Règles de Calcul Flashcards
Addition : propriétés ► a + b = ► a = b + c ► (a+b) + c ► 5 + 5 + 5 =
La Commutativité : a + b = b + a # 2 + 3 = 3 + 2 la Différence: si a = b + c alors b = a - c # 7 = 4 + 3 alors 4 = 7 - 3 Associativité : (a+b) + c = a + (b+c) # (3+4) + 5 = 3 + (4+5) Addition répétée: 5 + 5 + 5 =3 x 5 ( 3 termes )
Addition nombres relatifs de signe contraire ► (+3,5) + (-5) =
- on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande. - on met au résultat le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro. # (+3,5) + (-5) = -1,5
Addition nombres relatifs du même signe ► (-2,5) + (-5) =
- on additionne les distances à zéro des deux nombres; - on met au résultat le signe commun aux deux nombres. # (-2,5) + (-5) = -7,5
Calcul exact d’une racine carré
Ex : √ 729 - Il faut faire une division particulière ou le racine carré sera le dividende - chaque phase de la division se fait avec une paire de chiffre du dividende, si nombre de chiffre impaire on commence avec un seul chiffre, ici donc on commence par 7 - première phase on cherche le carré le plus proche ou égale à la première paire du dividende, pour 7, le carré le plus proche est 2 car 2 x 2= 4 - On soustrait le résultat au dividende puis on ajoute la paire qui suite donc 7 - 4 = 3 auquel se joint 29 on se retrouve donc avec un dividende de 329 - Pour le “ quotient “ on note le facture utilisé soit 2 - Pour l’étape suivante on multiplie le “ quotient actuelle par 2 et cela nous donne le facteur de base avec lequel travailler. Si le quotient est un nombre décimale comme 1,7 on ignore la virgule pour la multiplication, donc 2 x 17 soit 34. Dans le cas présent, 2 x 2 = 4 - On cherche un entier à joindre à 4 tel que le nombre obtenu multiplier par le même entier se rapproche du dividende actuel soit 329. Si l’on joint 7 au 4, on obtient 47 x 7 = 329 ce qui correspond au dividende actuel. - Donc √729 = 27
Calcul littéral: Réduction addition et soustraction ► 3x + 2 + 2x - 1 =
On peut additionner et soustraire les nombres et les lettres entre elles, mais seulement avec la même. # 1x + 1y + 1x = 2x + 1y # 3x + 2 + 2x - 1 = 5x + 1
Calcul littéral: Réduction multiplication ► 2b x 2 =
Tout peut se multiplier ensemble: # si 2b = 2 x B alors # 2b x 2 = 2 x B x 2 = 2 x 2 x B = 4 x B = 4b
Calcul littéral: utilité
le calcul littéral permet de vérifier que deux équations sont toujours égales quelle que soit la valeur de X
Développement: ► k x ( a-b) = ► x = ( 2k + 8 ) ( 3k -9 )
Simple: Ex: # k x ( a+b) = k x a + k x b # k x ( a-b) = k x a - k x b double: ex: # x = ( 2k + 8 ) ( 3k -9 ) x = ( 2k x 3k ) + ( 2k x (-9) ) + ( 8 x 3k ) + ( 8 x ( -9) ) x = 6k² - 18k + 24k - 72 x = 6k² + 6k - 72
Diviser deux fractions
Cela revient à multiplier par son inverse : # 10 / 3 // 3 /4 = 10 / 3 x 4 / 3
diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
a / b = a x ( 1 / B ) : # 10 / 5 = 10 x ( 1 / 5 ) = 2
Equations simples
Si a + x = b alors x = b - a Si ax = b alors x = b / a ( avec a ≠ 0 ) ( justifié par les propriétés de l’addition )
Fonctions affines: proportionnalité des accroissements
f(x) = ax + b pour tous les réels x₁ et x₂ on a: f(x₂) - f(x₁) = a ( x₂ -x₁ ) où a est coefficient de proportionnalité # f(5) = 2 et f(1) = - 3 et f est de la forme f(x) = ax + b le coefficient de proportionnalité de a entre l’accroissement de x et celui de f(x) est tel que: f(5) - f(1) = a ( 5 - 1) soit 2 - (-3) = 4a d’où 5 = 4a on en déduit que a = 5/4
Fonctions: coefficient directeur ( proportionnalité des accroissements )
On augmente x de 1 et on voit de combien a augmenté Y, cela indique le Coef directeur # Sinon, a = coefficient directeur a = Y₂ - Y₁ / X ₂ - X ₁ # f(5) = 2 et f(1) = - 3 et f(x) = ax + b f(5) - f(1) = a ( 5-1 ) 2 - (-3) = a4 5 = a4 a= 5 / 4
Fonctions: ordonné à l’origine
indiqué par le point où la droite de la fonction rencontre l’axe des ordonnés ( x = 0 )
Fractions: propriétés
Addition: il faut que les fraction aient les mêmes dénominateurs pour faire une somme # 4/3 + 5/3 + 2/3 = 11/3 Autrement il faut les réduire au même dénominateur # 1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12 Multiplication: on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux # 3/4 x 5/7 = 15 28 Division: on multiplie la 1er fraction par l’inverse de la seconde # 3/4 / 5/7 = 3/4 x 7/5 = 21/20 Nombre décimal et fraction: élever le nombre décimal au numérateur en nombre entier naturel # 0,2 x 1/3 = 2/10 x 1/3 = 2/30 = 1/15
Identité remarquables
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² - 2 ab + b²
(a + b) ( a- b) = a² - b²
#
- (I) (x+a) (x+b)= x²+ x( a+b) + ab
- (x+2) ( x+4) = x² + 6x + 8
Inéquations: résolution
- C’est trouve toutes les valeurs possibles que peut prendre l’inconnue pour que l’égalité soit vérifiée. # x + 1 ≥ 2 a pour solutions tous les nombres supérieurs ou égaux à 1 : ainsi 1 + 1 est bien égal à 2 et non pas inférieur. # comme pour une équation standard, on doit maintenir l’égalité: ce que l’on ajoute ou soustrait d’un côte, idem de l’autre. Mais si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif, on doit inverser le signe ainsi si A < B et que C < 0 alors A x ( - C) > B x ( -C)
Inverse d’un nombre
L’inverse d’un nombre A non nul est l’unique nombre B tel que a × b = 1; il se note 1⁄a : # inverse de 10 est 0,1 car 10 x 0,1 = 1 et il se note 1/10
Multiplication: développer
k x (a + b) = ka + kb 5 x (2 + 4) = (5 x 2) + (5 x 4)
Multiplication: factoriser
ka + kb = k x (a + b) = (5 x 2) + (5 x 4) = 5 x (2 + 4)
Multiplication: propriétés
Inverse: le produit d’un nombre et de son inverse est 1 # 2 x 0,5 = 1 1 est l’élément neutre de la multiplication: # a x 1 = a et 1 x a = a La Commutativité: a x b = b x a # 2 x 3 = 3 x 2 Le quotient: si ab = c alors b= c /a ( a ≠ 0) # 2 x 5 = 10 alors 5 = 10 / 2 l’associativité: (ab) x c = a x (bc) # (2x3) x 5 = 2 x (3x5) Multiplication répétée: 5 x 5 x 5 = 5³ ( 3 facteurs )
Nombre premier
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premier et ce de manière unique ( autrement dit, se décompose en multplications effectuées uniquement avec des nombres premiers ) Ex: 60= 2 x 2 x 3 x 5
Parenthèse: suppression des parenthèses
- Si une parenthèse est précédée du signe + , on peut supprimer les parenthèses sans rien changer: # 6 + ( 7 - 8 ) = 6 + 7 - 8 - Si une parenthèse est précédée du signe - , on peut supprimer les parenthèses à condition de changer tous les signes des termes de la parenthèse: # 6 - ( 7 - 8 ) = 6 + (- 7 + 8) = 6 - 7 + 8 # 6 - ( - 7 - 8 ) = 6 + ( + 7 + 8 ) = 6 + 7 + 8
Priorité de calcul général
1/ Parenthèses 2/ Puissances 3/ Multiplications et divisions de gauche à droite 4/ Addition et soustraction de gauche à droite
Priorité de calcul: les puissances
Dans un calcul sans parenthèses, les puissances sont prioritaires. # 12² + 3 = 144 + 3 = 147 Si il y a des parenthèses, on calcule d’abord les parenthèses puis ensuite les puissances # (2 + 3)² + 3 = 5² + 3 = 25 + 3 = 28
Proportionnalité : produit en croix
dans un tableau de proportionnalité, il y a égalité des produits en croix ( cela permet de calculer une quatrième proportionnelle )
Proportionnalité: évolution d’un pourcentage
\ Augmenter un nombre t% revient à le multiplier par 1 + t / 100 # augmenter un nombre y de 7% revient à le multiplier ainsi : y ( 1 + 7 / 100 ) \ Diminuer un nombre t% revient à le multiplier par 1 - t / 100 # diminuer un nombre y de 7% revient à le multiplier ainsi : y ( 1 - 7 / 100 )
Puissances: écriture
► a° = 1
► a¹ = a
Ex: 5¹ = 5
► a⁻¹ = 1 / a
Ex: 5⁻¹ = 1/5
EX: 5⁻³ = 1/5³
► a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
► ( a / b )² = a² / b²
Puissances: écriture scientifique
Soit A un nombre supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10 1 ≤ a < 10 # écriture scientifique : a x 10ⁿ Ex: 2 x 10⁴ = 2 x 10 000 = 20 000 # 0,25 = 2,5 x 10⁻¹ # 35 x 10⁻⁴ = 3,5 x 10¹ x 10⁻⁴ = 3,5 x 10 ⁻³ # 0,015 x 10⁹ = 1,5 x 10⁻² x 10⁹ = 1,5 x 10⁻²⁺⁹ = 1,5 x 10⁷
Puissances: produit
aⁿ x aⁱ = a ⁿ ⁺ ⁱ
Puissances: puissance de 10
10⁴ = 10 000 ( 4 zéros ) # 10⁻³ = 0,001 ( 3 chiffres après la virgule et 3 zéros )
Puissances: puissance de puissance
( aⁿ ) ⁱ = a ⁿ × ⁱ
Puissances: puissance d’un produit
aⁿ x bⁿ = ( a x b )ⁿ
Puissances: quotient
• aⁿ / aⁱ = a ⁿ ⁻ ⁱ • ( a / b )² = a² / b²
Puissances: règle de priorité
en cas de parenthèses, on effectue d’abord les calculs contenus dans les parenthèses # Sinon on calcule ainsi: puissances, multiplications / divisions, additions / soustractions Ex: 3⁴ - ( 2³ + 1,5 ) ² = 3⁴ - ( 8 + 1,5 ) ² = 3⁴ - 9,5² = 81 - 90,25 = - 9,25
Puissances: signe de la puissance d’un nombre négatif
Soit A un nombre strictement négatif: # si N est pair: aⁿ est positif # si N est impair: aⁿ est négatif Ex: ( - 1,5 )³ est un nombre négatif élevé à une puissance impaire, il est donc négatif. Piège: - 3² = - 9 car le carré s’applique uniquement au 3 mais (- 3)² = 9 car le carré s’appliquer aussi au signe
Règle des signes ( Division )
- Le quotient de 2 nombres de même signes est un nombre positif - Le quotient de 2 nombres de signes contraire est un nombre négatif
Règle des signes ( Multiplication )
- Le produit de 2 nombres de même signes est un nombre positif - Le produit de 2 nombres de signes contraire est un nombre négatif
Rendre une faction irréductible
On décompose en produit de facteurs premiers ( donc pas par 10 car 10 n’est pas un nombre premier ) le numérateur et le dénominateur et on supprime les facteurs communs. () On utilise les nombres premiers ( nombre divisible soit par 1 soit par lui même ) dans une série de multiplication débouche sur le nombre du numérateur et du dénominateur et l’on élimine les chiffres communs au numérateurs et dénominateurs - Ex: 84 / 330 = 2 x 2 x 3 x 7 / 2 x 3 x 5 x 11 Si on élimine les facteurs ( nombre de la multiplication ) communs on supprimer un 2 en haut et en bas et un 3 en haut et en bas puis on effectue le calcule qui donne 14 / 55
Soustraction nombres relatifs
–5 – 15 = –20 Cela revient à faire l’addition : (–5) + (–15) = –20. # –5 – (–15) = –5 + 15 = 10 On a transformé la soustraction d’un nombre négatif – (–15) en l’addition de son opposé + 15
Statistiques: les classes
Si données statistiques trop nombreuses, on regroupe par classe: au lieu de dénombrer chaque effectif des hommes taillés entre 160 et 165 centimètres, on créé un classe ( 160 ; 165 ) qui regroupe tous les effectifs représentant d’une classe = ( 160 + 165) / 2
Statistiques: moyenne
soit une série de valeurs v₁ v₂ v₃ v₄ ( par exemple note d’une classe ) et un effectif F ( le nombre d’élève: # Moyenne = ( v₁+ v₂ + v₃ + v₄ ) F
Statistiques: Fréquence
• la fréquence F est la proportion de la présence d’une valeur X au sein d’un effectif N : si dans une classe de 20 élève, 5 élèves ont eu une note de 8, la fréquence de la note de 8 est de # ( 5 / 20 ) x 100 = 25 • Pour la fréquence cumulée il suffit de cumuler les effectifs mettons, que 4 élèves ont eu la note de 9, alors la fréquence cumulé des notes 9 et 8 est : # ( ( 5 + 4 ) / 20 ) x 100 = 45 %
Statistiques: Médiane
• pour une série statistique rangée dans l’ordre croissante des valeurs, la médiane Me est la valeur qui partage cette série en deux sous-séries de même effectifs. • si les effectifs de la série globale sont paires ( 10 ), la Me correspond à # ( Valeur position 5 + valeur position 6 ) / 2 • si les effectifs de la série globale sont impairs ( 11 ) la Me correspond à la valeur de la position du milieu ( 5 )
Statistiques: étendue
l’étendue d’une statistique est la différence ( soustraction ) entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série
Pourcentage: augmentation et baisse
Augmentation de z % d’une valeur V : V x ( 1 + z / 100 ) # baisse de z % d’une valeur V : V x ( 1 - z / 100 )
Equations: regrouper les inconnus
•Attention à bien regrouper les inconnus avant de basculer les nombres: 4y + y = 20 5y = 20 y = 20 / 5 = 4 si on ne regroupe pas les inconnus, le diviseur est incorrect et le dividende est divisé plusieurs fois 20 / 4 = 5 / 2 = 2,5 INCORRECT
Probabilité: résultat en plusieurs étapes
• Si on doit calculer une probabilité en 2 étapes ( par exemple avec deux tirages au sort successifs ) on calcule en utilisant le fait que les probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin # si on a 3/4 de tirer une balle rouge puis 1/3 d’en tirer une seconde, alors on a ( 3/4 ) x ( 1/3 ) = 1/4 d’avoir tiré une balle rouge après les deux tirages.
Fonction: Repère dans un plan; pente d’une ligne
- Pente = changement de Y / Changement de X
- Avec la fonction linéaire f(x) = 1/3x - 2
on sait que -2 est le point d’intersection avec les ordonnés ( 0 ; -2 ) et 1/3 indique la pente de la ligne, ou l’accroissement de la fonction et signifie que si x avance de 3 alors y augmente de 1
Système d’équation linéaire algébrique: trouver le nom de solution
► Si solution : 0 = 0 , il existe une infinité de solutions
► si solution: 5=2 ou autre incohérence, il n’y a pas de solution au système d’équation
► si l’égalité se vérifie, il y a une solution
► Pour déterminer la solution de l’équation, on soustrait l’équation B à l’équation A après avoir elevé les inconnus au même nombre de facteurs. Si impossible en une fois, on détermine x puis y et on vérifie l’égalité.
Fonction du second degré ( Quadratics ): trinômes ou fonctions polynômes
► f(x) = ax² + bx + c
• (x+2) ( x+4) = x² + 6x + 8
• (x+a) (x+b)= x²+ x( a+b) + ab
►(ax + y) (x+c) = ax²+bx+c
3x²-20x-7 = ax²+ bx + c = (3x+1) (x-7)
a+b = b = -20
ab = ac = (3)(-7) = - 21
so 3x² -20x - 7 = 3x² + 1x -21x -7 = x(3x+1) - 7(3x+1)
total = (3x+ 1) (x-7)
Equations linéaires: nombre de solutions à l’équation
► An equation of the form y=ay=ay, equals, a (where aaa is any number). In this case, the equation has exactly one solution.
► An equation of the form a=aa=aa, equals, a (where aaa is a number). In this case, the equation has infinite solutions.
► An equation of the form a=ba=ba, equals, b (where aaa and bbb are different numbers). In this case, the equation has no solutions.
Equations linéaires: nombre de solutions à l’équation
une équation de la forme ax + b = cx + d aura exactement
► 1 solution quand a ≠ c
► pas de solution quand a = c et b ≠ d
► solutions inifinies quand a = c et b = d
fonction: graphique
► In general, a vertical graph line can never represent a function.
►
A graph represents a function if and only if every xxx-value on the graph corresponds to exactly one yyy-value.
To put it another way, if we can find an xxx-value with more than one corresponding yyy-value, then the graph doesn’t represent a function.
Séquences arithmétiques
a₁ + d( n - 1 )
n représente un terme de la séquence
ainsi pour la sequence 81, 54, 27, 0, … qui décroit de 27 en 27 on aura n₁ = 81 puis n₂=54 etc
a(n)= 81 - 27 (n-1)
Séquences arithmétiques: formules récursives
formule récursive pour la séquence: 5, 8, 11, …
la formule récursive doit indiquer le premier terme ( en l’occurence 5)
La règle dans cette séquence pour obtenir le terme qui suit est d’ajouter 3
donc le formule récursive est
c(1) = 5
c(n) = c(n-1) + 3
Séquence Géométrique
► In a geometric sequence, the ratio between successive terms is constant. This means that we can move from any term to the next one by multiplying by a constant value. Let’s calculate this ratio over the first few terms:
30,150,750,3750:
3750 / 750 = 5
750 / 150 = 5
150 / 30 = 5
Priorité de calcul: puissance et paranthèses
( 4⁻³ ⋅ 2⁻³ )⁰
► ( 4⁻³ ⋅ 2⁻³ )⁰ = a⁴ ⋅ b⁴ = ab⁴
( 8 ⁻³ )⁰ = ( c³ )² = c³⋅² = c⁶
8⁰ = 1
Rarcine carré: écritures alternatives ; √16
► √16 = 4
en effet 4 x 4 = 16 donc 4² = 16
► √16 = 1 6 ¹⁄ ²
- en effet la √16 = 4 car si on élève 4 au ² on obtient bien 16. donc 4 est la racine, la source du carré de 16.
- Or si je prends 16 ¹⁄ ² comme la racine carré de 16, si je l’élève au carré, je dois trouver 16, comme pour 4. Cela se confirme avec l’opération suivante:
( 16 ¹⁄ ² ) ² = 16 ¹⁄ ² * ² = 16 ²⁄² = 16¹ = 16
Racine carré: calcul; √4 x √ 9
► √4 x √ 9 = √4x9 = √36 = 6
► √4 x √ 9 = √4x9 = √2² x 3² = 2 x 3 = 6
