion: Die Ableitung der Stammfunktion der Funktion f ist gleich der Funktion f.
2. Faktorregel: Ist die Funktion f diffbar und ist a ∈ R, so ist:
   
   • ∫ (a · f ‘ (x) dx) = a · f(x) + C
3. Stammfunktion der Ableitung: Die Stammfunktion der Ableitung der Funktion f ist gleich der Funktion f.
4. Summenregel: Haben die Funktionen f und g Stammfunktionen und sind a, b ∈ R, so ist:
   
   • ∫ (a · f(x) + b · g(x)) dx = a · ∫ (f(x)) dx + b · ∫ (g(x)) dx + C
5. Produktregel: Haben die Funktionen fg’ und f ‘g Stammfunktionen, so ist:
   
   • f(x) · g(x) = ∫ (f ‘(x)g(x)) dx + ∫ (f(x)g’(x)) dx + C
6. Kettenregel:

Question 3

Was sind Partialbrüche? Nenne die 4 Typen und deren Stammfunktion.

Answer 3

Seien p, q, a, A, M, N ∈ R, m ∈ N>1 und x eine reelle Unbekannte. Jeder Bruch von einem der folgenden Typen, heißt Partialbruch:

1. A / (x - a)
2. A / (x - a)^m
3. (Mx + N) / (x² + px + q)
4. (Mx + N) / (x² + px + q)^m