Beviser og modeller

Question 1

Beviser: Hvad er Standard View of Proof (SVP)?

Answer 1

3 centrale krav til et matematisk bevis.
De skal være:
1. Lineære (deduktioner fra aksiomer til sætning)
2. Propositionelle
3. Formaliserbare <- det behøves ikke være formelt, så længe vi har mulighed for at formalisere det. Det er nok at vi har indikation af, at vi kunne lave et strengt bevis.

Question 2

Beviser: Hvad er billedbeviser/figurbeviser?

Answer 2

Beviser, hvor man bruger billeder eller figurer som et skridt/en del af beviset. Altså uden billedet/figuren, ville der mangle en væsentlig del af beviset.

Question 3

Beviser: Hvad er de væsentligste kritikpunkter mod figurbeviser?

Answer 3

• Sikkerhed: Det er svært at finde fejl i dem
• Generalitet: Figurer er alt for specifikke. Kan man ikke tegne en generel trekanten, så ved undersøgelse af trekant, kan vi kun vide, at det gælder for den specifikke trekant man har tegnet.
• Forudsætningerne fremsættes ikke

Question 4

Beviser: Hvad er problemet med beviset for Euklid I.1?

Answer 4

Forudsætningerne kommer ikke frem. Euklid argumenterer ikke for, at de to cirkler skærer hinanden i et punkt.

Question 5

Beviser: Hvad er forholdet mellem figurbeviset og det (semi)formelle bevis for mellemværdisætningen?

Answer 5

Figurbeviset er stærkt baseret på figuren, hvor det semi formelle bevis bygger på en række forudsætninger. Det semi formelle bevis lever mere op til SVP’s ‘regler’ end figurbeviset gør.

Question 6

Beviser: Hvad er det særlige ved beviset for Robbinsformodningen?

Answer 6

Det er det eneste bevis for en ikke triviel sætning, som en computer selv har kunnet lave. Det er et strengt formelt bevis, kun bestående af symboler, og symbolmanipulation.

Question 7

Beviser: Hvad er computerassisterede beviser?

Answer 7

Beviser, hvor nogen udregninger er så store og omfattende, at en computer er brugt til at lave dem. Det er altså ikke computeren der laver hele bevisetselv, men computeren bruges som et hjælperedskab til omfattende udregninger.

Question 8

Beviser: Hvad er ATLAS?

Answer 8

Projektet, der gik ud på at klassificere alle sporadiske grupper (endelige, simple grupper). Det bestod af mere end 500 artikler skrevet af mere end 100 forfattere,

Question 9

Beviser: Hvordan har ATLAS og computerassisterede beviser udfordret matematikkens epistemologi?

Answer 9

Det bliver svært for indvividet at tjekke beviserne efter, da de er så omfattende, enten fordi der som i ATLAS var over 100 forfattere og 500 artikler, og der ved computerassisterede beviser er en udregning så omfattende, at et menneske vil bruge uanede mængder af tid på at løse det.

Question 10

Beviser: Spiller tillid en rolle i matematikkens epistemologi (diskussionspunkt. Her er intet klart
svar, men hav en velargumenteret mening)?

Answer 10

Man kan sige, at vi nu står i en tid, hvor vi må have tillid til eksempelvis de mange forfattere i ATLAs, eller andre projekter som dette. Vi må have en tillid om, at de gør deres arbejde rigtigt, og deres resultater derved er korrekte. Vi må også have en tillid til dem, der benytter computerassistance, om at de kan finde ud af at bruge den assistance korrekt.

Question 11

Beviser: Kan matematiske beviser give sikker viden (diskussionspunkt. Her er intet klart svar, men hav en velargumenteret mening)?

Answer 11

Ja, hvis vi taler om beviser, der af rent logiske og nøjagtige, så de er lette at læse igennem. Nej, hvis vi snakker mere omfattende beviser, hvor det måske er lettere at overse mangler. Det er vist flere gange, at der er fundet fejl i beviser, så hvorfor skal man tro, at vi er kommet væk fra dette?

Question 12

Beviser: Er SVPs opfattelse af beviser fyldestgørende (diskussionspunkt. Her er intet klart svar, men hav en velargumenteret mening)?

Answer 12

Ja, hvis vi taler om, om der skulle være flere strenge punkter. For allerede nu ses det, at matematikerne har svært ved at følge SVP, så at lægge flere ‘regler’ ned over matematikeren for hvad et godt bevis er vil næppe gøre gavn.

Question 13

Beviser: Hvorfor beviser man sætninger (diskussionspunkt. Her er intet klart svar, men hav en velargumenteret mening)?

Answer 13

Fordi vi uden et bevis ikke kan være sikre på at sætningen er sand. Uden beviser vil man kunne påstå alt, og så ville der opstå en masse paradokser etc.

Question 14

Modeller: Hvad er sandwichmodellen og hvordan udledes den?

Answer 14

Man tegner et kube, som skal repræsentere islaget på eks. grønland. Der indføres da en masse variable, der til slut skal give en rimelig sikker datering af isen. Man bruger en masse idealiseringer og en figur til at beskrive virkelige forhold.

Question 15

Modeller: Hvad er en deduktiv model?

Answer 15

Sandwichmodellen er et eksempel på en deduktiv model.
Man afgrænser et bestemt fænomen man gerne vil sige noget om, betragter den forenklet og idealiseret. Kommer frem til et matematisk beskrivelse af fænomenet. Finder svaret på fænomenet. Stemmer det ikke over ens med virkeligheden kan man gå ind og justere modellen.

Question 16

Modeller: Hvad er en fænomenologisk/datadreven model?

Answer 16

Ikke baseret på en simpel teori. Man forsøger at tilpasse en række parametre og antagelser, så modellen bedst muligt passer til den eksisterende data. Ingen garanti for at den fungerer på ny data.

Question 17

Modeller: Har vi eksempler på fungerende modeller der er udledt på baggrund af klart forkerte
forudsætninger?

Answer 17

Ja, eksempelvis den første flyvemaskine, der blev der lavet en antagelse om, at der ikke er luftmodstand, som klart er falsk. Men det lykkedes at dem at lave den første fungerende flyvemaskine.

Question 18

Modeller: Hvordan foregår modelleringsprocessen?

Answer 18

Man starter med at basere på uudtalte beslutninger. Er det er datadreven model, vil man da forsøge at tilpasse modellen efter det data man har. Er det en deduktiv model, vil man beskrive det man vil undersøge og herefter forsøge at få et resultat. Får man et tvivlsomt resultat går man hen og ser på, om der er ting i modellen, der kan ændres.

Question 19

Modeller: Hvilke principielle forskelle er der på modeller i naturvidenskaben og modeller i samfundsvidenskaberne (som fx økonomi)?

Answer 19

Modeller i samfundsvidenskaben er ofte finindstillet så den passer på specifik data, hvor modeller i naturvidenskaben er mere generel. Der er ingen garanti for at modellerne i samfundsvidenskaben fungerer på ny data, hvor de naturvidenskabelige modeller faktisk i nogen situationer kan forklare det de forsøger at forudsige.

Question 20

Modeller: Hvilke problemer har deduktive modeller (typisk)?

Answer 20

○ Bygget på idealiseringer
○ Der laves abstraktioner
○ Forudsætter teori
○ Begrebsapparat
○ Underbestemthed

Question 21

Modeller: Hvilke problemer har datedrevne modeller typisk?

Answer 21

• Forudsætning af teori
  - begrebsapparat
  - underbestemthed
  
  • Induktionsproblemet
  • Kvalitet af træningsdata
    
    • Korrelation vs kausalitet

Question 22

Modeller: Hvad består Lucaskritikken i?

Answer 22

Makroøkonomien lider af at de fænomener, som modellerne prøver at forudsige, ændrer sig, og envidere at modellerne kan påvirke fænomenerne, og modellerne derfor bliver performative. Lucas mente da at man skal indføre mikroøkonomiske modeller for at forklare og modellere individernes opførsel, så man kunne undgå problemerne, som de makroøkonomiske modeller står over for.

Question 23

Modeller: Kan matematiske modeller give sikker viden (diskussionspunkt. Her er intet klart svar, men hav en velargumenteret mening)?

Answer 23

Nej, man kan måske nævne eksperimenters regres her. For vi ved jo ikke, hvad de rigtige resultater er. Så man kan sige, at selvom vi måske kan synes at modellen giver gode resultater, så kan vi ikke være sikre på det.