Kapitel 5 - Lineare Algebra 1 Flashcards
Matrizen:
Gleichheit
Matizen:
Addition
Matrizen:
skalares Vielfaches
Matrizen:
Multiplikation
Matrizen:
Transponierte
Matrizen:
A quadratisch
A symmetrisch
Was ist eine
Nullmatrix
Einheitsmatrix
Diagonalmatrix
Für eine (n, n) Matrix
Hauptdiagonalelemente
Nebendiagonalelemente
Wann ist eine Lineares Gleichungssystem homogen und wann inhomogen?
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
π Permutation von {1,….,n} :<=>
π Permutation von {1,….,n} :<=> π ist bijektive Abbildung von {1,….,n} auf {1,….,n}.
Sei π Permutation von {1,….,n}
Was ist die Inversionen von π
Was ist der Charakter von π
Die Determinante einer nxn Matrix A wird defniert und bezeichnet durch
det A = |A| =
Jede Permutation π ∈ Sn gilt:
Für jede quadratische Matrix gilt: |A| =
|A| = |A^T|
Für jede Permutation π ∈ Sn und für alle i,j ∈ {1,….,n}, i ≠ j gilt:
Entsteht die Matrix A’ aus A durch Vertauschen zweier Zeilen, so gilt:
|A’| = -|A|
Ist in der Matrix A eine zeile das Vielfache einer anderen Zeile, so gilt:
|A| = 0
Minor einer (n, n) Matrix
Sei A eine (n,n)-Matrix. Der Minor von aij ist diejenige (n-1,n1)-Matrix
Mij , die aus A durch Streichen von Zeile i und Spalte j entsteht.
Seien in der (n,n)-Matrix A die Elemente ai1,…. ,ai,j-1; ai,j+1;….,ain gleich 0. Dann gilt:
Adjunkten von aij: Aij :=
Für die Vandermondesche Determinante an der Stellen x1,…,xn gilt:
Entwicklungsformel für |A|:
Cramersche Regel
Produktsatz
Die Matrix A’ heißt invers zur (n,n)-Matrix A, falls
A regulär :<=>
A singulär :<=>
regulär: |A| ≠ 0
singulär: |A| = 0
Rang von A=rg(A):=
Rang von A=rg(A):=größte Ordnung eines Minors von A, dessen Determinante ungleich 0 ist.
Es gilt rg(T) =
Es gilt rg(T) = r, falls t11; t22;…. ; trr ≠ 0
Losbarkeitskriterium fur ein LGS
Das LGS Ax = b hat (mindestens)
eine Lösung :<=> rg(A) = rg(A|b), d.h. Rang der Koezientenmatrix=
Rang der erweiterten Koezientenmatrix.
Zwei LGS Ax = b und A0x = b0 heien aquivalent :<=>
Die Matrix A’ entstehe aus A durch Vertauschen der i-ten und
j-ten Spalte
Das LGS Ax = b hat genau eine Lösung <=>
rg(A) = rg(A|b) = n
