Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

2. semestar > Linearna algebra > Flashcards

Linearna algebra Flashcards

1
Q

operacije s vektorima

A

zbrajanje, množenje skalarom, strukturno množenje i vektorsko množenje

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

svojstva zbrajanja vektora

A

zatvorenost, komutativnost, asocijativnost, neutralni elemnt nulvektor, suprotan vektor

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

def. grupoid

A

Neka je S neprazan skup i neka je Q (zatvorena) binarna operacija/preslikavanje na skupu S. Grupoid je uređeni par (s,Q)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

primjer grupoida

A

(R,+), (N,+), (C,+)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Def. grupoida

A

(s, *) je (komutativni) grupoid ako svaka 2 elementa iz S komutiraju

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

def. polugrupa

A

(S, *) je (komutativna) polugrupa ako je (komutativna) binarna operacija asocijativna za svaki element iz S

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

def. grupoid

A

(s,) je grupoid ako postoji element iz S koji je neutralan, tj. xe=e*x=x za svaki x iz S

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

polugrupu s neutralnim elementom zovemo

A

monoid ili polugrupa s jedinicom

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

neutr. element u aditivnoj strukuri zovemo

A

nula

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

neutr. element u multiplitivnoj strukturi zovemo

A

jedinica

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

ako neutralni element postoji on je

A

jedinstven

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

def. inverz

A

Neka je (s,) grupoid ako za x iz S postoji y iz S t.d. xy=y*x=neutr. el. kažemo da je y inverz od x, a x invertibilni element

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

inverz on invertibilnog elementa je uvijek

A

jedinstven

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

ako je x iz S invetribilan onda je njegov inverz

A

također invertibilan

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

zbroj 2 invertibilna elementa je

A

invertibilan

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

def. grupa

A

monoid u kojem je svaki element invertibilan, tj. svaki element ima svog inverza koji je unutar istog skupa

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

def. abelova grupa

A

grupa kojoj je operacija komutativna

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

svojstva grupe

A
  • zatvorenost
  • asocijativnost
  • neutralni element
  • invertibilni element i njegov inverz
  • komutativnost
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čini

A

grupu

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

tm. o dijeljenju s ostatkom

A

za a koji je cijeli broj, m koji je prirodan broj postoje jedinstveni q i r koi su cijeli brojevi t.d. je
a= m*q + r ; r je ostatak

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

def. prsten

A

Neka je R neprazan skup te “+” i “*” binarne operacije. Tada je (R, + , *) prsten ako :
- (R, +) abelova grupa
- (R, ) polugrupa
- vrijedi distributivnost operacije “” na “+”

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

trivijalni prsten

A

prsten koji se sastoji od samo 1 elementa, a taj element je neutralan i za zbrajanje i za množenje

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Neka je (R,+,*) prsten, a a i b su invertibilni tada

A

a*b nije jednako 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

def. polje

A

1) (F,+,) je polje ako vrijedi:
- (F,+,) kom. prsten s jedincom
- svaki element iz F osim 0 je invertibilan
2) (F,+,*) je polje ako vrijedi:
- (F,+) Abelova grupa
- (F{0}, *) Abelova grupa
- distributivnost množenja prema zbrajanju

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

def. vektorski prostor nad poljem F

A

Neka je (V,+,) Abelova grupa, F polje te “” preslikavanje sa svojstvima:
- A(Bx) = (AB)x, A i B iz F, x iz V
- (A+B)X= Ax +Bx
- A(x+y)= Ax+Ay
- 1x=x

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

V je vektorski prostor nad poljem F ako

A
  • (V,+) abelova grupa
  • “*” preslikavanje sa svojstvima : neuralnog elementa, asocijativnost, distributivnosti množenja prema zbrajanju
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

neka je >V vektorski prostor nad F, tada vrijedi

A
  • a*0=0v, a je vektor iz V
  • A*0v=0v, A(alfa) je skalar iz F
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

neka je V vektorski prostor, A*a=0v akko

A

A=0 ili a=0v

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

svako polje F možemo shvatiti kao

A

vektorski prostor nad samim sobom

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

def. ljuska

A

Linearna ljuska S je skup svih lin. kombiacija vektora iz skupa S, oznaka: [S]

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

iz def. ljuske slijedi

A
  • Skup S je podskup od Ljuske S koja je podskup od V
  • ako je jedan skup podskup drugom onda je i njegova ljuska podskup ljuske drugog skupa
  • ljuska od ljuske skupa S je ljuska od S
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

ako je V vekt.prostor nad F i S podskup od V tada

A

je ljuska [S] vektorski prosotr nad F

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

def. sustav izvodnica

A

Neka je V vektorski prostor nad F te G je podskup od V, ako je V=[G] onda za G kažemo da je sustav izvodnica

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

def. konačnogeneriranog vekt. prostora

A

vekt. prosotor koji sadrži barem 1 sustav izvodnica

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

skup od 1 vektora je lin.nez. skup akko

A

taj vektor nije nulvektor 0v

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

svaki podskup lin.nez. skupa je

A

lin.nez

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
37
Q

svaki nadskup lin.zav. skupa je

A

lin.zav.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
38
Q

svaki skup koji sadrži 0v je

A

lin.zav.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
39
Q

neka je V vektorski prostor nad F, B neprazni skup koji je podskup od V, B je baza ako

A
  • B lin.nez. skup
  • b sustav izvodnica, [B]=V
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
40
Q

tm. karakterizacija baza

A

skup vektora B je baza za v.p. V nad F ako za svaki x iz V postoje jedinstveni skalari iz F tako da se svaki vektor iz V može zapisati kao lin.komb. vektora iz B (svaki vektor se prikazuje jedinstveno

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
41
Q

neka je V konačnogeneriran v.p. nad F te je G sustav izvodnica za V tada

A

G sadrži podskup koji je baza za V

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
42
Q

Vekt. prostor je konačno dimenzionalan ako ima

A

konačnu bazu, u suprotnom je beskonačnodimenzionalan

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
43
Q

svaki konačnogeneriran vekt. prostor je i

A

konačnodimenzionalan

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
44
Q

dimenzija v.p. jednaka je

A

broju elemenata u bazi

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
45
Q

steinitzov tm.

A

V je konačnodimenzionalan v.p. nad F, tada su svake 2 baze jednako brojne (ekvipotentne)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
46
Q

broj elemenata lin.nez. skupa uvijek ima

A

manje ili jednako broju dimenzije v.p.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
47
Q

svaki lin.nez. skup konačnodimenzionalnog vektorskog prostora sadržan je

A

u nekoj bazi prostora

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
48
Q

def. potprostora

A

neka je V v.p. nad F te neka je skup L je podskup od V. L je potprostor ako je i on sam v.p. nad istim poljem i s istim operacijama

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
49
Q

kako najjednostavnije dokazati da je neki skup potprosotor

A

provjeriti zatvorenost zbrajanja i zatvorenost množenja

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
50
Q

neka je V v.p. nad F te je njegova dimV=n, a L je potprostor od V onda

A

je L konačnodim. te dimL je jednaka ili mnaja od dimV

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
51
Q

ako je L potprostor od V i dimV=dimL tada

A

su L i V isti prostor

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
52
Q

neka su M i L potprostori od V tada je njihov presjek

A

također potprostor od L

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
53
Q

presjek potprostora nekog v.p. ne može biti

A

prazan skup

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
54
Q

neka su L i M potprosotri od V, suma L i M definira se kao

A

ljuska unije potprostora L i M
L+M = [LUM]

55
Q

ljuska nekog skupa je _____________ potprostor koji sadrži taj skup

A

najmanji

56
Q

dim (L+M) =

A

dimL + dimM - dim(presjek od M i L)

57
Q

kada je suma potprostora direktna

A

kada je prejek 2 potprostora jednak 0v, tada je dim(L+M)=dimL + dimM

58
Q

L+M=

A

{a+b, a iz L, b iz M)

59
Q

karakterizacija direktne sume

A

L i M su potprostori od V, njihova suma je direktna ako:
za svaki x iz L+M postoje jedinstveni a iz L i B iz M t.d.
x=a+b

60
Q

neka je L potprostor od V, tada postoji potprostor M t.d.

A

L+M=V (M zovemo direktni komplement)

61
Q

ako L sadrži 0v njegov direktni komplement nije

A

jedinstven

62
Q

skup svih matrica tipa m,n

A

je vektorski prostor

63
Q

def. matrice

A

neka su m i n prirodni brojevi, preslikavanje A:{1,…,m}X{1,…,n} -> F

64
Q

kvadratna matrica

A

m=n, tj. broj redaka je jednak broju stupaca, tada kažemo matrica reda n

65
Q

jednakost matrica

A

matrice su jednake ako su istog tipa te a(i,j)=b(i,j)

66
Q

baza za prosotor Mm,n(F)

A

skup B = {Ei,j ; i=1,..,m ; j=1,…,n}

matrica Ei,j čijoj su svi elementi jednaki 0 osim onog na presjeku i-tog retka i j-tog stupca

67
Q

neke posebne matrice

A
  • retčana - ima samo 1 redak
  • stupčana - ima samo 1 stupac
  • dijagonalna
  • skalarna - jedinična pomnožena sa skalarom
  • gornjetrokutasta
  • donjetrokutasta
68
Q

transponiranje matrice

A

zamjena redaka sa stupcima

69
Q

simetrična matrica

A

kad je matrica jednaka svojoj transponiranoj

70
Q

antisimetrična matrica

A

kad je matrica jednaka svojoj - transponiranoj

71
Q

skup svih matrica reda n je direktan komplement

A

od skupa svih antisimetričnih matrica reda n, tj.
Sn+An=Mn(R)

72
Q

ulančane matrice

A

matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B

73
Q

umnožak ulančanih matrica

A

Am,n * Bn,p = Cm,p

74
Q

je li množenje matrica komutativno

A

NE!

75
Q

svojstva množenja matrica

A

asocijativnost, kvaziasocijativnost, 2 vrste distributivnosti, transponiranje umnoška matrica mijenja pozicije

76
Q

def. regularna ili invertibilna matrica

A

matrica A je regularna ako postoji matrica B istog reda kao A t.d. je
AB=BA=I (jedinična matrica)

77
Q

matrice koje nisu invertibilne zovemo

A

neinvertibilne ili singularne

78
Q

inverz regularne matrice je

A

jedinstven!

79
Q

da bi umnožak 2 matrice bila regularna matrica…

A

2 matrice koje se množe moraju biti regularne

80
Q

(A*B)^{-1} =

A

B^-1 * A^-1

81
Q

skup svih invertibilnih elemenata u monoidu čine

A

grupu

82
Q

skup svih regularnih matrica čine

A

grupu

83
Q

skup svih regularnih matrica označavamo s

A

GL(n,F)

84
Q

kako možemo napisati matricu A

A

A = [a_ij]

85
Q

elementarne transformacije

A
  • zamjena 2 retka/stupca
  • množenje stupca/retka sa skalarom lambda koji nije 0
  • 1 retku/stupcu pridodajemo drugi pomnožen sa skalarom
86
Q

def. elementarna matrica

A

matrica dobivena 1 elementarnom transformacijom nad jediničnom matricom

87
Q

ako smo obavili elementarnu transformaciju nad retkom oznaku za el.transf. pišemo

A

lijevo od matrice

88
Q

ako smo obavili el.transf. nad stupcem oznaku za el.transf. pišemo

A

desno od matrice

89
Q

oznaka za zamjenu redaka/stupaca

A

H_ij

90
Q

oznaka za množenje retka/stupca sa skalarom

A

G_i,&

91
Q

oznaka za množenje j-tog retka/stupca sa skalarom i dodavanje njega i-tom retku/stupcu

A

F_ij,&

92
Q

sve elementarne matrice su

A

regularne, njihov inverz je također elementarna matrica

93
Q

def. ekvivalentne matrice

A

matrice A i B su međusobno ekvivalentne ako matricu B mogu dobiti primjenom el.transf. nad matricom A , pišemo: A~B

94
Q

realcija ekvivalentnosti je

A

relacija ekvivalencije

95
Q

dokazi za relaciju ekvivalencije

A
  • refleksivnost - matrica A je sama sebi ekvivalentna
  • simetričnost - ako se B može dobiti iz A onda se A može dobiti iz B
  • tranzitivnost - ako se c može dobiti iz b i b se može dobiti iz a onda se c može dobiti iz a
96
Q

def. rang matrice

A

neka je A kvadr. matrica te neka je S stupčana reprezentacija matrice A. Rang od A je dimenzija potprostora S

97
Q

ako je matrica A’ dobivena el.transf. po stupcima matrice A onda

A

r(A’)=r(A)

98
Q

rang nulmatrice je jednak

A

nuli

99
Q

rang dvije matrice jednak je u 2 slučaja

A
  • druga matrica je transponirana
  • dvije matrice ekvivalentne
100
Q

kanonska matrica

A

svaka matrica ranga r može se dovesti do svoje kanonske matrice ranga r

101
Q

matrica i njezina kanonska matrica su međusobno

A

ekvivalentne

102
Q

rang regularne matrice =

A

broju n (maks rang)

103
Q

umnožak dvije regularne matrice reda n je

A

regularna matrica reda n

104
Q

def. linearna jednadžba s n nepozanica

A

neka je n prirodan broj, lin. jedn. s n nepoznanica nad poljem F je svaka jedn. oblika:
a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b

105
Q

zapis sustava lin. jedn

A

A*X=B

106
Q

ima li homogoeni sustav A*X=0 rješenja?

A

uvijek ima rj.

107
Q

Kronecker-Capellijev tm.

A

sustav A*X=B je rješiv ako rang matrice A je jednak rangu proširene matrice (A|B)

108
Q

sustav AX=B ima jedinstveno rješenje ako

A

r(A)=r(Ap)=n (n je broj nepoznanica)

109
Q

kada su 2 sustava ekvivalentna

A

kad imaju jednak nepoznanica i isti skup rješenja

110
Q

primjenom el. tranf. nad retcima proširene matrice dobivamo sustav lin. jedn. _____________ početnom

A

ekvivalentan

111
Q

dim H (skup svih rješenja homogenog sustava) =

A

n-r ( broj nepoznanica - rang)

112
Q

što označava Sn u determinanti

A

skup svih permutacijs

113
Q

što označava sigma u determinanti

A

sumo po svim permutacijama iz grupe Sn

114
Q

što ounačava signp u det.

A

predznak permutacije {-1,1}

115
Q

inverzija permutacije p

A

je par (i,j) za koji vrijedi i<j te p(i)>p(j)

116
Q

kako se računa predznak permutacije

A

-1 na broj inverzija u permutaciji

117
Q

jedina permutacija kojoj je broj inverzija jednak nula je

A

identiteta

118
Q

svojstva sign-a

A
  • sign(p kompozicija q) = signp * signq
  • signp = signp^-1
119
Q

ako matrica ima nulredak/nulstupac det je jednaka

A

0

120
Q

ako je matrica gornje/donje trokutasta det. je jednaka

A

umnošku elemenata na glavnoj dijagonali

121
Q

koliko iznosi determinanta matrice kojoj su 2 retka/stupca ista

A

0

122
Q

det(&*A)=

A

&^n * det(A9

123
Q

ekvivalentne matrice obje imaju kakvu determinantu

A

ili su obje jednake 0 ili ni jedna nije jednaka 0

124
Q

matrica je regularna ako je njena det=

A

svemu osim 0

125
Q

ako je A regularna matrica (2 svojstva)

A
  • det. nije jednaka 0
  • rang je maksimalan, tj. jednak je n (red)
126
Q

Binet-Cauchyev tm.

A

det(AB)=det(A)det(B)

127
Q

u slučaju dijagonalnih matrica Binet-Cauchyev tm.

A

vrijedi

128
Q

determinante 2 ekvivalentne matrice

A
  • detB=-detA za zamjenu retka stupca
  • detB= & * detA za množenje nekog retka/ stupca s &
  • detB=detA za pribrajanje nekog retka/stupca pomnoženog s & nekom drugom retku/stupcu
129
Q

def. minora

A

determinanta koja nastaje uklanjanjem i-tog stupca i j-tog retka iz matrice A (koja je kvadratna)

130
Q

def. adjunkta matrice

A

transponirana matrica algebarskih komplemenata matrice A

131
Q

det(A^-1)= 1/detA

A
132
Q

A^-1=

A

1/detA * adjunkta matrice

133
Q

kada je sustav Cramerov

A

sustav AX=B je Cramerov ako je A regularna matrica, tj. kvadratna matrica punog ranga

2. semestar (6 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions