Folyadékok és gázok áramlása

Question 1

Folyadékelem mozgásegyenlete?

Answer 1

Folyadék belsejében tetszőleges folyadékelem mozgását dinamikailag az adott pontbeli nyomás és a részecskére ható nehézségi erő határozza meg. Az egyes elemekre ható erők komponensei az elem adott tengelyre merőleges lapjára ható nyomásból származik, dx pedig pici, így a deriválttal közelíthető:

ΣF = ma = mdv/dt
Adxρ* dv(x)/dt = [p(x) – p(x+dx)]A = –dp/dxdxA
ρdv(x)/dt = –dp/dx
A többi komponensnél hasonlóan írható ez fel, így:
ρd/dt(v_xe(x)+v_ye(y)+v_ze(z)) = –(∂p/∂xe(x)+ ∂p/∂ye(y)+ ∂p/∂ze(z)) – ρge(z) —> ρdv/dt = –grad(p) + ρg (ha számít a gravitáció hatása is)

Question 2

KONTINUITÁSI EGYENLET

• Levezetés?
• Áramláserősség?

Answer 2

Változó keresztmetszetű áramláscsőben összenyomhatatlan folyadék stacionárius áramlására vonatkozó alakja: A1v1 = A2v2 = állandó. Tehát az áramlási sebességek fordítottan arányosak a keresztmetszetekkel.

• t időpontban Δt idő alatt: m1 = m1 —> ρ1V1 = ρ2V2 —> ρ1A1s1 = ρ2A2s2 —> ρ1A1v1Δt = ρ2A2v2Δt —> A1v1 = A2v2 = állandó
• Az adott keresztmetszeten egységnyi idő alatt átfolyt folyadék térfogatának számértékével egyezik meg: I = A*v, [I] = m^3/s

Question 3

BERNOULLI-EGYENLET

• v–p kapcsolat?
• h = állandó? v = 0?
• Toricelli-féle kiömlési törvény?
• Bunsen-féle kiömlési törvény?

Answer 3

Nyomás-sebesség összefüggés, stacionárius örvénymentes áramlásra érvényes. Az áramló folyadékra hat nehézségi erő, meg nyomóerők (és mivel súrlódásmentes az áramlás a belső erők munkája 0); ezeknek a munkáját fel lehet írni a munkatételből.
A nehézségi erő munkája: W1 = mg(h1–h2) = Vρg(h1–h2)
A nyomórerők munkája: W2 = F1s1–F2s2 = p1A1s1–p2A2s2 = p1V–p2V
Munkatétel: ΔE = W1 + W2 —> 1/2Vρv2^2 – 1/2Vρv1^2 = Vρgh1 – Vρgh2 + Vp1 – Vp2
Egyszerűsítve a térfogattal:
p1 + 1/2ρv1^2 + ρ1gh1= p2 + 1/2ρv2^2 + ρ2gh2 = állandó

• Az áramlási térben a sztatikai nyomáshoz viszonyítva a nyomás csökken, nagyobb sebességnél nagyobb mértékben.
• h = állandó: p+ 1/2ρv^2 = állandó
v = 0 (nyugvó folyadék): p + ρgh = állandó = p0 + ρgH
• Tartály nyílásán kiömlő folyadék sebessége akkora, mintha a folyadék a felső szint magasságától szabadon esett volna.
p0 + ρgh = p0 + 1/2ρv^2 —> v = √(2gh)
• A kezdeti többletnyomás eredményeként gáz áramlik ki:
p1 ≈ p0 + 1/2ρv^2 —> v = √(2(p1 – p0)/ρ)

Question 4

NEWTON-FÉLE SÚRLÓDÁSI TÖRVÉNY

• Viszkozitási együttható?
• Miért könnyebb lassan keverni a méz-szerű dolgokat?
• Nyugvó folyadék esetén?

Answer 4

Amikor a folyadék laminárisan áramlik és a folyadékrészek egymáshoz viszonyított sebességei nem nullák, a belső súrlódás már nem hanyagolható el. Így a sebesség változik a keresztmetszet mentén, azaz az áramlásra merőleges irányban a sebességnek gradiense van és fellép belső súrlódási erő.
F = ηAdv/dy, ahol A az egymáson elcsúszva áramló rétegek felszíne, dv/dy pedig az egymáson elcsúszó rétegek gradiense.

• A belső súrlódásra jellemző anyagi állandó, amely erősen hőmérsékletfüggő (η = η0* e^(Q/kT))
• Azért mert kisebb lesz a sebességgradiens, ami kisebb súrlódási erőt eredményez.
• A sebességgradiens közel nulla, tehát a belső súrlódás is megszűnik.

Question 5

Sebességeloszlás vékony csőben?

Answer 5

Stacionárius, lamináris áramlás esetén v(r) időfüggetlen, így az eredő erő is nulla. Az r sugarú, l hosszú folyadékoszlop két végére hat nyomóerő, illetve hat rá a belső súrlódási erő – ezek kiegyensúlyozzák egymást.
(p1–p2)πy^2 + η2πyldv/dy = 0 —> v(r) – v(0) = –(p1–p2)/(4ηl)r^2
Továbbá határfeltétel hogy a cső falánál v(R) = 0, így:
v(r) = (p1 – p2)/4ηl(R^2 – r^2), ami egy parabolikus sebességprofil, tehát a sebesség a cső közepétől mért távolsággal négyzetesen nő.

Question 6

HAGEN-POISEULLE-TÖRVÉNY

Answer 6

Megadja, hogy időegység alatt mekkora térfogatú folyadék áramlik át a cső adott keresztmetszetén.
dV/t = v(r)dA = (p1–p2)/(4ηl)(R^2–r^2)2πrdr
A kis térfogatelem leintegrálva az egész keresztmetszetre:
I = V/t = π(p1 – p2)/8ηlR^4
Tehát stacionárius áramlás esetén a cső keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramló folyadék térfogata egyenesen arányos a végek közötti nyomáskülönbséggel, a cső sugarának negyedik hatványával és a viszkozitással.

Question 7

STOKES-FÉLE ELLENÁLLÁSI TÖRVÉNY

Answer 7

Egy áramló folyékony közegbe tett golyó körül lamináris áramlás alakulhat ki, mivel a közeg belső súrlódása miatt a közeg a golyóra erőt fejt ki. Kisméretű csepp vagy golyó esetében ezt is figyelembe kell venni.
F = –6ηrv*π

Question 8

Turbulens áramlás?

Answer 8

Adott r sugár mellett nagy sebesség esetén vagy adott v mellett növelve a sugarat, az áramlás lamináris jellege megszűnik és az áramlás turbulenssé válik.

Question 9

REYNOLDS-SZÁM

• Minél nagyobb?
• Akadály esetén?
• Jelentősége (áramlások hasonlósági törvénye)?

Answer 9

A lamináris-turbulens átmenetet jellemző dimenzió nélküli szám (egy kritikus értékénél lesz turbulens), ami függ az áramlási cső keresztmetszetétől, az áramlás sebességétől, a közeg sűrűségétől és a viszkozitástól.
R = ρvr/η

• Annál előbb csap át a lamináris áramlás turbulensbe.
• A kritikus érték függ az akadály alakjától, pontosabban a homlokfelület valamelyik lineáris méretétől.
• Dinamikailag azonos áramlási viszonyok geometriailag hasonló testek körül akkor alakulhatnak ki, ha a két hasonló testre számított Reynolds-szám megegyezik.
ρ1v1r1/η1 = ρ2v2r2/η2

Question 10

KÖZEGELLENÁLLÁS

• k sebességfüggése?
• Miből adódik?

Answer 10

Az áramló közegben lévő testre ható áramlás irányú erő, azaz a közeg által kifejtett fékezőerő.
Laminárisnál: F = –kv
Turbulensnél: F = kAρv^2 = cA1/2ρv^2, ahol k az alakellenállási tényező és c = 2k, 1/2ρv^2 pedig a dinamikai nyomás.

• Addig konstans, amíg a sebességtől az erő négyzetesen függ, utána már k függeni fog a sebességtől, pontosabban a Reynolds-számtól.
• Lamináris áramlás esetén a súrlódásból, turbulens áramlásban főleg az akadály előtt és mögött uralkodó nyomáskülönbségből, illetve a súrlódó hatásból.

Question 11

DINAMIKAI FELHAJTÓERŐ

• Légerő?
• Repüléshez kedvező feltételek?
• Magnus-effektus?

Answer 11

A légerőnek az áramlásra merőleges vetülete (a párhuzamos meg a közegellenállás).
F(k) = C(x)A1/2ρv^2
F(f) = C(y)A1/2ρv^2, ahol a C-k az állásszögtől és az alaktól függő állandók.

• A síklapba ütköző gázrészecskék mozgásmennyisége megváltozik, amelyek impulzusmegváltozása következtében erőt fejtenek ki a testre.
• A cél, hogy a C(y)/C(x) hányados maximális legyen, azaz a dinamikai felhajtóerő jóval nagyobb legyen a közegellenállásnál.
• Forgó hengerre áramlástérben a kialakult nyomáskülönbség miatt az áramlási irányra merőleges erő hat. (Az áramlással egyirányban nagyobb a sebesség, így kisebb a nyomás, ellentétes irányban meg fordítva, hence a nyomáskülönbség).