Kapitel 4 - Differentialrechnung Flashcards
Definiere die e-Umgebungen
Grenzwerte an uneigentlichen Stellen undendlich und -unendlich sind wie definiert?
Was gilt:
f ist stetig an der Stelle a :<=>
f ist rechtsseitig stetig an der Stelle a :<=>
f ist linksseitig stetig an der Stelle a :<=>
f ist stetig auf der Menge M :<=>
∀ a ∈ M: f ist stetig and der Stelle a
Definiere globale Minimalstelle und Maximalstelle
x* heißt globale Minimalstelle von f auf M :<=> ∀ x ∈ M: f(x*) <= f(x) f(x*) heißt dann globales Minimum
x* heißt globale Maximalstelle von f auf M :<=> ∀ x ∈ M: f(x*) >= f(x) f(x*) heißt dann globales Maximum
Definiere globale Extremalstelle von f auf M.
Definiere Nustelle von f
Satz von Weierstraß
Es exisistieren eine globale Minimalstelle xmin und eine globale Maximalstelle xmax von f auf I (Satz von Weierstra).
Zwischenwertsatz
Fur alle alpha ∈ (f(xmin); f(xmax)) gibt es ein x* ∈ (a; b), sodass f(x) = alpha ist (Zwischenwertsatz).
Satz von Bolzano
Gilt f(a) * f(b) < 0, so gibt es in (a; b) eine Nullstelle von f (Satz von Bolzano).
f ist auf dem Intervall I = [a; b] konvex :<=>
f ist auf dem Intervall I = [a; b] konkav :<=>
Regula falsi
hebbare Unstetigkeit:<=>
Unendlichkeitsstelle
Sprungstelle
f ist an der Stelle xo differenzierbar :<=>
Wann ist f stetig differenzierbar?
Differenzieren:
- Produktregel
- Quotientenregel
- Kettenregel
- Umkehrregel
Produktregel:
(f*g)’ = f’ * g + f * g’
Quotientenregel:
(f/g)’ = (f’ * g - f * g’)/(g²)
Kettenregel:
(g(f(x0)))’ = g’(f(x0)) * f’(x0)
Umkehrregel:
(f^-1)’ (yo) = 1/(f’(xo))
Wie ist die Logarithmische Ableitung definiert?
Was ist das Newton-Verfahren?
Satz von Rolle
(Satz von Rolle). Sei f stetig auf [a; b] und differenzierbar in
(a; b). Dann gilt:
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
(Mittelwertsatz der Differentialrechnung). Sei f stetig auf [a; b]
und differenzierbar auf (a; b). Dann gilt:
Satz von Taylor mit Restglied von Lagrange
(Satz von Taylor mit Restglied von Lagrange). Sei f in einer
Umgebung von x0 (n + 1)-mal differenzierbar. Dann gibt es für alle x aus dieser Umgebung ein von x abhängiges Θ1 ∈(0; 1), sodass
Satz von Taylor mit Restglied von Cauchy
(Satz von Taylor mit Restglied von Cauchy). Sei f in einer
Umgebung von x0 (n + 1)-mal differenzierbar. Dann gibt es für alle x aus dieser Umgebung ein von x abhängiges Θ2 ∈(0; 1), sodass
verallgemeinerte Binomialkoeffizient
Sei f differenzierbar auf (a,b). Dann gilt:
- f ist monoton wachsend auf (a; b) :<=>
- f ist monoton fallend auf (a; b) :<=>
Sei f differenzierbar auf (a,b). Dann gilt:
- f ist konvex auf (a,b) :<=>
- f ist konkav auf (a, b) :<=>
lokale Minimalstelle
lokale Maximalstelle
lokale Extremalstelle
Regel von l’Hospital
