Gebrochen Rationale Funktionen Flashcards
Echt oder unecht gebrochen rationale Funktion?
Grad Z < Grad N
Echt
Echt oder unecht gebrochen rationale Funktion?
Grad Z =Grad N
Unecht
Echt oder unecht gebrochen rationale Funktion?
Grad Z >Grad N
Unecht
Wann liegt eine waagerechte Asymptote vor?
Wenn
Grad Z < N oder Grad Z=N
Wann liegt eine schräge Asymptote vor?
Grad (Z) = Grad (n = Z+1)
Wann liegen senkrechte Asymptoten vor?
An allen Unendlichkeitsstellen
Welche Arten von Definitionslücken gibt es?
UKS mit VZW
UKS ohne VZW
Stetig behebbare Definitionslücke
Wie berechne ich Definitionslücken?
Den Nenner gleich null setzen
Wann ist eine UKS mit VZW?
Wenn die Nennerpotenz ungerade ist
Wann ist eine UKS ohne VZW?
Wenn die Nennerpotenz gerade ist
Wie gebe ich die Definitionsmenge der Funktion an
D = R\Definitionslücke
Waagerechte Asymptote bei 0
Grad Z < Grad N
Waagerechte Asymptote nicht bei 0
Grad Z = Grad N
Die Asymptote berechnen wir über die Polynomdivision von Zähler und Nenner
Schräge Asymptote
Grad Z > Grad N Wenn Grad Z= Grad N +1
Berechnung durch Polynomdivision von Zähler und Nenner
Wie berechne ich Nullstellen der Funktion?
Zählerterm gleich Null stellen -> sind sie keine Nullstellen des Nennerterms handelt es sich um Nullstellen der Funktion
Was sollte ich machen nachdem ich Nullstellen und Definitionslücken berechnet habe?
Den Bruch VOLLSTÄNDIG kürzen, erst danach kann ich die Definitionslücken definieren
Was ist die Quotientenregel für GRF?
Wie Bestimme ich Art der Extremstelle?
Durch eine Vorzeichentabelle!
Wann hängt das Vorzeichen einer Funktion alleine vom Zählerterm ab?
Wenn der Nennerterm positiv ist ( x>0)
Regel von l‘hospital
Unter welchen Voraussetzungen ist der Funktionsterm Z(x)/N(x) kürzbar?
Wenn der Zähler und Nennerpolynom die gleiche NST besitzt
Unter welchen Vorraussetzungen ist f an der Stelle x(0) steig fortsetzbar?
Wenn für x -> x0 der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert der Funktionswerte identisch und endlich sind
-> wenn sich der linearfaktor (x-x0) durch kürzen vollständig aus dem Nennerterm entfernen lässt
Was für eine Besonderheit weisst der Graph an der Stelle einer stetig behebbaren Definitionslücke auf?
Er hat ein Loch
Wie lässt sich der der Funktionsterm f(x) (mit strich oben) der stetigen Fortsetzung f(x) schreiben?
Indem man x0 nicht mehr aus der Definitionsmenge ausschließt
Wie berechnet man die Nullstellen von f?
Zählernullstellen berechnen und gucken ob sie element der Definitionsmenge sind
Wie berechnet man schnittpunkte eines Graphen mit seinen Asymptoten?
Gibt es nur bei schrägen und waagerechten Asymptoten -> einfach nach dem Wert der asymptote auflösen
Worauf muss ich bei der Polynomdivision immer achten?
Das Vorzeichen!
Was muss ich bei der Angabe von Definitionslücken angeben?
Auch behhebbare sind nicht element der Definitionsmenge
Was muss ich beim Angeben von Asymptoten beachten?
UKS sind immer senkrechte Asymptoten
Was ist zu beachten wenn im Term eine Hochzahl innerhalb einer Klammer ist?
Es handelt sich trotzdem um zwei Nullstellen (also 1 und -1 zB)
Wie gebe ich die Symmetrie an wenn die Definitionsmenge nicht symmetrisch ist?
Die D ist nicht symmetrisch zu x=0, daher ist die Bedingung für die Symmetrie zur Y Achse nicht gegeben
Wie berechne ich ob sich ein Graph von oben oder unten an eine Asymptote annähert?
Das annähern berechnet man durch eine Polynomdivision
Der Restterm wird gekürzt und in ihn eingesetzt -> dann kann man sehen ob die Werte negativer als die asymptote oder positiver sind
Wie gibt man an dass es an der Y-Achse keinen Schnittpunkt gibt?
0 ist kein Element der Definitionsmenge!
Was muss ich beachten wenn ich eine VZT für Wendepunkte/Extrempunkte mache?
Auch hoier müssen Definitionslücken angegeben werden!
Wann bestimmt der Zähler immer über das VZ?
Wenn ein grader Exponent im Nenner ist
Wie notiere ich lim=0 richtig?
Hinter der Null kein + oder Minus!
Wie bestimme ich den Grenzwert einer NSt?
Funktion als Linearfaktorzerlegung angeben!
Behebbare Lücken aus dem Term kürzen!!
Jetzt entweder positive oder negative Zahl in den Term setzen und sich das Verhalten angucken
X^2-1
(X-1)(x+1)
X^2-36
(X-6)(x+6)
Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion?
Nullstellen des Nenners bestimmen und diese aus der Definitionsmenge ausschließen.
Was sind Unendlichkeitsstellen und stetig behebbare Definitionslücken?
Unendlichkeitsstelle: Nenner hat Linearfaktor, der nicht gekürzt werden kann (z.B.x=−2)
Stetig behebbare Lücke: Nenner- und Zählerfaktor kürzen sich (z.B. x=1)
Wie bestimmt man das Grenzverhalten am Rand der Definitionsmenge?
Mit Grenzwerten wie:
Wie erkennt man waagrechte und senkrechte Asymptoten?
Senkrechte Asymptote: Nullstelle des Nenners
Waagrechte Asymptote: Bei gleichem Grad von Zähler und Nenner:
Wie erkennt man Symmetrieverhalten bei Funktionen?
Wie ermittelt man Nullstellen einer Funktion?
Zählerterm null setzen und prüfen, ob die Lösung in Df liegt.
Wie zeichnet man den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion?
Nullstellen und Asymptoten einzeichnen
Wertetabelle nutzen
Stetig behebbare Lücken durch offene Kreise kennzeichnen
Wie lautet die Quotientenregel für Ableitungen?
Was ist bei der 2. Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen zu beachten?
Sie lässt sich immer kürzen – Vereinfachung ist wichtig für weitere Untersuchungen.
Welche Bedingungen gelten für das Auffinden von Extremstellen?
Wie erkennt man, ob keine Extremstelle vorliegt?
Wie löst man Extremwertaufgaben mit gebrochen-rationalen Funktionen?
Zielfunktion aufstellen
Extremstelle berechnen
Prüfen, ob Extremum absolut ist (ggf. Randbetrachtung)
Wie bestimmt man den Funktionsterm anhand von Eigenschaften?
Allgemeine Produktform verwenden:
Wann ist ein uneigentliches Integral vom 1. Typ bestimmbar?
Wenn sich die Fläche zwischen Graph und Achse trotz unendlicher Ausdehnung endlich messen lässt.
Wie berechnet man ein uneigentliches Integral vom 1. Typ?
Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.
Wie sieht eine allgemeine natürliche Logarithmusfunktion aus?
