Le distribuzioni di probabilità

Question 1

Cosa è un modello probabilistico?

Answer 1

I modelli probabilistici sono funzioni matematiche che possono dipendere da uno o più parametri, ossia da costanti numeriche. Al variare di tali parametri cambia la forma della
funzione.

Question 2

A cosa è utile la conoscenza e lo studio di un modello probabilistico?

Answer 2

● consente di descrivere e rappresentare in maniera sintetica e schematica la distribuzione di una variabile casuale

● calcolare le probabilità in base alla funzione matematica , una volta scelti i valori dei parametri.

Question 3

Quali sono i modelli probabilistici più noti per variabili casuali discrete?

Answer 3

● distribuzione Uniforme
● distribuzione di Bernoulli
● distribuzione Binomiale

Question 4

Quali sono i modelli probabilistici più noti per variabili casuali continue?

Answer 4

● distribuzione Uniforme
● distribuzione Normale
● distribuzione t di Student
● distribuzione Chi quadrato

Question 5

Che valori può assumere una variabile casuale uniforme discreta?

Answer 5

Una variabile casuale Uniforme discreta 𝑋 può assumere solo i valori interi compresi in un certo intervallo , tutti con la stessa probabilità di verificarsi.

Question 6

Qual’è la probabilità per una variabile uniforme discreta X di uscire?

Answer 6

P(X)= 1/s
dove s è il numero di valori che la v.c. può assumere

Question 7

Qual’è la formula del valore atteso per una distribuzione uniforme discreta?

Answer 7

E(X)= a + (s-1)/2
dove a è il valore più piccolo
s il numero di valori che la v.c. può assumere

Question 8

Qual’è la formula della varianza per una distribuzione uniforme discreta?

Answer 8

V(X)= (s^2 -1)/12

pg 12

Question 9

Quali valori può assumere la variabile casuale di Bernoulli?

Answer 9

La variabile casuale d bernoulli può ottenere il valore 1 per il successo e il valore 0 per l’insuccesso

Question 10

Quale è la formula della funzione di probabilità con Bernoulli?

Answer 10

La funzione di probabilità è definita da:
pag 13

Question 11

La variabile casuale Binomiale come è formata?

Answer 11

è formata dalla somma di n variabili casuali di Bernoulli

Question 11

Quale è la formula del valore atteso e della varianza in Bernoulli?

Answer 11

E(X)= π
V(X)= π(1-π)

Question 12

Quali sono gli elementi che contraddistinguono un esperimento di tipo binomiale?

Answer 12

● ripetizione dell’esperimento Bernoulliano

● costanza della probabilità di successo ad ogni prova

● indipendenza delle prove

Question 13

Quale è la formula della probabilità per una distribuzione binomiale?

Answer 13

Pg 16

Question 14

Quale è la formula del valore atteso e della varianza per una distribuzione binomiale?

Answer 14

E(X)= nπ
V(X)= nπ(1-π)

Question 15

Come è la funzione di densità per una variabile uniforme continua X?

Answer 15

La funzione di densità è data da:
pg 19

Question 16

Quale è la formula del valore atteso e della varianza per variabili uniformi casuali continue

Answer 16

E(X)= (a+b)/2
V(X)= (b-a)^2 /12

Question 17

Quale è la formula della distribuzione normale?

Answer 17

pg 20

Question 18

Quali sono le 7 caratteristiche della distribuzione normale’?

Answer 18

● forma campanulare , simmetrica e centrata nella media

● dipende da due parametri , 𝜇 e 𝜎

● crescente nell’intervallo (−∞, 𝜇] e decrescente nell’intervallo [𝜇,+∞)

● media (valore atteso), moda e mediana coincidono

● unimodale

● due punti di flesso, in 𝑥 − 𝜎 e 𝑥 + 𝜎

● ha come asintoto l’asse 𝑥
𝑓(𝑥) = → 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → ±∞

Question 19

Come si calcola il valore atteso e la varianza per v.c. normale?

Answer 19

Valore atteso = media
Varianza = varianza

Question 20

Quali sono gli effetti della distribuzione normale su cambio media e cambio varianza?

Answer 20

Se cambia la media trasla
Se aumenta la varianza diventa sempre più piatta

Question 21

Quale è la formula di zeta?

Answer 21

pag 22

Question 22

Quale è la formula della distribuzione normale standardizzata?

Answer 22

pg 22

Question 23

Cosa dice il teorema del limite centrale per somma di variabili casuali?

Answer 23

►Sia 𝑋 1 ,𝑋 2 ,𝑋 3 ,…,𝑋𝑛 una successione di variabili casuali indipendenti e identicamente
distribuite (𝑖𝑖𝑑), con media 𝜇 e varianza 𝜎² finite, la variabile casuale ottenuta dalla
somma , indicata con 𝑆𝑛, converge in distribuzione , per 𝒏→∞, alla variabile casuale
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑖𝑧𝑧𝑎𝑡𝑎

Question 24

Il teorema del limite centrale: media di variabili casuali?

Answer 24

► Sia 𝑋 1 ,𝑋 2 ,𝑋 3 ,…,𝑋𝑛 una successione di variabili casuali indipendenti e identicamente
distribuite (𝑖𝑖𝑑), con media 𝜇 e varianza 𝜎² finite, la variabile casuale ottenuta dalla media
𝑋𝑛, converge in distribuzione, per 𝒏→∞, alla variabile casuale

Question 25

Quale è la formula di zeta per il teorema del limite centrale per la somma?

Answer 25

Pag 30

Question 26

Quale è la formula di zeta per il teorema del limite centrale per la somma?

Answer 26

Pag 30

Question 27

Quando una v.c. discreta binomiale ha forma della distribuzione simmetrica?
Cosa succede quando n è particolarmente grande?

Answer 27

Quando ha π=0,5

La distribuzione diventa di forma normale

Question 28

Quando si dice che una successioni di variabili casuali converge in distribuzione a una variabile casuale X?

Answer 28

Una successione di variabili casuali X1, X2… Xn con funzioni di ripartizione F1(X), F2(X)….. Fn(X) si dice che converge in distribuzione a una variabile casuake se per tutti i punti per cui F(X) è continui si ha che il limite di Fn(X) per n=infinito è uguale a F(X)