Álgebra Lineal Flashcards
Espacios Vectoriales, Transformaciones lineales
¿Qué es el algebra lineal?
Rama de las matemáticas que estudia los vectores, matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales.
¿Qué es un espacio vectorial?
Es el espacio donde viven los vectores y aquí se pueden sumar vectores y multiplicar por escalares (números).
(me pide premium para poner la imagen entonces dejo el link de la imagen
https://significado.com/wp-content/uploads/2013/08/Espacio-vectorial-450x325.png )
¿Qué es una base de un espacio vectorial y cómo se calcula sus dimensiones?
Conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio.
Depende de la dimensión cuantos, ejemplo en R3
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
¿Qué significan que sean linealmente independientes?
Si ninguno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.
Definición mamadora:
si la única solución para:
c1v1+c2v2+…+cnvn = 0
Es que las C sean 0, si hay una solución en la que alguna C no sea 0 es linealmente dependiente.
¿Cuáles son los axiomas de la suma de vectores?
Cerradura: si u y v pertenecen al espacio entonces u + v también.
Conmutatividad: u + v = v + u
Asociatividad: (u + v) + w = u + (v + w)
Elemento neutro: un elemento que u + e = u (en este caso 0)
Elemento opuesto: un elemento que u + v = 0 (en este caso -u)
¿Cuáles son los axiomas de la multiplicación de vectores?
Cerradura: si u,v pertenecen a U entonces uv pertenece también
Distributividad escalar respecto a la suma de vectores: c(u + v) = cu + cv
Asociatividad: c(dv) = (cd)v
Elemento neutro: 1v = v para todo v
¿Cómo saber si es un espacio vectorial W de V?
W es subespacio de V si:
Contiene el vector cero
Es cerrado con respecto a W, si u,v pertenecen a W u+v también debe.
Es cerrado con la multiplicación de un escalar (número)
¿Qué es la transformación lineal?
Cuando un vector se multiplica y este lo manda a otro punto. Se les dice transformaciones porque en lugar de ver como si el vector lo tomaras y lo aventaras en otro punto es como si transformaras todo el espacio para dejarlo en ese punto.
Es lineal porque cumple con dos propiedades
- Preserva la suma
- Preserva la multiplicación por escalares
Fuente de donde saque
https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE
Propiedades de Transformaciones Lineales
Composición: Si T:V→W y S:W→U son lineales, entonces S∘T también lo es.
Invertibilidad: hay una funcion f^-1 que genera F^-1(F(v)) = v
Isomorfismo: Si T es inyectiva y suprayectiva, entonces es un isomorfismo y conserva todas las propiedades estructurales del espacio.
¿Qué es un nucleo/kernel?
El kernel de una transformación lineal T:V→W es el conjunto de todos los vectores en el espacio vectorial V que, al aplicarles la transformación T, se mapean al vector cero en el espacio vectorial W.
¿Qué es necesario para realizar una multiplicación de matrices?
Que el número de filas del elemento A sea igual que el número de columnas del elemento B y va a dar una matriz con la cantidad de columnas del elemento A y la cantidad de filas del elemento B
AxB = C
A = mxn
B = nxp
C = mxp
¿Cómo es la multiplicación de matrices?
(1, 2) (3;3) = (13+23) = 3+6 = (9)
https://how.okpedia.org/data/okpediaorg/prodotto-riga-per-colonna-matrice-python-2.gif
¿Qué es el determinante?
El determinante es un número especial que se calcula a partir de una matriz cuadrada. Si tienes una matriz 2×2, el determinante representa el área escalada del paralelogramo formado por los vectores columna de la matriz. Si es 3x3 en lugar del área representa el volumen, etc.
Aqui se ve como se calcula
https://www.neurochispas.com/wiki/determinante-de-una-matriz-3x3-ejercicios-resueltos/
¿Qué nos puede indicar el determinante?
Indica invertibilidad:
Si el determinante es cero, la matriz es singular (no tiene inversa).
Escalado:
Si multiplicas una fila (o columna) de la matriz por un escalar k, el determinante se multiplica por k.
Cambio de filas o columnas:
Si intercambias dos filas (o columnas) de la matriz, el determinante cambia de signo.
Aditividad:
Si una fila (o columna) es la suma de dos vectores, el determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes.
¿Qué son eigen vectores y valores?
Valor propio (eigen valor):
Es un número λ que, cuando multiplica a un vector propio, da el mismo resultado que aplicar una transformación lineal a ese vector.
En términos de matrices, si A es una matriz cuadrada, λ es un valor propio si existe un vector diferente de 0 tal que:
A⋅v=λ⋅v.
Vector propio (eigen vector):
Es un vector v≠0 que, cuando se le aplica una transformación lineal solo se escala pero no cambia de dirección.
Es decir, v es un vector propio si cumple:
A⋅v=λ⋅v.
¿Para qué sirven los eigen valores y vectore?
Diagonalización:
Si una matrz tiene suficientes vectores propios linealmente independientes, se puede diagonalizar.
Esto simplifica cálculos como potencias de matrices o exponenciales de matrices.
Análisis de datos:
En técnicas como el Análisis de Componentes Principales (PCA), los valores y vectores propios se usan para reducir la dimensionalidad de los datos.
¿Qué es un producto interno?
Operación que toma dos vectores y devuelve un escalar. Esta operación permite medir conceptos como la longitud de un vector, el ángulo entre dos vectores y la ortogonalidad.
¿Cómo se calcula el producto interno?
Ejemplo:
u = (1,2), v = (3,4) u.v = (13) + (24) = 11
¿Qué es la norma?
La norma es una función que mide la longitud o el tamaño de un vector en un espacio vectorial. En términos simples, la norma nos dice “qué tan grande” es un vector.
Esta se representa con dos lineas, norma de v = ||v||
¿Qué es la ortogonalidad?
La ortogonalidad se presenta cuando dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90 grados.
Esto se sabe si se hace su producto interno y este da 0
¿Cómo calcular el angulo entre dos vectores?
cos(theta) = producto_interno(u,v)/(||u||||v||)
¿Cómo se calcula la norma?
||u|| = sqrt(producto_interno(u,u,))
¿Cómo resolver ecuaciones lineales con matrices?
Método Gauss Jordan
Matriz Inversa
¿Qué es la matriz inversa?
Una matriz que cumple
A * A^-1 = I (matriz identidad)
¿Qué es la matriz identidad?
Una matriz que multiplicada por A da A
A*I = A
Esta es una matriz cuadrada de puros 0 y una diagonal de 1
¿Cómo se calcula la matriz inversa?
A ^-1 = 1/det(A) * Adj(A)
¿Qué es una matriz adjunta?
La matriz adjunta de una matriz cuadrada A es una matriz que se obtiene a partir de los cofactores de A. Es un concepto importante en álgebra lineal, especialmente para calcular la inversa de una matriz y el determinante.
¿Cómo calcular la matriz adjunta?
Con la matriz de cofactores y luego transponiéndola
Mat_cof = (-1)^(i+j)*det(Mij)
donde Mij es la submatriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de A.
Adj(A) = Mat_cof^T
