hoofdstuk 8: rijen

Question 1

algemene vorm van een rij

Answer 1

U0, U1, U2, … , Un, …

U0, U1, U2, … = reële getallen

Un = de algemene term van de rij

Question 2

wat is er speciaal bij sommige rijen + vb

Answer 2

dat SOMS een rij een geassocieerde (reële) functie heeft bv. 0, 1, 2, 3, … => f(x) = x

niet bij alle rijen!

Question 3

welke 4 speciale rijen bestaan er + uitleg

Answer 3

vb: U1, U2, … , Un, Un+1, …

stijgende rij: de rij is stijgend als Un ≤ Un+1 voor elke n

dalende rij: de rij is dalend als Un ≥ Un+1 voor elke n

naar boven begrensde rij: de rij is naar boven begrensd als er een reëel getal K bestaat zodat elke n: Un ≤ K

naar beneden begrensde rij: de rij is naar beneden begrensd als er een reëel getal K bestaat zodat elke n: Un ≥ K

Question 4

welke 4 basis rijen zijn er

Answer 4

rekenkundige rij

meetkundige rij

harmonische rij

hyperharmonische rij

Question 5

wat is de rekenkundige rij

Answer 5

2, 5, 8, 11, … (+3)

Question 6

hoe bepaal je het rekenkundig gemiddelde van de rekenkundige rij

Answer 6

het rekenkundig gemiddelde van 2 getallen a en b is:

R = (a+b)/2

Question 7

algemene vorm van de meetkundige rij

Answer 7

U0, U0q, U0q², U0q³, … , U0qⁿ, …

q = ‘reden’ van de rij

Question 8

hoe bepaal je het meetkundig gemiddelde van de meetkundige rij

Answer 8

het meetkundig gemiddelde van 2 getallen a en b is:

M = √(a*b)

Question 9

wat is de harmonische rij + harmonisch gemiddelde

Answer 9

1, ½, ⅓, … , 1/n, …

het harmonisch gemiddelde van 2 getallen a en b is:

1/H = ((1/a)+(1/b))/2

dus H = (((1/a)+(1/b))/2)^-1

Question 10

wat is de hyperharmonische rij

Answer 10

1, 1/2^P, 1/3^P, … , 1/n^P, … met P => reële getallen

Question 11

welke 3 mogelijkheden zijn er voor de limiet van een rij

Answer 11

streeft deze rij naar een vaste waarde L, dan noteren we L = (n→+∞)lim Un

streeft deze rij naar +∞, dan noteren we (n→+∞)lim Un = +∞

streeft die niet naar 1 van de vorige 2, dan bestaat die limiet niet

Question 12

welke 2 opties zijn er voor als de limiet van een rij niet bestaat

Answer 12

de rij convergeert of divergeert

Question 13

wanneer is een rij convergent of divergent

Answer 13

een rij is convergent als de limiet gelijk is aan een reëel getal

een rij is divergent als de limiet niet bestaat of gelijk is aan ±∞

Question 14

hoe weet je of een rekenkundige rij divergeert of convergeert

Answer 14

een rekenkundige rij divergeert

Question 15

hoe weet je of een meetkundige rij convergeert of divergeert

Answer 15

bij U0 ≠ 0 convergeert deze rij als |q| < 1 (lim = 0) en ook als q = 1 (lim = U0), anders divergeert het

Question 16

hoe weet je of een harmonische rij divergeert of convergeert

Answer 16

een harmonische rij convergeert altijd behalve bij lim = 0

Question 17

hoe weet je of een hyperharmonische rij convergeert of divergeert

Answer 17

een hyperharmonische rij convergeert voor P > 0, anders divergeert

Question 18

hoe kan je de convergentie en divergentie onderzoeken d.m.v. een functie f(x)

Answer 18

stel f(n) = Ux met y = f(x) een reële functie, dus de rij U1, U2, … , Un heeft een geassocieerde functie, dan geldt: als (x→+∞)lim f(x) = L, dan is (n→+∞)lim Un = L, dit gleldt ook als L = ±∞

(opgepast: als de (x→+∞)lim f(x) niet bestaat, dan kan de lim van de rij toch bestaan)

Question 19

hoe kan je de convergentie en divergentie onderzoeken d.m.v. de hoofdeigenschap van rijen

Answer 19

elke naar boven begrensde stijgende rij is convergent

elke naar onder begrensde dalende rij is convergent

elke stijgende rij die NIET naar boven is begrensd is, heeft lim +∞ (divergent)

elke dalende rij die NIET naar onder is begrensd, heeft lim -∞ (divergent)