Hullámtan Flashcards
RUGALMAS HULLÁM
- Anyagi részecskék rezgése?
- Típusok a terjedés iránya szerint?
A rugalmas közegben keltett deformáció térbeli terjedése. Tehát nem az anyagi részecskék terjednek, hanem a rezgésállapot (az anyagi részecskék közvetítésével).
• Az egyensúlyi helyzet körül rezegnek, tehát a rezgésállapot terjedése az energia és az impulzus terjedését jelenti.
— longitudinális hullám: terjedés iránya = rezgés iránya (folyadékokban és gázokban a nyíróerő hiányában csak ilyenek vannak, a deformáció nyomásváltozásban nyilvánul meg)
— transzverzális hullám: terjedés iránya (merőleges) rezgés iránya (polarizálható, azaz a rezgés iránya szabályozható)
Hullámok terjedési sebessége rugalmas közegben?
• Következmény longitudinális hullámoknál?
Transzverzális hullám:
A kis dm tömegű hullámhegy haladási sebessége a hullám terjedési sebessége. A két oldali feszítőerő (F) következtében az eredő erő a középpont fele mutat, így a darabka egy pillanatra körmozgást végez, amihez a feszítőerők biztosítják az eredő erőt.
c = √(σ/ρ), tehát minél feszesebb a kötél, annál gyorsabban terjed a rugalmas hullám.
F(eredő) = 2Fsin(dα/2) ≈ Fdα
dm = RdαAρ
F(eredő) = ma(cp) = RdαAρc^2/R = Fdα —> c = √(F/(A*ρ)) = √(σ/ρ)
Longitudinális hullám:
A rúd impulzusa megváltozik és az F erő hatására Δl = v*Δt-vel deformálódik kalapácsütésre. A Hooke-törvény és Newton II. alapján:
Az l = cΔt hosszúságú rúddarab Δl = vΔt-vel deformálódik rugalmasan, és FΔt erőlökés hatására megváltozik a rúddarabb impulzusa: ΔI = FΔt = mv
A Hooke-törvény alapján: Δl = (1/E)(F/A)l.
Együtt FΔt = ρAcΔtΔl/Δt —> c = √(E/ρ)
c = √(E/ρ) [szilárd] = √(K/ρ) [folyékony] = √(γ*p/ρ) [gáz], ahol γ az diabatikus kitevő.
• Rövid ideig tartő erőhatásra az impulzusváltozás nem terjed ki az egész rúdra, csak c*Δt távolságra.
HULLÁMFÜGGVÉNY
- Időbeli, térbeli periódus?
- Haladó hullámok?
Egyenes mentén terjedő hullám x helyen lévő anyagi pont t időpillanatbeli kitérése:
y(x,t) = Asin[ω(t – x/c) + φ0] = Asin[2π(t/T – x/λ) + φ0]
mivel az x = 0 helyen t időpontban keltett rezgésállapot csak Δt = x/c idővel később jelenik meg.
Az összefüggés transzverzális és longitudinális hullámoknál is érvényes; az utóbbi esetén a tengely mentén rezegnek a pontok.
- T = 2π/ω, λ = c*T
- A rugalmas közeg bármely pontja ugyanazokon a rezgésállapotokon megy át mint a forrás, azaz a rezgésállapot a deformáció terjedési sebességével végighalad a közegen.
HULLÁMEGYENLET
• Megoldása?
∂^2y/∂t^2 = c^2*∂^2y/∂x^2
Longitudinális hullámnál c^2 = E/ρ, transzverzálisnál c^2 = σ/ρ
• y(x,t) = A*sin[ω(t – x/c)] harmonikus fv.-ek
INTERFERENCIA
- Időben állandó interferenciakép kialakulása adott helyen?
- Koherens hullámok?
- Adott pontban észlelhető hullám így?
- Hullám hatásának intenzitása?
- Maximális gyengítés?
- Maximális erősítés?
A hullámok találkozásának jelensége. Eredménye az eredő rezgés, amit a két hullámbeli rezgésállapot szuperpozíciója (az amplitúdók meg a fáziskülönbség) ad meg.
• Feltétel: a Δφ = φ2 – φ1 fáziskülönbség időben állandó. Ekkor ω1 = ω2 = ω, λ1 = λ2 = λ.
• Két hullám koherens, ha interferenciaképesek, azaz állandó fáziskülönbséggel találkoznak.
• y = 2Acos(Δφ/2)sin[ω(t –(x1+ x2)/2c) + α] = A’sin[ω(t –(x1+ x2)/2c) + α], tehát a találkozási pontban észlelhetőhullám is szinuszos A’ amplitudóval, ami helytől függ.
• Mindig az amplitúdó négyzetével arányos.
• A’ = 0 —> cos(Δφ/2) = 0: Δφ = (2k + 1)π
Két résztvevő hullám kioltja egymást, ha Δφ = ω(x1–x2)/c = (2π/T)Δs/c = (2k+1)π —> Δs = (2k + 1)λ/2, azaz ha az útkülönbség a félhullámhossz páratlan számú többszöröse.
• |A’| = 2A —> cos(Δφ/2) = +–1: Δφ = 2kπ
Két résztvevő hullám maximálisan erősíti egymást, ha Δs = 2kλ/2, azaz ha az útkülönbség a félhullámhossz páros számú többszöröse.
ÁLLÓHULLÁM
- Interferencia szabad vég esetén?
- Interferencia rögzített vég esetén?
- Többszörös visszaverődés?
- Tartós állóhullámok?
- Sajátfrekvencia?
A hullámok úgy interferálnak, hogy csomópontok és duzzadóhelyek alakulnak ki.
• y = y1 + y2 = Asin[2π(t/T–x/λ)] + Asin[2π(t/T–(2k–x)/λ)] = 2Acos[2π(l–x)/λ]sin[2π(t/T–l/λ)] —> A = 2Acos[2π(l–x)/λ]
Azonos fázisban jön vissza.
Teljes kioltás: A* = 0, ahol Δs = 2l–x–x = (2k+1)λ/4 —> l – x = (2k + 1)λ/4 (csomópontok)
Maxiális erősítés: A* = max, ahol Δs = 2l–2x = 2kλ/2 —> l – x = 2kλ/4 (duzzadóhelyek)
• y2 = Asin[2π(t/T–(2l–x)/λ)+π] —> a fáziskülönbség: Δφ = (2π/λ)Δs + π
π fázisugrás történik.
Teljes kioltás: A* = 0, ha Δφ = (2k+1)π —> Δs = 2kλ/2 —> l – x = 2kλ/4 (csomópontok)
Maxiális erősítés: A = max, ha l – x = (2k + 1)λ/4 (duzzadóhelyek)
• Így alakulhat ki a kötélen állóhullám. Két szomszédos csomópont közötti pontok azonos fázisban rezegnek.
• Kétszeresen rögzített/szabad végnél: l = 2kλ/4
Vegyes végeknél: l = (2k + 1)*λ/4
• Adott k esetén f(k) = c/λ(k), ami a rendszer sajátfrekvenciája, azaz minden olyan rezgésszám, ami mellett állóhullámok alakulhatnak ki.
Energiaviszonyok rugalmas hullámtérben?
- A két fajta energia fázisa? Miért?
- Energiasűrűség? T periódusra véve átlagosan?
Az összes mechanikai energia a deformációból származó potenciális (ez esetben rugalmas, mivel a rugalmas munka potenciális energiaként halmozódik fel) és a részecskék mozgásából adódó kinetikus energia összege.
E_p = 1/2E(Y)ε^2ΔV = 1/2E(Y)(∂ξ/∂x)^2ΔV
E_m = 1/2mv^2 = 1/2ρΔV(∂ξ/∂t)^2
És ξ(x,t) = Asin[ω(t–x/c)]
—> E = E_p + E_k = ρA^2ω^2cos^2[ω(t – x/c)]*ΔV
Tehát a térfogatelem energiája az időnek és a helynek szintén periodikus fv.-e.
• A potenciális és mozgási energia a hullámtérben azonos fázisban változik, mivel a legnagyobb deformációjú helyeken egyidejűleg a részecskék sebessége is maximális és fordítva.
• u = E/ΔV = ρA^2cos^2[ω(t – x/c)]
Átlagosan: u[felülvonás] = 1/2ρA^2*ω^2 (mivel a cos^2(izé) időbeli átlaga 1/2)
DOPPLER-EFFEKTUS
- Forrás közeledik a megfigyelőhöz?
- Forrás távolodik a megfigyelőtől?
- Megfigyelő közeledik a forráshoz?
- Megfigyelő távolodik a forrástól?
Mozgó hulllámforrásnál az észlelt frekvencia eltér a kibocsátottól.
- λ’ = λ – Tv —> f’ = f1/(1 – v/c)
- λ’ = λ + Tv —> f’ = f1/(1 + v/c)
- T’ = λ/(c + v) —> f’ = f*(1 + v/c)
- T’ = λ/(c – v) —> f’ = f*(1 – v/c)
