Uso de álgebras modernas para seguridad y criptografía Flashcards
https://docs.google.com/document/d/1A_xCbZLuNxX3IFXWVqSCentjNzXg2_S3bYnRSAaOUjM/edit?tab=t.0
Pequeña guía de estudio
¿Cuál de las siguientes estructuras es un grupo?
a) Los números naturales bajo la suma.
b) Los números enteros bajo la suma.
c) Los números racionales bajo la multiplicación.
d) Los números reales bajo la raíz cuadrada.
b) Los números enteros bajo la suma.
¿Cuál de los siguientes conjuntos con la operación dada NO es un grupo?
a) Z bajo la suma.
b) 𝑅∖{0} bajo la multiplicación.
c) N bajo la multiplicación.
d) Matrices 2×2 invertibles bajo la multiplicación de matrices.
c) N bajo la multiplicación.
(No tienen inverso)
¿Cuál es el elemento identidad del grupo (Z,+)?
a) 0
b) 1
c) -1
d) No existe
a) 0
Pues si, cualquier cosa mas cero es el mismo numero
Sea G un grupo finito con ∣G∣=6. Según el Teorema de Lagrange, ¿cuál de los siguientes números podría ser el orden de un subgrupo de G?
a) 2
b) 3
c) 6
d) Todas las anteriores
d) Todas las anteriores
(El Teorema de Lagrange dice que el orden de cualquier subgrupo divide el orden del grupo. Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6.)
¿Cuántos números enteros en el conjunto
{1,2,3,…,17} son coprimos con 30?
a) 4
b) 8
c) 16
d) 7
c) 16
phi de euler dice que si es número primo entonces es phi(p) = p - 1
En el cifrado RSA, se eligen dos números primos grandes q. Luego, se calcula el módulo n=p×q y la función de Euler ϕ(n)=(p−1)(q−1). Se elige un exponente de cifrado e tal que 1<e<ϕ(n) y
gcd(e,ϕ(n))=1. ¿Cuál es el propósito del exponente e?
a) Es la clave privada utilizada para descifrar los mensajes cifrados.
b) Se usa para calcular la clave pública y debe ser mantenido en secreto.
c) Es la clave pública utilizada para cifrar los mensajes.
d) Se usa para calcular n y debe ser igual a p+q.
c) Es la clave pública utilizada para cifrar los mensajes. (En RSA, e es parte de la clave pública y se usa en la ecuación de cifrado C≡M^e modn, donde M es el mensaje y C el texto cifrado.)
Si se tiene que a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n), ¿cuál de las siguientes operaciones siempre produce una congruencia verdadera?
A) a + c ≡ b + d (mod n)
B) a − c ≡ b + d (mod n)
C) a · c ≡ b + d (mod n)
D) a + c ≡ b − d (mod n)
A) a + c ≡ b + d (mod n)
En aritmética modular se cumple que si a ≡ b y c ≡ d (ambas congruencias módulo n), al sumar se obtiene:
a + c ≡ b + d (mod n).
¿Cuál es el inverso multiplicativo de 3 en módulo 11?
A) 4
B) 7
C) 8
D) 9
A) 4
El inverso de 3 modulo 11 es el número x tal que 3·x ≡ 1 (mod 11). Probando: 3·4 = 12 y 12 mod 11 = 1, por lo que x = 4 es el inverso.
¿Cuál de los siguientes números es invertible en módulo 12?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Un número es invertible módulo m si y solo si es coprimo con m.
gcd(3,12) = 3
gcd(4,12) = 4
gcd(5,12) = 1
gcd(6,12) = 6
Solo 5 es coprimo con 12, por lo que es invertible.
Determina el valor de 7¹⁰⁰ mod 13.
A) 1
B) 3
C) 7
D) 9
D) 9
Como 13 es primo y 7 es coprimo con 13, podemos aplicar el Teorema de Fermat: 7^(12) ≡ 1 (mod 13).
Dividimos 100 entre 12: 100 = 12·8 + 4, de modo que:
7¹⁰⁰ ≡ 7⁴ (mod 13).
Calculamos 7² = 49, y 49 mod 13 = 10 (porque 49 − 39 = 10). Luego, 7⁴ = (7²)² = 10² = 100, y 100 mod 13 = 100 − 91 = 9.
Resuelve la congruencia lineal: 6x ≡ 9 (mod 15).
A) x ≡ 4 (mod 15)
B) x ≡ 4 (mod 5)
C) Las soluciones son x ≡ 4, 9, 14 (mod 15)
D) Sin solución
C) Las soluciones son x ≡ 4, 9, 14 (mod 15)
El máximo común divisor de 6 y 15 es 3, y 3 divide 9, por lo que existen 3 soluciones. Dividiendo la congruencia por 3 se obtiene:
2x ≡ 3 (mod 5).
El inverso de 2 módulo 5 es 3 (ya que 2·3 = 6 ≡ 1 mod 5), de modo que:
x ≡ 3·3 ≡ 9 (mod 5) → x ≡ 4 (mod 5).
Esto significa que las soluciones en ℤ₁₅ son: x = 4, 4 + 5 = 9 y 4 + 10 = 14.
