Serie Numeriche

Question 1

Cos’è una serie

Answer 1

Una serie di termine generale ak è la serie o somma di k da 0 a +infinito di ak

Question 2

Cos’è la ridotta n-esima o somma parziale della serie

Answer 2

È la sommatoria da k=0 a n di ak e si indica con Sn

Question 3

Cos’è la successione delle somme parziali

Answer 3

È la successione Sn delle somme parziali della serie

Question 4

Quando una serie è convergente

Answer 4

Quando il limite della successione delle somme parziali è uguale a un valore finito s.
Questo valore s è anche il valore stesso della serie

Question 5

Quando una serie è divergente

Answer 5

Quando il limite della successione delle somme parziali è divergente

Question 6

Quando una serie è irregolare

Answer 6

Quando il limite della successione delle somme parziali non esiste

Question 7

Quando una serie è regolare

Answer 7

Quando essa converge o diverge

Question 8

Cosa significa studiare il carattere della serie

Answer 8

Significa determinare se la serie converge, diverge o è irregolare

Question 9

Condizione necessaria per la convergenza

Answer 9

Una serie può convergere se il limite per k che tende a più infinito del termine generale ak è uguale a 0

Question 10

Serie a Termini di segno costante

Answer 10

È una serie dov’è il termine generale è sempre positivo o sempre negativo
La successione delle somme parziali è rispettivamente crescente o decrescente e la serie può o converge o divergere positivamente (se positivo) o negativamente (se negativo)

Question 11

Serie geometrica di ragione q

Answer 11

Se |q|<1 allora la serie converge a 1/1-q
Se q>1 allora la serie diverge positivamente
Se q<-1 allora la serie è irregolare

Question 12

Serie di mengoli

Answer 12

È la serie da k=1 a più infinito di 1/k(k+1) ed è una serie telescopica che converge ad 1

Question 13

Cos’è una serie telescopica

Answer 13

È una serie dove rimangono solo il primo e l’ultimo valore della sommatoria

Question 14

Serie armonica

Answer 14

La serie armonica è una serie da k=1 a più infinito di 1/k.
È una serie a termini sempre positivi e converge positivamente

Question 15

Serie armonica generalizzata

Answer 15

Serie da k=1 a più infinito di 1/k^α che converge se α>1 e diverge se α<_1

Question 16

Criteri di convergenza

Answer 16

Sono criteri utilizzati per studiare il carattere delle serie a segno costante

Question 17

Criterio del confronto per le serie

Answer 17

Prese due successioni ak e bk, con ak <bk se la serie bk converge allora convergerà anche ak, se ak diverge positivamente divergerà anche bk

Question 18

Cosa vuol dire che il criterio del confronto vale solo definitivamente in k

Answer 18

Vuol dire che il carattere della serie non puo essere studiato per valori di k piccoli, ma vale solo per valori di k grandi

Question 19

Criterio del confronto asintotico

Answer 19

Ci dice che, prese due successioni an e bn positive, se il limite del loro rapporto è uguale ad un valore L, allora la serie di ak e di bk avranno lo stesso carattere.
Se il limite sarà uguale a 0 con la serie di bk convergente allora anche la serie di ak sarà convergente
Se il limite sarà uguale a più infinito con la serie di bk divergente allora anche la serie di ak sarà divergente

Question 20

Criterio degli infitesimi

Answer 20

Si basa sul criterio del confronto asintotico ma al posto di bn vi è la serie armonica 1/n^p
Quindi si avrà n^p • an
Se p >1 la serie armonica converge e quindi anche la serie ak converge
Se p<_1 la serie armonica diverge e quindi anche la serie ak diverge

Question 21

Serie di Abel

Answer 21

È la sommatoria da k=2 a più inifinito di 1/k^p • ln(k)^q
Se p è maggiore di uno la serie converge
Se p è uguale a uno e q è maggiore di uno la serie converge
Se p è uguale a uno e q è minore uguale di 1 allora la serie diverge
Se p è minore di 1 allora la serie diverge

Question 22

Criterio della radice

Answer 22

Presa una serie ak,
Se il limite della radice k esima del termine generale della serie è >1 allora la serie diverge positivamente, se invece è<1 la serie converge mentre se è uguale a 1 il criterio è inconcludente

Question 23

Criterio del rapporto

Answer 23

Presa una serie ak, se il limite di an+1/an è uguale a L, con L >1 allora La serie diverge positivamente, se l<1 allora la serie converge, se l=1 allora il criterio è inconcludente

Question 24

Serie esponenziale

Answer 24

Sommatoria da k=0 a più infinito di 1/k!
È convergente e converge al numero e

Question 25

Assoluta convergenza

Answer 25

Una serie è definita assolutamente convergente se converge anche la serie dei suoi moduli È una condizione sufficiente perché se la serie dei moduli converge converge anche la serie normale

Question 26

Serie a Termini di segno alterno

Answer 26

È in serie da k=0 a più infinito di (-1)^k •ak Quindi alterna valori positivi e negativi

Question 27

Serie armonica alternata

Answer 27

È la serie da k=0 a più infinito di (-1)^k/k Converge al numero ln(2)

Question 28

Criterio li Liebniz

Answer 28

È un criterio sufficiente per la convergenza utilizzabile solo per le serie a segno alterno Se il termine generale della serie è decrescente e >_0 e tende a zero per la condizione necessaria per la convergenza allora la serie sarà convergente

Question 29

Formula di stirling

Answer 29

Il limite per k che tende a più infinito di radical 2πκ •(k/e)^k/k!=1 Che approssima k! a radical 2kπ• k^k/e^k•(1+o(1))