2. lineair dv met constante coëfficiënten + bewijs met volledige inductie

Question 1

wanneer heb je een homogene LDV

Answer 1

wanneer het RL = 0

Question 2

wat zijn constante coëfficiënten bij een LDV

Answer 2

wanneer de coëfficiënten van y of zijn afgeleiden constant zijn

Question 3

wat is V(D)

Answer 3

de differentiaaloperator en het lijkt op de distributiviteit maar het is de operatie ervan (dus het aantal keer dat je moet afleiden)

Question 4

wat is de V(D) van een HLDVCC (homogene lineaire differentiaal vergelijking met constante coëfficiënten)

Answer 4

0

Question 5

hoe werkt de factoreigenschap bij veeltermen van dv

Answer 5

het is een opeenvolging van operatoren

Question 6

wat is er speciaal bij een HLDVCC van de 1e orde

Answer 6

je kan de nulpunten berekenen met λ = -b/a

de graad van de V(D) is 1

dus is de algemene oplossing: y= Ce^λx

Question 7

wat zegt de algemene stelling van een HLDVCC

Answer 7

algemene HLDVCC: V(D)(y) = 0

V(λ) = 0 => V(D)(e^λx) = 0

Question 8

wat is de algemene stelling van een HLDVCC voor meervoudige nulpunten

Answer 8

Question 9

eigenschap niet reële nulpunten bij HLDVCC

Answer 9

V(D) heeft reële coëfficiënten, niet-reële nulpunten vormen een toegevoegd paar:

α ± βj

voor complexe oplossingen: V(D)( e^(α±βj)x ) = 0

(als e^α+βj een oplossing geeft dan geeft e^α-βj er ook een)

Question 10

wat zegt de formule van euler bij: e^(α±βj)x

Answer 10

e^(α±βj)x = e^αx cos βx ± j e^αx sin βx

Question 11

hoe los je HLDVCC op met niet-reële nulpunten

Answer 11

eerst de eigenschap volgen: niet-reële nulpunten vormen toegevoegd paar, voor complexe oplossingen: V(D)( e^(α±βj)x ) = 0 (en als e^α+βj oplossing geeft ook voor e^α-βj dan)

dan formule van euler toepassen: e^(α±βj)x = e^αx cos βx ± j e^αx sin βx

dan combineren tot je reële oplossingen bekomt voor V(D)(y) = 0

Question 12

waar moet je op letten als je oef krijgt waarbij ze de V(D) vragen

Answer 12

dan krijg je een functie y gegeven en moet je een reële V(D) zoeken met minimale graad zodat V(D)(y) = 0

Question 13

algemene vorm van LDVCC + uitwerking tot AO

Answer 13

algemene vorm LDVCC: V(D)(y) = B(x)

yh: oplossing van geassocieerde homogene V(D)(y) = 0 (AO-)
yp: oplossing van V(D)(y) = B(x) (PO)

y = yh + yp (AO van V(D)(y) = B(x)

Question 14

hoe doe je bewijs door volledige inductie

Answer 14

stap 1: bewijzen dat u stelling waar is voor n = 1 (dus P(1) is waar) => basis van de inductie

stap 2: bewijs dat als P(k) waar is (= inductiehypothese) dan is ook P(k+1) waar. doe dat door te beginnen met voor te stellen dat u stelling of eigenschap waar is

stap 3: uitwerken

Question 15

als je het bewijs van volledige inductie volgt hoe is dat dan voor elke n waar?

Answer 15

we weten dat P(1) waar is en dat als P(k) waar is, dat het dan ook voor P(k+1) waar is (en dit voor elke k)

dus P(2) is waar, P(3) is waar, … , P(n) is waar voor elke n