WIDI Flashcards
Kerninzicht
Wiskunde is een vak waarbij inzicht een grote rol speelt.
Inzichten in wiskundige essenties. Ook wel Big Ideas genoemd.
Worden niet niet lineair en stapsgewijs verworven maar cyclisch en spongsgewijs.
Leerlijnen
Geven globaal aan langs welke lijn leerlingen kerninzichten en bijbehorende begrippen en vaardigheden kunnen verwerven.
Het is belangrijk kerninzichten en leerlijnen als een samenhangend geheel te leren kennen, omdat die kennis houvast geeft bij het plannen, uitvoeren en evalueren van het onderwijs.
Kerndoelen
Streefdoelen, die aangeven waarop basisscholen zich moeten richten bij het ontwikkelen van hun leerlingen.
Kerndoel 23 t/m 33 zijn opgesteld voor het reken en wiskunde onderwijs.
De doelen zijn ruim gedefinieerd omdat scholen zelf mogen bepalen hoe de kerndoelen binnen bereik komen.
Kerndoel 23
De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken.
Kerndoel 24
De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskunde problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven.
Kerndoel 25
De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen.
Kerndoel 26
De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, komma getallen, breuken, procenten, en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen.
Kerndoel 27
De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn.
Kerndoel 28
De leerlingen leren schattend tellen en rekenen.
Kerndoel 29
De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Kerndoel 30
De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaard procedures.
Kerndoel 31
De leerling leert de rekenmachine met inzicht gebruiken.
Kerndoel 32
De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen.
Kerndoel 33
De leerlingen leren meten en leren rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur.
decimaal positioneel getalsysteem
het efficiënt is om aantallen te bundelen in bundels van tien, honderd, duizend enzovoort (kerninzicht tientallige bundeling)
de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat (kerninzicht plaatswaarde of positiewaarde)
getalfuncties
Hoeveelheidsgetallen: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
Telgetallen: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen waarmee je telt. Ook: bladzijde 5, huisnummer 37.
Meetgetallen: zijn resultaten van een meting: 7 meter, 3 kilogram, 2 jaar.
Naamgetallen: zijn getallen die als het ware een naam aangeven, zoals bij ‘bus 15’.
Rekengetallen: zijn (abstracte) getallen om mee te rekenen, zoals in: 5 + 3 = 8
Getalbeelden
zijn mentale voorstellingen, plaatjes, van getallen.
Tientallige bundeling
Bij het tellen van grotere hoeveelheden is het handig om te bundelen, om groepjes te maken.
Positiewaarde
Bij het schrijven van getallen moet je weten dat de plaats waarop een cijfer staat bepalend is voor de waarde die het heeft.
Leerlijn tientallig stelsel
Bij het vertrouwd raken met ons decimaal positioneel getalsysteem, start je met het principe van de bundeling. Als het gaat om getallen tot 100 (meestal groep 4) komt daarnaast aandacht voor plaatswaarde aan de orde.
Wat zijn de 4 domeinen bij de referentieniveaus voor rekenen-wiskunde
Getallen
Verhoudingen
Meten en meetkunde
Verbanden
Welke 3 onderdelen worden beschreven bij elk domein
notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal.
met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik.
gebruiken, waarbij het erom gaat rekenkundige vaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen.
Schematisch niveau,
schematiseren
Wordt gebruik gemaakt van een schematische voorstelling van de situatie of van een model dat goed past bij de situatie. (kinderen gebruiken vaak tekenen)
In het reken-wiskunde onderwijs wordt schematisering beschouwd als een representatie (symbolische weergave) van de wereld van het kind.
Schematiseringen zijn bijvoorbeeld: tabellen, modellen, (bouw) tekeningen en verhalen.
Formeel rekenen
een wiskundige vertaling van een situatie, die weer op meerdere situaties van toepassing kan zijn.
Concreet niveau
Hierbij wordt vaak gebruikgemaakt van voor kinderen concrete situaties of materialen.
De eerste vier bewerkingen, ook wel operaties genoemd, zijn:
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen
- Kerninzicht synchroon tellen
bij het tellen van een aantal voorwerpen het opzeggen van de telrij gelijk loopt met het aanwijzen
- kerninzicht resultatief tellen
het laatste getal bij tellen van een aantal objecten de hoeveelheid aanduidt
- kerninzicht representeren
je hoeveelheden kunt representeren met behulp van materialen, schema’s en
cijfersymbolen
- kerninzicht tientallige bundeling
het efficiënt is om aantallen te bundelen in bundels van tien, honderd, duizend, enzovoort
- kerninzicht plaatswaarde
de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat
- kerninzicht optellen
er sprake is van optellen in situaties waarbij hoeveelheden worden samengevoegd of waar sprongen vooruit worden gemaakt
- kerninzicht aftrekken
er sprake is van aftrekken in situaties waar het gaat om verschil bepalen, eraf halen of aanvullen van aantallen
- kerninzicht inverse optellen aftrekken
de bewerkingen optellen en aftrekken elkaars inverse zijn
- kerninzicht vermenigvuldigen
er sprake is van vermenigvuldigen in situaties waarbij het gaat om herhaald optellen van dezelfde hoeveelheid, het maken van gelijke sprongen of van een rechthoekstructuur
- kerninzicht delen
er sprake is van delen in situaties die betrekking hebben op herhaald aftrekken van eenzelfde hoeveelheid of het één voor één verdelen van een hoeveelheid
- kerninzicht vermenigvuldigen delen
de bewerkingen vermenigvuldigen en delen elkaars inverse zijn
horizontaal mathematiseren
De formele optelsom is de wiskundige ‘vertaling’ van verschillende situaties.
Die activiteit van vertalen wordt wel horizontaal mathematiseren genoemd.
De uitkomst van een aftrekking noem je
‘verschil’
De uitkomst van een optelling heet
‘som’
De uitkomst van een vermenigvuldiging
‘product’
De uitkomst van een deling heet
‘quotiënt’
op-vermenigvuldigen
Manier van deelsom oplossen:
1700:4=
10 X 4= 40
100 X 4 = 400
200 X 4 = 800
300 X 4 = 1200
400 X 4 = 1600
20 X 4 = 80
5 X 4 = 20
425
Commutatieve eigenschap
De verwisseleigenschap van het optellen en vermenigvuldigen. Een optelsom mag je altijd omdraaien.
Associatieve eigenschap
Wanneer men getallen in een bewerking in een andere volgorde mag afwerken, omdat de uitkomst daardoor niet verandert.
Dit geldt voor de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen
Distributieve eigenschap
Verdeel eigenschap.
Dit geldt voor vermenigvuldigen en delen.
12 X 7 = 10 X 7 + 2 X 7
Groepjesmodel
Bijvoorbeeld plaatjes van zakken met de zelfde hoeveelheid appels
Lijnmodel
Sprongen op de getallenlijn
Rechthoekmodel
Rechthoek met vakjes of tegels
- kerninzicht handig rekenen
je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen
- kerninzicht schattend rekenen
je een globale uitkomst kunt bepalen door te werken met afgeronde getallen
- kerninzicht standaardprocedures
je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van rekenaanpakken
- kerninzicht vergelijking tussen grootheden (verhoudingen)
een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komen in getalsmatige, meet- of meetkundige aspecten van een situatie
- kerninzicht gelijkwaardige getallenparen (verhoudingen)
een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen vertegenwoordigt
Externe verhoudingen
Bij de meeste verhoudingsproblemen zijn verschillende grootheden in het geding, bijvoorbeeld afstand en tijd. Dit noemen we externe verhoudingen.
Interne verhouding
Een interne verhouding is een verhouding binnen dezelfde grootheid.
Waarom is inzicht in verhoudingen belangrijk
Dit heeft te maken met de rol die het denken in verhoudingen speelt in het leven van alledag.
Redeneren en rekenen met evenredige verbanden legt de basis voor het inzicht in breuken, procenten en kommagetallen en de samenhang daartussen.
- Kerninzicht breuken in verdeel- en meetsituaties
breuken ontstaan uit verdeelsituaties en meetsituaties
- kerninzicht breuk als verhouding
breuken een verhouding van twee getallen weergeven
Cirkel Model
cirkelmodel is van oudsher één van de meest bekende modellen om breuken weer te geven. De cirkel voldoet uitstekend als grafisch model, omdat het in één oogopslag de gegevensverdeling weergeeft.
MAAR de cirkel voldoet niet als denkmodel en verliest zijn bruikbaarheid bij samengestelde breuken.
- kerninzicht decimale structuur
kommagetallen een decimale structuur hebben
Leerlijn kommagetallen
De basis voor het leren werken met kommagetallen ligt in het inzicht in gewone breuken. Daarom komen kommagetallen pas vanaf groep 6 aan de orde.
- kerninzicht decimale verfijning
met kommagetallen eindeloos kan worden verfijnd met de factor 10 en dat het aantal decimalen bij meetgetallen de nauwkeurigheid van de maat aangeeft
- kerninzicht gestandaardiseerde verhouding
procenten een gestandaardiseerde verhouding weergeven, waarbij het totaal op honderd is gesteld
- Kerninzicht percentage als deel/geheel verhouding
een percentage een deel-geheelverhouding bepaalt en een relatief getal is
procentenasymmetrie:
Het berekenen van procenten gedraagt zich niet symmetrisch. Dat heeft te maken met het grondgetal.
het percentuele verschil is ‘asymmetrisch’.
Het rekenen met procenten is een handige manier om deel-geheelverhoudingen snel te kunnen vergelijken.
Bruikbare modellen voor procenten zijn:
procentenstrook
dubbele getallenlijn
verhoudingstabel
cirkeldiagram
- Kerninzicht grootheden kwantificeren
je grootheden kunt kwantificeren om situaties in de omgeving te beschrijven
- Kerninzicht effectiviteit van standaardmaten
het effectief is om standaardmaten te gebruiken
- Kerninzicht verfijning en nauwkeurig meten
verfijning van maten leidt tot nauwkeuriger meten
- Metriek stelsel
relaties tussen metrische maten kunnen worden herleid in machten van tien
meten
is in feite het afpassen met een maat.
kwantificeren
Maten worden gekwantificeerd (van een getal voorzien) door af te passen en vervolgens na te gaan hoe vaak is afgepast
Door het afpassen met een maat, kun je een getal aan de grootheid toekennen.
Dit heet kwantificeren.
Om te kwantificeren heb je een maateenheid of maat nodig.
ordenen
Verschillende objecten op basis van een criteria op volgorde leggen
- kerninzicht meetkundige eigenschappen
voorwerpen zijn te onderscheiden met behulp van hun meetkundige eigenschappen, zoals hoekpunten, lijnen en vlakken, al of niet regelmatig
- kerninzicht perspectief en viseerlijnen
je objecten kunt zien vanuit een verschillend perspectief
- kerninzicht schuiven, spiegelen en roteren
je een voorwerp – ook denkbeeldig – kunt verschuiven, spiegelen of roteren
- kerninzicht plaats bepalen
eenduidige afspraken gemaakt kunnen worden over de plaats van een punt (voorwerp) in de ruimte
- Kerninzicht ordenen en ontwerpen
je verbanden tussen grote hoeveelheden data schematisch in beeld kunt brengen
- kerninzicht analyseren en interpreteren
schema’s je de mogelijkheid bieden te redeneren over verbanden.
We vatten dit op als een kerninzicht met twee aspecten.
Model, (denkmodel)
een tekening of een schema dat kan helpen bij het oplossen van een wiskundig probleem.
Het model moet relatief eenvoudig zijn, zodat je het makkelijk in je hoofd kunt oproepen als je het nodig hebt.
Het model moet de wiskundige structuur visualiseren.
Visualiseren
Een wiskundige structuur met een model weergeven
generaliseren
een wiskundige activiteit waarbij men na het doen van eerdere ontdekkingen rondom een probleem een structuur ziet of regelmaat herkent en op grond daarvan een algemeen geldende uitspraak durft te doen over een probleem.
Instrumenteel begrijpen
komt tot uitdrukking als leerlingen opgaven maken waarbij standaardoplossingen (procedures, regels, algoritmen als bijv. cijferen) worden gebruikt.
Relationeel begrip
wordt zichtbaar als een leerling vanuit eigen, aanwezige kennis, flexibel en betekenisvol een eigen oplossing vindt voor een opgave, ook als die voortkomt uit een onbekende context.
reproductieve transfer
Denk aan reproduceren
Slaat op eenvoudig, herhaald gebruik van eerder geleerde kennis.
Het gaat dan om nuttige, ook alledaagse toepassingen, maar beperkt zich vaak tot simpele regels en procedures.
productieve transfer of transformatie
Hierbij moet je denken aan het verder exploreren van aanwezige kennis en vaardigheden.
Leerlingen bij wie productieve transfer ontstaat, kenmerken zich door een zekere mate van flexibiliteit van denken, die mogelijk wordt gemaakt door reflectie op hun denken en handelen.
Structurerend rekenen
context gebonden tellen
Bijvoorbeeld tellen bij een spel ganzenborden
object gebonden tellen
het tellen van een aantal voorwerpen, zonder dat voor het kind duidelijk is waarom er geteld wordt.
Mathematiseren
Mathematiseren betekent dat je een situatie (tekening of verhaal) kunt omzetten naar wiskundetaal (een formele somnotatie).
Mathematiseren vanuit een betekenisvolle realiteit
Zorg ervoor dat de kinderen tijdens het beoefenen van wiskunde snappen waar ze mee bezig zijn, dat ze zich realiseren wat ze doen. Eerder brachten we dit ook in verband met cognitieve veiligheid bieden aan kinderen. Daarvoor heb je niet alleen een betekenisvol, aansprekend onderwerp nodig, maar vooral ook een betekenisvolle, wiskundige opdracht op het niveau van het kind.
Moduleren en Formaliseren
De stap van dichtbij het kind (informeel) naar de wiskunde zoals een wiskundige die beoefent (formeel), is nog niet zo 1-2-3 gezet. Het proces van formaliseren, zoals dit ook wel wordt genoemd, vraagt om tijd en om een zorgvuldige opbouw met een betekenisvolle tussenstap. Het gebruik van een model (modelleren) vormt als het ware deze tussenstap, het opstapje naar hogere wiskunde.
Ruimte voor eigen inbreng van de leerling
Geef kinderen ruimte om zelf na te denken. Wat ze zelf bedenken, snappen ze beter en onthouden ze beter. Het voordeel daarvan is dat je als leerkracht beter weet hoe de kinderen rekenen en wiskundig redeneren en dat je dan dus beter kunt aansluiten bij wat ze nodig hebben in hun leerproces. Hé, alweer die veiligheid!
Interactie en Reflectie
Wiskunde leer je door samen erover te praten en samen eraan te werken. Nadenken over je eigen manier van oplossen krijgt meer diepgang als je de manier van een ander met die van jou kan vergelijken. Zo kom je tot een hoger niveau van wiskunde. In je eentje is het veel moeilijker om dat niveau te bereiken.
Ruimte voor eigen inbreng van de leerling
Geef kinderen ruimte om zelf na te denken. Wat ze zelf bedenken, snappen ze beter en onthouden ze beter. Het voordeel daarvan is dat je als leerkracht beter weet hoe de kinderen rekenen en wiskundig redeneren en dat je dan dus beter kunt aansluiten bij wat ze nodig hebben in hun leerproces. Hé, alweer die veiligheid!
