Limiti Di Funzione Flashcards
Cos’è un limite di funzione
È lo studio dell andamento della funzione per X che tende ad un valore X0 che è un valore che appartiene ad Rstar
Cos’è un punto di accumulazione
Un valore x0 è detto punto di accumulazione se esisterà una successione xn, appartenente al dominio e diversa da x0 tale che il limite di questa successione tenda a x0
Definizione successionale di limite
Per ogni successione xn con n appartenente ai numeri reali, con xn diverso da x0 per ogni n, se il limite di xn tende a x0 allora il limite di fxn tende a l
Come si dimostra che il limite di sinx per X—->+infinito non esiste
Prendo due successioni tendenti a più infinito e vedo che il seno per quelle due successioni assume valori differenti
Teorema di unicità del limite per le funzioni
Se la funzione ammette limite allora quel limite sarà unico e si dimostra con lo stesso criterio usato per le successioni (se una successione ha limite allora esso sarà unico)
Limite destro e limite sinistro
X tende a x0 da destra e da sinistra e xn dalla def successionale deve essere prima maggiore e poi minore x0
Quando un limite esiste?
Quando il limite destro e sinistro di una funzione esiste ed è uguale
Def topologica di limite
Fx tende a l se x si trova nell intorno di x0
E quindi per ogni ε>0 esisterà δ>0 tale che |x-x0|<δ e |fx-l|<ε
Nella def topologica di limite il Delta si sceglie a piacere?
No dipende da epsilon
Equivalenza def successionale e topologica
Sono equivalenti e va dimostrato prima che la 1 dipende dalla 2 quindi che fissato un xn tendente a x0 esisterà un delta che farà valere il limite. Mentre nel secondo punto devo dimostrare che se non vale 2 allora non vale nemmeno 1, quindi prendo un ε marcato e impondo fx -l >ε marcato, dalla 1 quindi avrò un xn-x0 minore di delta e chiamo delta1/n che tende a 0 sostituisco e trovo che xn tende a 0 ma fxn non tende a l quindi la 1 non è verificata
Che succede se si moltiplica una funzione infinitesima per una limitata
Il limite sarà uguale a zero
Come si dimostra il limite notevole di sinx/x
Si traccia la circonferenza goniometrica con la tangente e si impone l’area del settore circolare minore del triangolo esterno
Quando una funzione è continua
Quando essa conserva la vicinanza quindi quando X è vicino a x0 allora fx è vicino a fx0
Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x0|<δ e|fx-fx0|<ε
Quando una funzione si definisce continua in x0
Quando il limite di fx per X che tende a x0 da destra è uguale a fx0 ed è lo stesso per x che tende a x0 da sinistra
Cosa succede se una funzione è continua in un intervallo
La funzione sarà continua in tutti i punti dell’intervallo
La funzione è continua in un punto isolato
Si, lo è per definizione
I polinomi sono funzioni continue
Sì perché sono potenze con esponente intero
Quali funzioni sono continue
Tutte le funzioni elementari
Le funzioni inverse e composte sono continue?
Si
Quando una funzione si dice discontinua
Quando in un punto xo la funzione non è continua
Cos’è la discontinuità eliminabile?
È una discontinuità dove il limite di fx esiste ed è uguale a l ma non l è diverso da fx0. È il caso della funzione segno al quadrato e si risolve col prolungamento per continuità di f
Discontinuità di primo tipo o a salto
Quando esiste il limite destro e il limite sinistro ma essi sono diversi
Discontinuità seconda specie
Se uno dei due limiti non esiste o è infinito
Teorema permanenza del segno per le funzioni continue (con dim)
Se una funzione è continua e fx0 è maggiore di zero allora esisterà un δ>0 tale che la funzione sarà anch’essa positiva per X appartenente all’ intorno
(Per dimostrarlo prendo ε=fx0/2 e devo dimostrare che fx sia maggiore di un valore positivo)
