hoofdstuk 8: rijen Flashcards
algemene vorm van een rij
U0, U1, U2, … , Un, …
U0, U1, U2, … = reële getallen
Un = de algemene term van de rij
wat is er speciaal bij sommige rijen + vb
dat SOMS een rij een geassocieerde (reële) functie heeft bv. 0, 1, 2, 3, … => f(x) = x
niet bij alle rijen!
welke 4 speciale rijen bestaan er + uitleg
vb: U1, U2, … , Un, Un+1, …
stijgende rij: de rij is stijgend als Un ≤ Un+1 voor elke n
dalende rij: de rij is dalend als Un ≥ Un+1 voor elke n
naar boven begrensde rij: de rij is naar boven begrensd als er een reëel getal K bestaat zodat elke n: Un ≤ K
naar beneden begrensde rij: de rij is naar beneden begrensd als er een reëel getal K bestaat zodat elke n: Un ≥ K
welke 4 basis rijen zijn er
rekenkundige rij
meetkundige rij
harmonische rij
hyperharmonische rij
wat is de rekenkundige rij
2, 5, 8, 11, … (+3)
hoe bepaal je het rekenkundig gemiddelde van de rekenkundige rij
het rekenkundig gemiddelde van 2 getallen a en b is:
R = (a+b)/2
algemene vorm van de meetkundige rij
U0, U0q, U0q², U0q³, … , U0qn, …
q = ‘reden’ van de rij
hoe bepaal je het meetkundig gemiddelde van de meetkundige rij
het meetkundig gemiddelde van 2 getallen a en b is:
M = √(a*b)
wat is de harmonische rij + harmonisch gemiddelde
1, ½, ⅓, … , 1/n, …
het harmonisch gemiddelde van 2 getallen a en b is:
1/H = ((1/a)+(1/b))/2
dus H = (((1/a)+(1/b))/2)-1
wat is de hyperharmonische rij
1, 1/2P, 1/3P, … , 1/nP, … met P => reële getallen
welke 3 mogelijkheden zijn er voor de limiet van een rij
streeft deze rij naar een vaste waarde L, dan noteren we L = (n→+∞)lim Un
streeft deze rij naar +∞, dan noteren we (n→+∞)lim Un = +∞
streeft die niet naar 1 van de vorige 2, dan bestaat die limiet niet
welke 2 opties zijn er voor als de limiet van een rij niet bestaat
de rij convergeert of divergeert
wanneer is een rij convergent of divergent
een rij is convergent als de limiet gelijk is aan een reëel getal
een rij is divergent als de limiet niet bestaat of gelijk is aan ±∞
hoe weet je of een rekenkundige rij divergeert of convergeert
een rekenkundige rij divergeert
hoe weet je of een meetkundige rij convergeert of divergeert
bij U0 ≠ 0 convergeert deze rij als |q| < 1 (lim = 0) en ook als q = 1 (lim = U0), anders divergeert het
hoe weet je of een harmonische rij divergeert of convergeert
een harmonische rij convergeert altijd behalve bij lim = 0
hoe weet je of een hyperharmonische rij convergeert of divergeert
een hyperharmonische rij convergeert voor P > 0, anders divergeert
hoe kan je de convergentie en divergentie onderzoeken d.m.v. een functie f(x)
stel f(n) = Ux met y = f(x) een reële functie, dus de rij U1, U2, … , Un heeft een geassocieerde functie, dan geldt: als (x→+∞)lim f(x) = L, dan is (n→+∞)lim Un = L, dit gleldt ook als L = ±∞
(opgepast: als de (x→+∞)lim f(x) niet bestaat, dan kan de lim van de rij toch bestaan)
hoe kan je de convergentie en divergentie onderzoeken d.m.v. de hoofdeigenschap van rijen
elke naar boven begrensde stijgende rij is convergent
elke naar onder begrensde dalende rij is convergent
elke stijgende rij die NIET naar boven is begrensd is, heeft lim +∞ (divergent)
elke dalende rij die NIET naar onder is begrensd, heeft lim -∞ (divergent)
