Röntgenstreuung (Prof. Eisebitt)

Question 1

Was wird durch Röntgenstreuung ermöglicht?

Worin unterscheiden sich elastische und inelastische Streuung?

Answer 1

• Bestimmung von geometrischen Strukutren

Beispiele:

• Elektrondichteverteilung
• Atomposition, Verzerrungen von Atompositionen
• Kristallanordnung, Orientierung, Fasern, Domäne
• Partikelgröße, -dimensionlität, -form
• Je nach Sonde und Wellenlänge unterschiedliche Informationen

Elastische Streuung: Geometrische Struktur

Inelastische Streuung: Spektroskopie (Elektronen, Phononen)

Question 2

Was ist das Ziel der elastischen Röntgenstreuung?

Answer 2

Aufklärung der Struktur der Probe durch Messung des gesamten Wellenfeldes

• Bei elastischer Streuung = kein Energieübertrag, aber ggf. Impulsübertrag

=> geometrische Struktur bestimmen

Question 3

Wie ist ein grundlegendes Streuexperiment aufebaut?

Womit wechselwirkt die Röntgenstrahlung?

Welche Größern änder sich/ändern sich nicht?

Answer 3

Aufbau siehe Bild

• Röntgenstrahlung wechselwirkt mit Elektronen
• Diese fangen im E-Feld an zu schwingen
• > Hertz’scher Dipol
• > Abstrahlung mit gleicher Wellenlänge
• Energie & Wellenlänge unverändert
• Wellenvektor änder sich (aber Betragmäßig gleich)
• Flussdichte (Photonen / Zeit) verändert
• Phase verändert

Question 4

Was lässt sich über den Informationsgehalt von Streuexperimenten aussagen?

Was ist bekannt? Was wird gemessen?

Answer 4

Bekannt:

• Beleuchtungsfunktion
• Kohärent
• Definierte Phase

Messung:

• Amplitude
• Phase
• > Für alle Winkel des Raumes (nicht umsetzbar) und alle Orientierungen der Probe

Question 5

Welches Grundlegende Problem tirtt bei Streuexperimenten auf?

Was sind Lösungsmöglichkeiten?

Answer 5

Das Phasenprobelm, da diese nicht gemessen werden kann

Gründe:

• Frequenz bei Röntgenstrahlung ist zu hoch für eine Zeitauflösung (~ 10¹⁸ Hz)
• Bei inkohärenter Beleuchtung hat bereits die einfallende Phase nicht einen festen Wert

Auswege:

• Interferometrische Verfahren (Holografie) und “numerical phase retrieval”

Question 6

Wie ist der Streuquerschnitt definiert?

Answer 6

• Intensität der ausfallenden Strahlung normiert auf die Intensität der einfallenden Strahlung und Anzahl der Probenteilchen sowie des Raumwinkels
• Diffrentieller Streuquerschnitt ist gleich dem Betragsquadrat der Streustärke/Streuamplitude

Question 7

Was besagt das Huygens’sche Prinzip?

Welche Problem tritt am Detektor auf?

Was ist die Born’sche Näherung?

Answer 7

Huygens’sche Prinzip

• Streuung 1. Ordnung liefern Kugelwellen

Am Detektor wird die Superposition der gestreuten Kugelwellen gemessen

• Diese enthalten Amplitude A und Phase φ
• Allerdings wird die Intensität I = |A|² gemessen
• > Phase geht verloren -> Phasenproblem

Born’sche Näherung

• Mehrfachstreuung (an Nachbaratomen) vernachlässigt
• > Von jedem Streuzentrum geht nur eine Kugelwelle aus

Question 8

Was besagt die Fraunhofer Näherung?

Answer 8

= Fernfeld Näherung

• Bei großem Abstand ist Krümmung der Kugelwellen vernachlässigbar
• > Wieder wie ebene Welle

(L >> d²/λ)

-> Bei Röntgenstrahlung schnell erreicht

Question 9

Leiten Sie die Bedingung für den Streuvektor her.

Answer 9

Einfallender Wellenvektor (k_i), Austretender Wellenvektor (kf)

• Streuung an zwei Atomen mit Abstandsvektor r₀

Durch geometrische Überlegung zum Wegunterschied:

• Obere Welle hat zusätzlichen Weg 1
• Untere Welle hat zusätzlichen Weg 2 (siehe Bild)
• > Diese ergeben sich jeweils durch den Einheitvektor der Welle (k_i und k_f normiert auf k) im Skalarprodukt mit r₀

(Wie mit Cosinus der Beträge)

Phasenunterschied = 2π/λ * Wegunterschied (2π/λ = Phase/Weg)

= 2π/λ * 1/k (k_f*r₀ - k_i*r₀)

= (k_f - k_i)*r₀ ; mit k = 2π/λ

= q*r₀

q = Δk ist der Streuvektor !

Question 10

Was gibt der Streuvektor an?

Leiten Sie eine Bedingung zwischen Streuvektor und dem Streuwinkel her.

Answer 10

• Den Impulsübertrag, da q = Δk und p = ħ*k und somit:

Δp = ħ*Δk = ħ*q

Herleitung:

• Streuwinkel = 2*θ
• Diese befindet sich zwischen dem k-Vektor der einfallenden Welle und dem k-Vektor der ausfallenden Welle (sieh Bild)
• Diesen bilden mit q = Δk ein gleichschenkliges Dreieck (da die Beträge der k-Vektoren gleich sind)
• Dieses lässt sich mit einer Winkelhalbierenden in 2 rechwinklige Dreiecke zerlegen und Sinus Bedinung ausnutzen
• > sin(θ) = q/2 / k

=> q = 2*k*sin(θ) oder auch q = 4π/λ*sin(θ)

Question 11

Wie erfolgt die Streuung an zwei freien Elektronen? Was ist hierbei das besondere?

Answer 11

• Über das Superpositionsprinzip = Phasenrichtige Summation
• freies Elektron -> Thomson Streuung (Kugelwelle)
• Gestreutes E-Feld ~ r_e*p*E₀*Kugelwelle*Phasenbeziehung

(re = klassischer Elektronradius; p = Polarisationsfaktor; E₀ = Amplitude & Richtung)

Besonderheiten:

• Stärke der Streuung am Elektron immer gleich, da diese von der Größe des Elektrons abhängt
• Zu jedem Beobachtungswinkel 2θ gehört ein Streuvektor q

Question 12

Wie ergibt sich der differentielle Thomson-Streuquerschnitt?

Answer 12

dσ/dΩ = | f(Ω) |² = r_e²*p² (Also Betragsquadrat der Streuamplitude)

Question 13

Wie wird die Streuung von vielen Elektronen beschrieben?

Answer 13

• Durch eine Ladungsverteilung
• Formfaktor (=Streuamplitude) ist Ladungsverteilung*Phasenfaktor integriert über den Raum dσ/dΩ = | f(q) |² (= nicht resonanter Streuquerschnitt der Elektronwolke im Atom)

=> Formfaktor ergibt direkt Streuquerschnitt pro Raumwinkel

Question 14

Wie ändert sich der Formfaktor bei resonanter Streuung

Answer 14

• Thomson-Formfaktor erhält zusätzlichen additiven Anteil der Dispersion/Streuung (f’(ħω)) und Absorption (i*f’‘(ħω))
• Aus diesen beiden ergibt sich der Brechungsindex

Question 15

Nennen Sie grundlegende Annahmen und Eigenschaften der Streuung.

Answer 15

1) Am Elektron werden Kugelwellen gestreut (Bornsche Näherung, Thomson Streuung)
2) Fernfeld Näherung (Großer Abstand zum Detektor)
3) Geometrischer Weglängenunterschied hängt vom Beobachtungswinkel ab
4) Phasendifferenz ist q*r₀
5) Betrag des Streuvektors ist bei fester Wellenlänge nur vom Winkel abhängig ( q = 4*π/λ*sin(θ) )
- > Jeder Streureflex vom Winkel abhängig
- d.h. bei kleinen Perioden gibt es große Streuwinkel

Question 16

Wie ergibt sich die Streuung am Kristall? Was folgt daraus?

Answer 16

Kristall = Periodische Anordnung von Atomen

• Streuvermögen des Atoms = Atomarer Formfaktor
• Streuvermögen einer Basis = Strukturfaktor
• Streuvermögen des Gitters = Reziprokes Gitter (Gittervektor ist Verschiebung von einer Basen nur nächsten)

=> Hat Form einer Fouriertransformation?

• Streuamplitude ist FT der Real-Raumstruktur
• > Ortsvektor und Streuvektor sind konjugierte Variablen im Realraum und reziproken Raum

Question 17

Welche wichtigen Zusammenhänge bestehen zwischen Realraum und Reziproken Raum?

Answer 17

• Jedes Realraumobjekt kann in Fouriergitter zerlegt werden
• Jedes Gitter erfüllt dabei: sin(α) = n*λ/d
• Korrelationslänge d gibt nicht die Größe der Struktur an sondern Periodizität (“Raumfrequenz” = 1/d)
• Periodizität d der Probe wird in Richtung des Impulstranfers q gemessen
• Feldstärkeverteilung die durch Streuung einer Ebenen Welle an einem Objekt entstanden ist, ist im Fernfeld gegeben durch die Fouriertransformation des Objekts
• Intensität am Detektor (im Fernfeld) ist das Quadrat der Feldstärke

Question 18

Welche Reflexe würde die unten gezeigte Strukturen im k-Raum liefern?

Answer 18

• r-Raum zum k-Raum durch Fouriertransformation
• Beides Sinusgitter, daher nur einen Frequenzwert (aber ± wegen Sinus)
• Punkte nur entlang der Waagerechten, da in der Senkrechten die Funktion konstant ist!

kleines Gitter:

• Bei einer Periode von d = 20 Pixeln entspricht dies einer Raumfrequenz von 1/d = 1/20 - Somit 2 Reflexe bei ± 1/20

großes Gitter:

• Bei einer Periode von d = 200 Pixeln entspricht dies einer Raumfrequenz von 1/d = 1/200 - Somit 2 Reflexe bei ± 1/200

=> Reflexe näher aneinander

Question 19

Welche Reflexe erben sich bei der unten gezeigten Struktur?

Answer 19

• Rechteckgitter, daher mehrere Frequenzen
• Rechteck mit scharfen Kanten -> Viele Fourierkomponenten zur Beschreibung nötig
• > Vielfache der Grundfrequenz “Harmonische”
• Orientierung des Gitters ist entscheiden! (In eine Richtung Periodizität in andere Richtung Konstant)

Question 20

Warum ist der Faltungssatz wichtig für Kristallanalysen?

Answer 20

Faltungssatz der Fouriertransformation:

• Faltung in einem Raum ist gleich der Multiplikation im anderen
• > Feldstärkeverteilung im Fernfeld durch Streuung am Kristall = FT(Gitters) * FT(Basis)
• > Durch Inverse FT dann Basis und Gitterperiodizität zu erkennen (siehe Bild)

Wichtig:

• Struktur des gesamten Kristalls durch Reflex gegeben
• Struktur der Basis/Einheitszelle durch gesamte Intensitätsverteilung

Question 22

Was ist das Prinzip der Drehkristallmethode?

Answer 22

• Nutzt Ewaldkugel, welche Radius von |k_i| = |k_f| hat
• Nur wenn die Laue-Bedingung (q = k_f -k_i = G; dem Vektor des Gitters) erfüllt ist, findet elastische Streuung in Richtung von k_f statt
• Rotation des Kristalls und somit des Gitters führt dazu, dass weitere Gitterpunkte auf dem Radius der Ewaldkugel liegen und somit die Laue-Bedingung erfüllen
• > Es treten Reflexe auf

(- Nur Punkte die weniger als 2*k vom Ursprung entfernt sind können die Bedingung erfüllen)

(- Strahlung mit großen Wellenlängen (kleinem k) können keine Beugung am Kristall verursachen, da Ewaldkugel zu klein wird, damit G-Vektor rein passt)

Question 24

Wodurch wird das Streumuster bestimmt?

Answer 24

• Durch die Form der Partikel
• Körnigkeit entsteht durch Interferenz, d.h. bei kleinen Abständen gibt es mehr Körnigkeit

Question 26

Welche Impulstransfer findet im Kristall statt?

Answer 26

• Impuls der auf das gestreute Photon übertragen wird “stammt” aus der Periodizität der Probe

Question 28

Was ist SAXS? Welche Informationen liefert es? Was wird durch kohärente Strahlung erreicht?

Answer 28

= Small Angle X-ray Scattering

• Liefert statistische Informationen zu:
  1) Größe der Strukturen
  2) Form der Strukturen
  3) Ausrichtung der Strukturen
  4) Abstand der Strukturen
• Kohärente Strahlung liefert mehr Ausleseinformationen