Linearna algebra Flashcards
operacije s vektorima
zbrajanje, množenje skalarom, strukturno množenje i vektorsko množenje
svojstva zbrajanja vektora
zatvorenost, komutativnost, asocijativnost, neutralni elemnt nulvektor, suprotan vektor
def. grupoid
Neka je S neprazan skup i neka je Q (zatvorena) binarna operacija/preslikavanje na skupu S. Grupoid je uređeni par (s,Q)
primjer grupoida
(R,+), (N,+), (C,+)
Def. grupoida
(s, *) je (komutativni) grupoid ako svaka 2 elementa iz S komutiraju
def. polugrupa
(S, *) je (komutativna) polugrupa ako je (komutativna) binarna operacija asocijativna za svaki element iz S
def. grupoid
(s,) je grupoid ako postoji element iz S koji je neutralan, tj. xe=e*x=x za svaki x iz S
polugrupu s neutralnim elementom zovemo
monoid ili polugrupa s jedinicom
neutr. element u aditivnoj strukuri zovemo
nula
neutr. element u multiplitivnoj strukturi zovemo
jedinica
ako neutralni element postoji on je
jedinstven
def. inverz
Neka je (s,) grupoid ako za x iz S postoji y iz S t.d. xy=y*x=neutr. el. kažemo da je y inverz od x, a x invertibilni element
inverz on invertibilnog elementa je uvijek
jedinstven
ako je x iz S invetribilan onda je njegov inverz
također invertibilan
zbroj 2 invertibilna elementa je
invertibilan
def. grupa
monoid u kojem je svaki element invertibilan, tj. svaki element ima svog inverza koji je unutar istog skupa
def. abelova grupa
grupa kojoj je operacija komutativna
svojstva grupe
- zatvorenost
- asocijativnost
- neutralni element
- invertibilni element i njegov inverz
- komutativnost
skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čini
grupu
tm. o dijeljenju s ostatkom
za a koji je cijeli broj, m koji je prirodan broj postoje jedinstveni q i r koi su cijeli brojevi t.d. je
a= m*q + r ; r je ostatak
def. prsten
Neka je R neprazan skup te “+” i “*” binarne operacije. Tada je (R, + , *) prsten ako :
- (R, +) abelova grupa
- (R, ) polugrupa
- vrijedi distributivnost operacije “” na “+”
trivijalni prsten
prsten koji se sastoji od samo 1 elementa, a taj element je neutralan i za zbrajanje i za množenje
Neka je (R,+,*) prsten, a a i b su invertibilni tada
a*b nije jednako 0
def. polje
1) (F,+,) je polje ako vrijedi:
- (F,+,) kom. prsten s jedincom
- svaki element iz F osim 0 je invertibilan
2) (F,+,*) je polje ako vrijedi:
- (F,+) Abelova grupa
- (F{0}, *) Abelova grupa
- distributivnost množenja prema zbrajanju
def. vektorski prostor nad poljem F
Neka je (V,+,) Abelova grupa, F polje te “” preslikavanje sa svojstvima:
- A(Bx) = (AB)x, A i B iz F, x iz V
- (A+B)X= Ax +Bx
- A(x+y)= Ax+Ay
- 1x=x
V je vektorski prostor nad poljem F ako
- (V,+) abelova grupa
- “*” preslikavanje sa svojstvima : neuralnog elementa, asocijativnost, distributivnosti množenja prema zbrajanju
neka je >V vektorski prostor nad F, tada vrijedi
- a*0=0v, a je vektor iz V
- A*0v=0v, A(alfa) je skalar iz F
neka je V vektorski prostor, A*a=0v akko
A=0 ili a=0v
svako polje F možemo shvatiti kao
vektorski prostor nad samim sobom
def. ljuska
Linearna ljuska S je skup svih lin. kombiacija vektora iz skupa S, oznaka: [S]
iz def. ljuske slijedi
- Skup S je podskup od Ljuske S koja je podskup od V
- ako je jedan skup podskup drugom onda je i njegova ljuska podskup ljuske drugog skupa
- ljuska od ljuske skupa S je ljuska od S
ako je V vekt.prostor nad F i S podskup od V tada
je ljuska [S] vektorski prosotr nad F
def. sustav izvodnica
Neka je V vektorski prostor nad F te G je podskup od V, ako je V=[G] onda za G kažemo da je sustav izvodnica
def. konačnogeneriranog vekt. prostora
vekt. prosotor koji sadrži barem 1 sustav izvodnica
skup od 1 vektora je lin.nez. skup akko
taj vektor nije nulvektor 0v
svaki podskup lin.nez. skupa je
lin.nez
svaki nadskup lin.zav. skupa je
lin.zav.
svaki skup koji sadrži 0v je
lin.zav.
neka je V vektorski prostor nad F, B neprazni skup koji je podskup od V, B je baza ako
- B lin.nez. skup
- b sustav izvodnica, [B]=V
tm. karakterizacija baza
skup vektora B je baza za v.p. V nad F ako za svaki x iz V postoje jedinstveni skalari iz F tako da se svaki vektor iz V može zapisati kao lin.komb. vektora iz B (svaki vektor se prikazuje jedinstveno
neka je V konačnogeneriran v.p. nad F te je G sustav izvodnica za V tada
G sadrži podskup koji je baza za V
Vekt. prostor je konačno dimenzionalan ako ima
konačnu bazu, u suprotnom je beskonačnodimenzionalan
svaki konačnogeneriran vekt. prostor je i
konačnodimenzionalan
dimenzija v.p. jednaka je
broju elemenata u bazi
steinitzov tm.
V je konačnodimenzionalan v.p. nad F, tada su svake 2 baze jednako brojne (ekvipotentne)
broj elemenata lin.nez. skupa uvijek ima
manje ili jednako broju dimenzije v.p.
svaki lin.nez. skup konačnodimenzionalnog vektorskog prostora sadržan je
u nekoj bazi prostora
def. potprostora
neka je V v.p. nad F te neka je skup L je podskup od V. L je potprostor ako je i on sam v.p. nad istim poljem i s istim operacijama
kako najjednostavnije dokazati da je neki skup potprosotor
provjeriti zatvorenost zbrajanja i zatvorenost množenja
neka je V v.p. nad F te je njegova dimV=n, a L je potprostor od V onda
je L konačnodim. te dimL je jednaka ili mnaja od dimV
ako je L potprostor od V i dimV=dimL tada
su L i V isti prostor
neka su M i L potprostori od V tada je njihov presjek
također potprostor od L
presjek potprostora nekog v.p. ne može biti
prazan skup
neka su L i M potprosotri od V, suma L i M definira se kao
ljuska unije potprostora L i M
L+M = [LUM]
ljuska nekog skupa je _____________ potprostor koji sadrži taj skup
najmanji
dim (L+M) =
dimL + dimM - dim(presjek od M i L)
kada je suma potprostora direktna
kada je prejek 2 potprostora jednak 0v, tada je dim(L+M)=dimL + dimM
L+M=
{a+b, a iz L, b iz M)
karakterizacija direktne sume
L i M su potprostori od V, njihova suma je direktna ako:
za svaki x iz L+M postoje jedinstveni a iz L i B iz M t.d.
x=a+b
neka je L potprostor od V, tada postoji potprostor M t.d.
L+M=V (M zovemo direktni komplement)
ako L sadrži 0v njegov direktni komplement nije
jedinstven
skup svih matrica tipa m,n
je vektorski prostor
def. matrice
neka su m i n prirodni brojevi, preslikavanje A:{1,…,m}X{1,…,n} -> F
kvadratna matrica
m=n, tj. broj redaka je jednak broju stupaca, tada kažemo matrica reda n
jednakost matrica
matrice su jednake ako su istog tipa te a(i,j)=b(i,j)
baza za prosotor Mm,n(F)
skup B = {Ei,j ; i=1,..,m ; j=1,…,n}
matrica Ei,j čijoj su svi elementi jednaki 0 osim onog na presjeku i-tog retka i j-tog stupca
neke posebne matrice
- retčana - ima samo 1 redak
- stupčana - ima samo 1 stupac
- dijagonalna
- skalarna - jedinična pomnožena sa skalarom
- gornjetrokutasta
- donjetrokutasta
transponiranje matrice
zamjena redaka sa stupcima
simetrična matrica
kad je matrica jednaka svojoj transponiranoj
antisimetrična matrica
kad je matrica jednaka svojoj - transponiranoj
skup svih matrica reda n je direktan komplement
od skupa svih antisimetričnih matrica reda n, tj.
Sn+An=Mn(R)
ulančane matrice
matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B
umnožak ulančanih matrica
Am,n * Bn,p = Cm,p
je li množenje matrica komutativno
NE!
svojstva množenja matrica
asocijativnost, kvaziasocijativnost, 2 vrste distributivnosti, transponiranje umnoška matrica mijenja pozicije
def. regularna ili invertibilna matrica
matrica A je regularna ako postoji matrica B istog reda kao A t.d. je
AB=BA=I (jedinična matrica)
matrice koje nisu invertibilne zovemo
neinvertibilne ili singularne
inverz regularne matrice je
jedinstven!
da bi umnožak 2 matrice bila regularna matrica…
2 matrice koje se množe moraju biti regularne
(A*B)^{-1} =
B^-1 * A^-1
skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čine
grupu
skup svih regularnih matrica čine
grupu
skup svih regularnih matrica označavamo s
GL(n,F)
kako možemo napisati matricu A
A = [a_ij]
elementarne transformacije
- zamjena 2 retka/stupca
- množenje stupca/retka sa skalarom lambda koji nije 0
- 1 retku/stupcu pridodajemo drugi pomnožen sa skalarom
def. elementarna matrica
matrica dobivena 1 elementarnom transformacijom nad jediničnom matricom
ako smo obavili elementarnu transformaciju nad retkom oznaku za el.transf. pišemo
lijevo od matrice
ako smo obavili el.transf. nad stupcem oznaku za el.transf. pišemo
desno od matrice
oznaka za zamjenu redaka/stupaca
H_ij
oznaka za množenje retka/stupca sa skalarom
G_i,&
oznaka za množenje j-tog retka/stupca sa skalarom i dodavanje njega i-tom retku/stupcu
F_ij,&
sve elementarne matrice su
regularne, njihov inverz je također elementarna matrica
def. ekvivalentne matrice
matrice A i B su međusobno ekvivalentne ako matricu B mogu dobiti primjenom el.transf. nad matricom A , pišemo: A~B
realcija ekvivalentnosti je
relacija ekvivalencije
dokazi za relaciju ekvivalencije
- refleksivnost - matrica A je sama sebi ekvivalentna
- simetričnost - ako se B može dobiti iz A onda se A može dobiti iz B
- tranzitivnost - ako se c može dobiti iz b i b se može dobiti iz a onda se c može dobiti iz a
def. rang matrice
neka je A kvadr. matrica te neka je S stupčana reprezentacija matrice A. Rang od A je dimenzija potprostora S
ako je matrica A’ dobivena el.transf. po stupcima matrice A onda
r(A’)=r(A)
rang nulmatrice je jednak
nuli
rang dvije matrice jednak je u 2 slučaja
- druga matrica je transponirana
- dvije matrice ekvivalentne
kanonska matrica
svaka matrica ranga r može se dovesti do svoje kanonske matrice ranga r
matrica i njezina kanonska matrica su međusobno
ekvivalentne
rang regularne matrice =
broju n (maks rang)
umnožak dvije regularne matrice reda n je
regularna matrica reda n
def. linearna jednadžba s n nepozanica
neka je n prirodan broj, lin. jedn. s n nepoznanica nad poljem F je svaka jedn. oblika:
a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b
zapis sustava lin. jedn
A*X=B
ima li homogoeni sustav A*X=0 rješenja?
uvijek ima rj.
Kronecker-Capellijev tm.
sustav A*X=B je rješiv ako rang matrice A je jednak rangu proširene matrice (A|B)
sustav AX=B ima jedinstveno rješenje ako
r(A)=r(Ap)=n (n je broj nepoznanica)
kada su 2 sustava ekvivalentna
kad imaju jednak nepoznanica i isti skup rješenja
primjenom el. tranf. nad retcima proširene matrice dobivamo sustav lin. jedn. _____________ početnom
ekvivalentan
dim H (skup svih rješenja homogenog sustava) =
n-r ( broj nepoznanica - rang)
što označava Sn u determinanti
skup svih permutacijs
što označava sigma u determinanti
sumo po svim permutacijama iz grupe Sn
što ounačava signp u det.
predznak permutacije {-1,1}
inverzija permutacije p
je par (i,j) za koji vrijedi i<j te p(i)>p(j)
kako se računa predznak permutacije
-1 na broj inverzija u permutaciji
jedina permutacija kojoj je broj inverzija jednak nula je
identiteta
svojstva sign-a
- sign(p kompozicija q) = signp * signq
- signp = signp^-1
ako matrica ima nulredak/nulstupac det je jednaka
0
ako je matrica gornje/donje trokutasta det. je jednaka
umnošku elemenata na glavnoj dijagonali
koliko iznosi determinanta matrice kojoj su 2 retka/stupca ista
0
det(&*A)=
&^n * det(A9
ekvivalentne matrice obje imaju kakvu determinantu
ili su obje jednake 0 ili ni jedna nije jednaka 0
matrica je regularna ako je njena det=
svemu osim 0
ako je A regularna matrica (2 svojstva)
- det. nije jednaka 0
- rang je maksimalan, tj. jednak je n (red)
Binet-Cauchyev tm.
det(AB)=det(A)det(B)
u slučaju dijagonalnih matrica Binet-Cauchyev tm.
vrijedi
determinante 2 ekvivalentne matrice
- detB=-detA za zamjenu retka stupca
- detB= & * detA za množenje nekog retka/ stupca s &
- detB=detA za pribrajanje nekog retka/stupca pomnoženog s & nekom drugom retku/stupcu
def. minora
determinanta koja nastaje uklanjanjem i-tog stupca i j-tog retka iz matrice A (koja je kvadratna)
def. adjunkta matrice
transponirana matrica algebarskih komplemenata matrice A
det(A^-1)= 1/detA
A^-1=
1/detA * adjunkta matrice
kada je sustav Cramerov
sustav AX=B je Cramerov ako je A regularna matrica, tj. kvadratna matrica punog ranga
