Probabilidad Flashcards
Probabilidad y teoría de conjuntos, Variables aleatorias continuas, Distribución normal, Funciones de variables aleatorias
¿Qué es un conjunto?
Es una colección de objetos y se detona con mayúsculas (A,B,C..)
Un conjunto vacío se detona con ∅
¿Cómo se dice que x es elemento del conjunto A?
x∈A
¿Cómo se escribe un conjunto corto?
x= {1,2,3} Entre llaves y con comas
Ejemplos de conjuntos con más contenido
{x∈R: x>=0}
{n² : n∈N}
¿Qué es el complemento relativo?
El complemento de un conjunto A relativo es el conjunto de todo el espacio muestral que no esta en A. A complemento = { x ∈ E : x ∉ A }
Cómo se define la unión de dos conjuntos
Conjunto de todos los elementos que están presentes en el conjunto A y el conjunto B o ambos elementos de A y B juntos
A ∪ B = {x: x ∈ A v x ∈ B}., donde v significa (ó) y es una disyunción
Cómo se define la intersección de dos conjuntos
Es el conjunto de elementos que son comunes a cada conjunto.
A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}., donde ∧ significa ( y ), es decir el elemento debe estar en A y B
¿Cómo se le denomina a un conjunto sin intersección?
Cuando la intersección es vacía se llaman Disjuntos A ∩ B =∅
¿Cómo se expresa la diferencia de dos conjuntos?
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A-B formado por los elementos de A que no son elementos de B.
A \ B = { x ∈ E: x ∈ A ∧ x ∉ B }
Si A = El conjunto de los números naturales impares = {1,3,5,7,9,11,13,..}
y B = El conjunto de los múltiplos de 3 = {3,6,9,12,15,…}
¿Cuál es la diferencia A \ B ?
A-B = el conjunto de los impares que no son múltiplos de 3 = {1,5,7,11,13,17,19,23,…}
Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él
Ley del doble complemento
(A’)’ = A
Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él
Ley de idempotencia
Para la disyunción (OR):
A∨A=A
Para la conjunción (AND):
A∧A=A
Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él
Ley conmutativa
Conmutatividad de la disyunción (OR):
A∨B=B∨A
Conmutatividad de la conjunción (AND):
A∧B=B∧A
Sea E un conjunto y A, B, C subconjuntos arbitrarios de él
Ley asociativa
Asociatividad de la disyunción (OR):
(A∨B)∨C=A∨(B∨C)
Asociatividad de la conjunción (AND):
(A∧B)∧C=A∧(B∧C)
El vacio y el conjunto E neutros en unión e intersección (SOLO EN ESOS )
Av∅ = A
A∧E=A
Conjunto E, Dominante en Unión e intersección (sOLO EN ESOS)
A∧∅ = A
AvE=E
Ley del complemento
AvA’ = E
A∧A’ = ∅
Ley distributiva
Distribución del OR sobre el AND:
A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)
Distribución del AND sobre el OR:
A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)
Ley de la absorción
Absorción del OR:
A∨(A∧B)=A
Si A ya está presente en la expresión, el término adicional
A∧B no afecta el resultado.
Absorción del AND:
A∧(A∨B)=A
Ley de Morgan
¬(A∨B)=¬A∧¬B
¬(A∧B)=¬A∨¬B
Definición de experimento aleatorio
Es cualquier experimento donde es imposible predecir el resultado.
Espacio muestral
Conjunto de posibles resultados de un experimento Ω
Evento
Probabilidad es calculada en subconjuntos del espacio.
El conjunto de todos los eventos es 2^Ω
Encuentra el espacio muestral y el evento de lanzar una moneda al aire
Ω={A,S}
2^Ω={{∅},{A,S},{A}, {S}}
Funcion de probabilida, la probabilidad es de un evento (A)
P(A)= ∣A∣ / ∣Ω∣
Cual es el valor de P(Ω)
1
Si E =2^Ω
P(E^c)=1-P(E)
Si E, F pertenecen a 2^Ω
P(EvF)= P(E)+P(F)
Cómo es la multiplicación de dos eventos (A,B)
∣AxB∣= ∣A∣ ∣B∣
Cual es el calculo de una permutación nPr (n son las variables de mi espacio muestral)
P(n,r)= n! / (n−r)!
Si Ω={1,2,3,4} enliste la permutación r=2
4P12= 4! / (4−2)!
=4! / 2!
= 4×3×2! / 2!
=12
¿Qué es una ordenación ?
Un número de arreglos de tamaño r que se puede formar de un conjunto de n objetos.
-Si hay repeticion
-Si importa el orden de los elementos
n O r
¿Qué es una permutación?
Un número de arreglo tamaño r , se puede formar de un conjunto de n objetos
-No hay repeticiones y también importa el orden nPr
¿Cual es el calculo de una ordenación ?
nOr = n^r
¿Qué es una combinación?
Todas las combinaciones
-Cuentan una vez cualquier ordenamiento
-No importa el orden de los elementos
C(n,r)= n! / r!(n−r)!
Donde:
𝑛
n es el número total de elementos.
𝑟
r es el número de elementos que se seleccionan.
!
! representa el factorial de un número.
¿Cuál es la formula de la probabilidad condicional?
P(A|B)
P(A∣B)=P(A∩B) / P(B)
Donde
P(A∩B) es la probabilidad de que ambos eventos ocurran.
P(B) es la probabilidad del evento
P(B)>0).
¿Qué es una variable aleatoria continua?
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales. A diferencia de las discretas, que solo pueden tomar valores específicos, las continuas tienen infinitos valores posibles dentro de un rango determinado.
Ejemplos de variables aleatorias continuas
Altura de una persona (Distribución Normal)
Temperatura diaria (Distribución Normal)
Peso de un paquete (Distribución Uniforme)
Función de Densidad de Probabilidad (FDP)
La función de densidad de probabilidad (f(x)) describe la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor dentro de un rango específico. La propiedad más importante de la FDP es que el área bajo la curva es 1.
(En el video hay una explicación rápida y la fórmula)
https://youtu.be/Q6ZbpyU1OYw?si=xIf-FQ36Eex_N9B5
Función de Distribución Acumulativa (CDF)
La función de distribución acumulativa (F(x)) da la probabilidad de que una variable aleatoria
X sea menor o igual a un valor específico x. Matemáticamente, es la integral de la PDF desde −∞ hasta x.
(En el video hay una explicación rápida y la fórmula)
Video
Determina la función de distribución acumulada
0 si x<= -1
t^2 / 3 si -1<=x<=2
1 si x >=2
debemos de calcular la integral de - infinito a x pero dado el rango es de -1 a x de t^2 —- La integral de t^2 = t^3 / 9 dt antes de sustituir
si sustituimos nos queda x^3 /9 + 1/9
Esperanza Matemática (Valor Esperado) N o E(x)
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de todos los posibles valores que puede tomar la variable, según su probabilidad. Sinonimo de media
E(X)=∫ ∞ −∞
x⋅f(x)dx
Sea x el número de autos utilizados en un dia x dada por
x= 0 1 2 3 4
f(x) = 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
DETERMINA N o E(x)
0(0.2)+1(0.1)…..+4(0.1) = 2
Varianza
La varianza mide la dispersión de los valores respecto a la media de la variable. Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los valores y la media.
V(X)=∫ ∞ −∞
(x-E(x))^2 ⋅f(x)dx
Sea x el número de autos utilizados en un dia x dada por
x= 0 1 2 3 4
f(x) = 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
La esperanza de N o E(x) anteriormenteb la resolvimos y fue 2
σ^2= (0-2)^20.2 + (1-2)^20.1+…+(4-2)^2(0.1)= 1.6
Distribución Uniforme X∼U
U(a,b)
La distribución uniforme se caracteriza por una probabilidad constante en todo el intervalo
[a,b].
F(X) = 1 / b-a si x E [a,b]
0 en otro caso
Si
X∼U(0,2), la Distribución uniforme sería:
1/ (2-0) = 1/2 para 0<=x<=2
Y la probabilidad si necesitamos sacarla —de que x este entre 0.5 y 1.5 es
integramos y sería 1/2 * (1.5−0.5) = 0.5
Distribución Normal
N(μ,σ ^2 )
https://www.gstatic.com/education/formulas2/553212783/es/normal_distribution.svg
donde
μ= media
σ ^2= varianza
Si x es una v.a Con μ= 3
σ ^2= 9
determina la distribución normaal en el rango 2<x<5
Determinamos la formula de distribución normal, será una integral de 2 a 5. sustituimos en formula (1/3raiz(2pi) ) * e^-((1/2)(x-3)/3)^2 dx
Distribución exponencial
Distribución de probabilidad continua que modela el tiempo entre sucesos en un proceso en el que los sucesos ocurren de forma continua e independiente a una tasa media constante
f(x)=λe (elevado a)−λx ,x≥0 donde lambda 1/E(x)
https://youtu.be/hraxysjxwlA?si=vSnFzVu7qOar25Qs
Distribución de Poisson
Distribución de probabilidad que indica la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo de tiempo o espacio.
* La probabilidad de ocurrencia es independiente.
* Dos eventos no ocurren al mismo tiempo.
