Hovedpositioner efter grundlagskrisen Flashcards
Lakatos: Hvordan udvikler matematikken sig ifølge Lakatos?
Man laver en hypotese. Laver så naive test for at se om hypotesen nogenlunde virker. Herefter beviser man hypotesen. Så skal man forsøge at finde modeksempler til beviset. Modbeviserne tvinger så en til at forbedre sætningen og teorien.
Lakatos: Hvad siger Eulers polyedersætning og hvordan bliver sætningen (måske) bevist hos
Lakatos?
Eulers polyedersætning: V-E+F=2 for et polyeder med V hjørner, E kanter og F flader. Lakatos fremsætter beviset som en dialog mellem en lære og nogen elever. Læren udfører ført beviset ved 3 skridt.
1: Fjerne en flade i polyederet og sprede resten ud i planen.
2: Triangulere netværket der fremkommer ved skridt 1. Dette ændrer ikke V-E+F
3: Fjerne trekanterne udefra og ind. V-E+F ændres ikke.
Tilbage er V-E+F=1. Går man proceduren igennem modsat får man da V-E+F=2.
Lakatos: Hvad er forskellen på globale og lokale modeksempler?
Globale modeksempler: eksempler, der er i modstrid til hele sætningen.
Lokale modeksempler: eksempler, der er i modstrid til et skridt i beviset.
Lakatos: Lakatos nævner fire typiske reaktioner på modeksempler. Hvad er disse?
Rejection of conjecture: Sætningen opgives
Monster barring: Præciser definitionen af dit begreb, så monsteret ikke er et eksempel. (”Det der, jamen det er jo slet ikke en x”)
Exception barring: Begræns lemma/sætning, så modeksemplet udelukkes. Tilbagetrækning (”Ok, men
sætningen gælder i hvert fald stadig for…”)
Monster adjustment: Fortolk modeksemplet på en umonstrøs måde
Lakatos: Hvilken rolle spiller beviser i matematikken ifølge Lakatos?
Lakatos mener, at beviser er med til at danne matematiske objekter. Der er såkaldte bevisgenererede begreber. Et væsentligt led i den matematiske udvikling er da den begrebsmæssige udvikling og præcisering, som der kommer i forbindelse med udførelse af beviser.
Lakatos: Hvad er ‘proof generated concepts’?
Proof generated concepts er bevisgenererede begreber, som opstår i processen af udførelse af et bevis. Altså findes de matematiske begreber ikke abre i begyndelsen i sin fuldstændige form, men opstår i bevisprocessen.
Lakatos: Hvorfor kan beviser ikke blive helt sikre, ifølge Lakatos?
Den matematiske process slutter aldrig, der vil altid opstå modeksempler som vi skal tage os af.
Kuhn: Kan opdagelsen af ikke-kommensurable størrelser ses som et eksempel på en Kuhnsk
revolution i matematikken (og hvorfor/hvorfor ikke)?
Ja, vil nogen mene, da man efter opdagelsen af ikke.kommensurable størrelser ændrede den måde man laver matematik på. Så den matematik, der var efter opdagelsen er helt anderledes end den matematik, der var før opdagelsen.
Kuhn: Kan opdagelsen af ikke-Euklidisk geometri ses som et eksempel på en Kuhnsk
revolution i matematikken (og hvorfor/hvorfor ikke)?
På en måde, kan man. Før opdagelsen så man geometri som en beskrivelse af det fysiske rum, hvor man efter opdagelsen måtte skelne mellem geometrien som et deduktivt system og som en deskriptiv videnskab. Men på den anden side, har vi ikke opgivet den euklidiske geometri, og Kuhnske revolutioner siger at man går fra et paradigme til et andet, hvor hvert paradigme ikke kan foregå på samme tid.
Kuhn: Kan intuitionismen ses som et alternativt paradigme i Kuhnsk forstand (og hvorfor/hvorfor
ikke)?
På en måde. I intuitionismen og formalismen er der indbydes sætninger der er sande for den ene og falske for den anden. Men noget der siger imod, er at man i formalismen godt kan forklare og beskrive sætningerne i intuitionismen, så skal logikken bare gøres til en del af det formelle system i formalismen.
Kuhn: I hvilken grad kan man overføre Kuhns syn på naturvidenskabens udvikling til matematikken?
Det er nok svært at tale om direkte Kuhnske revolutioner, da der mere er tale om en flydende overgang, hvor to teorier sagtens kan ‘leve’ sammen. Der er teorier, som nogen er gået fra, mens andre stadig forsøger at bygge videre på dem.
Evolutionær epistemologi: Hvad er hovedpåstanden hos den evolutionære epistemologi (dvs. den evolutionære
forklaring på matematikken?
Mennesket har en medfødt lommeregner;
- Umiddelbar anskuelse af tallene fra 1 til 4
- Grundlæggende aritmetik
- Omtrentlig fornemmelse af store mængder
Evolutionær epistemologi:Hvilke eksperimenter bruger darwinisterne til at understøtte deres hypotese?
Violation of expectation; En kasse med en åbning, hvor man kan se et vist antal objekter i. Åbningen lukkes, der vises for subjektet, at der enten fjernes eller lægges objekter til. Åbningen åbnes igen, og der er enten et muligt eller umuligt aritmetisk resultat. Her så man på subjekternes reaktion.
Der blev også lavet forsøg pårotter, hvor de fik vand hvis de trykkede på et håndtag minimum n gange. Man så her, at rotterne lærte at ‘tælle’ op til 16.
Núñez: Hvad ligger der i begreberne ‘konceptuel metafor’ og ‘konceptuel blending’?
Konceptuel metafor: Vi har et kildedomæne og et måldomæne, hvor vi afbilder strukturen fra kildedomænet over på måldomænet. Abstrakte begreber knyttes til konkrete fysiske erfaringer. Det at have et “varmt” smil. I matematikken kan det være, at vi forstår aritmetikken ved de sansemotoriske vi har af at manipulere med objekter.
Konceptuel blending:
Der er to domæner, som man blender sammen til et blended domæne.
Det kunne i matematikken være domænet ‘rum’ og domænet ‘tal’. Da kan vi blende det sammen og få domænet ‘tallinje’.
Núñez: Hvilken rolle spiller konceptuelle metaforer i vores generelle tænkning ifølge den kognitive semantik?
Helt generelt spiller det en stor rolle, da konceptuelle metaforer bruges ofte. Så som at skulle forklare ting, der bruger vi ofte abstrakte forklaringer “kulde”, “varme”, etc. til at forklare ting i den fysiske verden.
