Integrali

Question 1

Cos’è una partizione di [a,b]

Answer 1

Insieme ordinato di n+1 punti tali che a=x0<x1<….<x-1<xn=b

Question 2

Cos’è un plurirettangolo

Answer 2

È un’unione di rettangoli che hanno in comune almeno un lato

Question 3

Cos’è la somma integrale inferiore e superiore

Answer 3

La sommatoria delle basi dei sotto intervalli per l’altezza dei vari rettangoli

Question 4

Cos’è l’integrale inferiore

Answer 4

È l’estremo superiore della somma integrale inferiore

Question 5

Cos’è l’integrale superiore

Answer 5

È l’estremo inferiore della somma integrale superiore

Question 6

Quando si ha l’integrale definito secondo Reimann?

Answer 6

Quando l’ integrale inferiore e quello superiore coincidono

Question 7

Criterio di integrabilità

Answer 7

Condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione sia integrabile secondo reimann è che, per ogni ε>0, esista una partizione Pε, tale che la differenza tra la somma integrale superiore e quella inferiore sia minore di questo valore ε

Question 8

Integrabilità funzioni monotone in un intervallo chiuso e limitato

Answer 8

Se una funzione è monotona in un intervallo [a,b] allora essa sarà integrabile secondo Rieman

Question 9

Uniforme continuità

Answer 9

È una continuità che per ogni ε>0 associa un valore δ dipendente solo da ε e non da un punto x0, tale che |x’-x’’|<δ e |fx’-fx’’|<ε.
Da un punto di vista geometrico una funzione uniformemente continua è una funzione che non impenna o oscilla, ovvero è una funzione che a piccole variazioni di X associa piccole variazioni di Y

Question 10

Relazione uniforme continuità e continuità

Answer 10

L’uniforme continuità è più potente della continuità semplice, perché se una funzione è uniformemente continua allora sarà anche continua, ma se una funzione è continua non è detto che sia uniformemente continua.

Question 11

Teorema di Heine-Cantor

Answer 11

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora essa sarà anche uniformemente continua nel medesimo intervallo

Question 12

Teorema di Reimann

Answer 12

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora essa sarà sicuramente integrabile secondo Reimann

Question 13

Additivita dell’integrale

Answer 13

L’integrale da a a b può essere riscritto come l’integrale da a a c più l’integrale da c a b
Poi invertendo il segno si possono invertire anche gli estremi
L’integrale con lo stesso estremo è uguale a zero

Question 14

Cos’è una primitiva

Answer 14

La primitiva è una funzione derivabile in (a,b) che se derivata da la funzione integranda

Question 15

Famiglia di primitive

Answer 15

È un insieme composto da funzioni Fx+c dove c è una costante. Perché la derivata di una costante è sempre zero. La si trova quando si calcola l’integrale indefinito. Quindi si utilizza la dicitura FX+c per indicare tutte le primitive di una funzione integranda

Question 16

Differenza integrale definito e indefinito

Answer 16

L’integrale definito ci da un numero, mentre quello indefinito una famiglia di primitive

Question 17

Formula fondamentale del calcolo integrale

Answer 17

Presa f una funzione integrabile in [a,b] con Fx sua primitiva
Allora l’integrale definito in a, b sarà uguale a Fb-Fa

Question 18

Primo teorema della media integrale

Answer 18

Presa una funzione continua e integrabile si avrà
b
Inf fx<_ / fx <_Sup fx
a

Question 19

Secondo teorema della media con interpretazione grafica

Answer 19

Presa una funzione continua e integrabile in [a,b] allora esisterà sicuramente un punto c tale che fc=1/b-a • l’integrale definito in a b di fx
A livello geometrico, significa che l’area dell integrale è uguale a quella del rettangolo che ha per base b-a e altezza fc

Question 20

Funzione integrale

Answer 20

È una funzione FX che ci permette di calcolare l’area di un’altra funzione fx in un sottointervallo di [a,b], in questo caso [a,x]
FX= all’integrale da a a X di ft

Question 21

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Answer 21

Presa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, la sua funzione integrale Fx sarà derivabile e la sua derivata sarà uguale a fx quindi alla funzione integranda

Question 22

Teorema di caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo

Answer 22

Se Fx e Gx sono sue primitive della stessa funzione allora loro si differenzieranno per una costante c

Question 23

La funzione integrale è una primitiva

Answer 23

Si, questo ci viene detto dal teorema fondamentale del calcolo integrale

Question 24

Una funzione che presenta discontinuità a salto può essere integrabile

Answer 24

Si, a patto che sia limitata e che quindi abbia finiti punti di discontinuità a salto

Question 25

Quando una funzione non è integrabile secondo Reinmann

Answer 25

Quando presenta infiniti puoi di discontinuità a salto, come nel caso della funzione di Dirichlet che assume valore 1 se X è razionale mentre assume valore 0 se X è irrazionale

Question 26

Integrazione per sostituzione

Answer 26

Si sostituisce la variabile con un’altra e si elimina la derivata della variabile dall’intagrale

Question 27

Integrazione per parti

Answer 27

Sfrutta la formula della derivata del prodotto di due funzioni per trasferire la derivata da una funzione all’altra

Question 28

Integrazioni funzioni razionali

Answer 28

È un rapporto di polinomi, il grado del numerato è superiore a quello del Denominatore si fa la divisione polinomiale, in caso contrario si fa la scomposizione in fratti semplici

Question 29

Regola di hermite

Answer 29

È un’alternativa ai fatti semplici usabile solo per le radici multiple. Al posto del fratto con la radice multipla di mette la derivata del denominatore diminuito di un grado e il numeratore col grado sempre inferiore al denominatore

Question 30

Integrazione per sostituzione secondo tipo

Answer 30

Si sostituisce X con gt e si aggiunge la derivata g’t

Question 31

Funzioni iperboliche

Answer 31

Sono funzioni definite in tutto R e non sono periodiche Sinh =e^x-e^-x/2 Cosh =e^x+e^-x/2 Tanh =e^x-e^-x/e^x+e^-x

Question 32

Funzioni iperboliche inverse

Answer 32

Settsinh(x) che è l’inversa del seno iperbolico e vale ln(X+radical x^2+1) Settcosh(x) che è l’inversa della restrizione del coseno iperbolico in (0,+infinito) e vale ln(x+radical x^2-1) Setttanh(x) è la restrizione della tangente iperbolica e vale 1/2 •ln (1+x/1-x)

Question 33

Quando una funzione è integrabile

Answer 33

Quando rispetta il criterio di integrabilità