Uso de geometría y topología para ciencia de datos Flashcards
Aplicaciones, Homotopía y homología
¿Cuándo se puede decir que dos vectores son ortogonales?
Si su producto interno da cero.
< u|v > = 0
¿Es cierto que todas las normas provienen de un producto interno?
No todas, es cierto que si se tiene un producto interno, ya esta definida una norma, pero hay normas que no provienen de un producto interno.
¿Cuál de las siguientes opciones no es una norma?
- ∥(x,y)∥ = < x|y> =x∙y=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n donde x=(x_1, x_2,…,x_n ), y=(y_(1, ) y_2, …,y_n)
- ∥f∥ = 〖< f|f >〗^(1/2) donde f:R→R | f es continua en [−1,1]
- ∥(x,y, z)∥ = √(x^2+y^2+z^2 )
- ∥x∥_∞ =máx{|x_1 |, |x_2 |, …, |x_n |}
∥(x,y)∥ = < x|y> =x∙y=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n donde x=(x_1, x_2,…,x_n ), y=(y_(1, ) y_2, …,y_n)
Porque es un producto interno, para ser norma este tiene que ser elevado a la 1/2.
No, el radio (E) siempre tiene que ser un número real
La bola abierta en los números reales (R) con la métrica euclideana son: ___
los intervalos abiertos
¿Cuáles son las bolas abiertas cuando X=R^2 con la métrica euclideana?
Las circunferencias con centro en x_0 y radio E.
¿Para qué sirven las bolas abiertas?
Su función es determinar cuándo un conjunto es abierto
Sea (X, d) un espacio métrico, donde A es un subconjunto de X
¿Cuándo se dice que x0 es un punto interior?
Cuando existe una bola con centro en x0 que se encuentre completamente contenida en A.
Sea (X, d) un espacio métrico y D un subconjunto de X
D es cerrado si __________
el complemento de D es abierto
Existen conjuntos que son abiertos y cerrados al mismo tiempo.
Sea X=R^2 y (x, y) en X arbitrario.
El conjunto {(x, y)} NO es abierto porque _____
no puedes meter una bola en un punto.
Sea X esp. métrico y A_i subconjuntos de X abiertos
Verdadero o falso: la unión arbitraria de abiertos es abierto
Verdadero
Sea X esp. métrico y A_i subconjuntos de X abiertos
Verdadero o falso: la intersección finita de abiertos es abierta
Verdadero
Con la métrica discreta
¿Cuál no es un conjunto homeomorfo a X={5,10}?
* Y={0,1}
* Z={5,10,15}
Z={5,10,15}
porque no tiene la misma cantidad de elementos que X.
Por lo tanto, no hay función inversa biyectiva.
Verdadero o falso: el círculo no es homeomorfo al cuadrado
Falso, existe una función continua con inversa continua.
¿Cuándo un espacio X se denomina disconexo?
Cuando se puede escribir X = u U v, donde u, v son abiertos y su unión es vacía
Es decir, cuando X esta formado por dos partes
¿Cuándo se denomina a un espacio X como conexo?
Cuando X no es disconexo
Que sea un solo pedazo
¿X = R \ {0} es conexo o disconexo y por qué?
R son los números reales
Disconexo, porque
R \ {0} = (-∞,0) U (0,∞)
(-∞,0) ∩ (0,∞) = ∅
¿Cuál de los siguientes espacios no es disconexo?
- X={0,1} con la métrica discreta
- X={(x,y) ∈ R^2 | x≠0}
- El conjunto de los números racionales
- R^4
R^4 es conexo
¿Qué es una cubierta abierta para un espacio métrico X?
Es una colección de abiertos {u_α} de X tales que la unión de todos los conjuntos sean igual a X.
¿Cuándo un espacio métrico es compacto?
Un esp. métrico es compacto si toda cubierta abierta contiene una subcubierta finita.
Se refiere a cubrir el esp. con una cantidad finita de bolas.
Los espacios compactos no se van al infinito.
El teorema de Heine-Borel dice:
Un subespacio métrico X de R^n (con la misma métrica) es compacto si y solo si _____
es cerrado y acotado.
Acotado: que puede ser encerrado en una bola B(0, r) para cierto radio r
¿El intervalo [0,1] contenido en R (reales) es compacto?
Sí,
[0,1]^c = (-∞,0) U (1,∞) es abierto → [0,1] es cerrado y la bola B(0, r) con r >1 encierra a [0,1] → [0,1] es acotado.
∴ [0,1] es compacto
¿R, R^2, R^3, …, R^n son compactos?
NO, porque no hay bola que los contenga → no estan acotados.
∴ No son compactos
¿Por qué M_2(R) No es compacto?
Como M_2(R) ≈ R^4, y R^4 no es compacto
∴ M_2(R) no es compacto.
Tema: Homología
¿Qué son los invariantes algebráicos?
Son números que le asignamos a los espacios para poder compararlos con mayor facilidad.
Esto nos ayuda a determinar cuando dos espacios son homeomorfos
Esto desde la topología algebráica
¿Qué miden los siguientes invariantes geométricos?
- H_0
- H_1
- H_2
- H_3
- Componentes conexas (núm. de partes)
- Cantidad de agujeros de dimensión 1 en el espacio.
- Cantidad de huecos encerrados (agujeros de dim. 2)
- Cantidad de agujeros de dimensión 3
¿Cuántos invariantes geométricos se tiene en un espacio?
Se van a tener tantos invariantes como la dimensión del espacio.
Si tenemos R^n calculamos hasta H_n
¿Qué es un n-simplejo?
Es el conjunto convexo más pequeño en R^m que contiene a n+1 puntos v_0, v_1, …, v_n y que no estan en un hiperplano de dimensión menor a n. Los puntos v_i son los vértices del simplejo, y este se denota
[v_0, v_1, …, v_n]
Es decir, es la generalización del triángulo a 0,1,2,3, … dimensiones
¿Cómo se definen los siguientes n-simplejos?
- Δ^0
- Δ^1
- Δ^2
- Δ^3
- {(x_0) ∈ R | x_0 = 1} es un punto (vértice)
- {(x_0, y_0) ∈ R^2 | x_0 + x_1 = 1 | x_0 ≥ 0, x_1≥ 0} es un segmento de recta.
- {(x_0, y_0, z_0) ∈ R^3 | x_0 + x_1 +z_0 = 1 | x_0, x_1, x_2 ≥ 0} es un triángulo relleno.
- Es un tetraedro en R^4
¿Qué es la cara de un n-simplejo?
Es el (n-1)-simplejo que resulta de borrar cada uno de los vértices del n-simplejo.
¿Cuántas y cuáles son las caras del 1-simplejo [v_0, v_1]?
El 1-simplejo tiene 2 caras:
[v_1] y [v_0]
¿Qué es un complejo simplicial o Δ-complejo?
Es un espacio construido uniendo n-simplejos a lo largo de sus caras.
La intersección de dos simplejos del espacio es una cara de ambos.
Cierto o falso
¿Cualquier polígono regular es un complejo simplicial?
Cierto, puedes triangulizar cualquier polígono regular.
Z_2 se define como el conjunto de 2 clases:
- 0 = clase de _
- 1 = clase de _
- 0 = clase de números pares
- 1 = clase de números impares
Sea Z[X] = {na+mb+rc | n,m,r ∈ Z}
Elige la opción que no es elemento de Z[x]:
* 2a-b+c
* 2b-c
* a+bc
a+bc
Porque no estan permitidas las multiplicaciones, ni divisiones entre los elementos de X.
Sea X = {[v_0, v_1]} una arista
¿Cuáles son las cadenas de X?
C_0(X) = {n[v_0]+m[v_1] | n,m = 0 o 1}
C_1(X) = {n[v_0, v_1] | n= 0 o 1} = {0, [v_0, v_1]}
Solo hay 0-cadenas y 1-cadenas porque X es un 1-simplejo
¿Qué hace el operador frontera?
Mide la frontera de un simplejo, regresa una cadena de dimensión menor.
Nos ayuda a detectar objetos cuando calculamos n-ciclos y n-fronteras
¿Qué se obtiene de aplicar el operador frontera a [V_0, V1]
∂[v_0, v_1] =
∂[v_0, v_1] = [v_1] + [v_0]
Sea X un complejo simplicial
¿Qué son los ciclos de dimensión n de X?
Son el grupo:
Ker(∂_n) := {x∈ C_n | ∂_x = 0}
Son las cadenas a las que le aplico el operador ∂ y nos da 0.
n-ciclos = Ker(∂_n)
Sea X un complejo simplicial
¿Qué son y qué hacen las n-fronteras de X?
- Im(∂_n+1) = {y∈ C_n | y = (∂_n+1)x, x∈ C_n+1}
- Nos ayudan a quitar agujeros falsos, te dicen cuantos pedazos hay demás.
Son los elementos de las n-cadenas que venían de atrás
Sea X un complejo simplicial
¿Cómo se define el n-ésimo grupo de homología (simplicial) de X?
H_n(X) := n-ciclos / n-fronteras
Los grupos de homología son los que detectan agujeros en n dimensiones.
¿Qué son los números de Betti?
Es la dimensión de H_n(X):
β_n := dim(H_n(X))
Sea X un espacio topológico
¿Cuál es la fórmula para obtener la característica de Euler de X?
n _ _ _ _ _ _
χ = Σ (-1)^k (β_k(X))
k=0 _ _ _ _ _ _
Ignoren las líneas
Era para que se entendiera de donde a donde va la suma
¿Qué hace TDA (análisis topológico de datos)?
Analiza la forma de los datos, la forma es más robusta frente al ruido y otras perturbaciones.
¿Cuál es la secuencia típica de trabajo en TDA?
Datos → Extraer la forma → Extraer los invariantes topológicos → Realizar el análisis
