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Statistik 1 TU Berlin > G: Diskrete Zufallsvariablen und Modelle > Flashcards

G: Diskrete Zufallsvariablen und Modelle Flashcards

1
Q

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elememtarereignis wi aus Omega eine reele Zahl zuordnet.

A

Richtig

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2
Q

Eine Zufallsvariable ist eine Zufallsgröße, die einen Wertebereich der reelen Zahlen hat.

A

Ja.

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3
Q

Nenne die 4 Schritte eines Zufallsexperiments

A
  1. Zufallsexperiment: Werfen zweier idealer Würfel
  2. Ergebnismenge: Omega = (1,1),(1,2)…
  3. Zufallsvariable X: “ Augensumme”
  4. Wertebereich: (2,…12)
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4
Q

Die diskrete Wkt.verteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.

A

Richtig.

F(X) = P ( X

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5
Q

Eine Zweidimensionale ZV wird als Funktion abgebildet, die jedem Elementarereignis wi aus Omega ein Paar reeler Zahlen zuordnet.

A

Richtig.

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6
Q

Sind X und Y unabhängig, so ist die Kovarianz = 0.

Ist die Kovarianz = 0, so sind X und Y unabhängig.

A

Falsch. Ist die Kovarianz = 0, heisst das nicht, dass X und Y unabhängig sind.

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7
Q

X und Y in einer Kontingenztafel: Wie erkennt man, ob sie stoch. unabhängig sind?

A

Man muss den Multiplikationssatz auf alle ( !) Felder anwenden!

Die inneren Felder sind definiert als P (X=x n Y=y)
–> daher gilt bei Unabhängigkeit:
P (X=x) * P(Y=y) = P (X=x n Y=y)

also Rand* Rand = inneres Feld

Nur wenn dies für alle (!) Felder gilt sind X und Y unabhängig.

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8
Q

Der Erwartungswert einer diskreten Wkt.tabelle errechnet sich, indem man..

A

… jedes x mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte aufsummiert.
Wir erhalten E(X) , oder auch [Mü]

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9
Q

Die Varianz berechnen wir, indem…

A

… man von jedem x den Erwartungswert abzieht, das Ergebnis quadriert und dann mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit multipliziert. Die Produkte werden aufsummiert zur Varianz [sigma quadrat]

Verschiebungssatz:

Quadriere alle x und multipliziere sie mit ihrer Wahrscheinlichkeit.
Summiere diese Produkte und ziehe dann E(x) ^2 ab.

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10
Q

Wie berechne ich die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen ? (bspw. um Var ( X+Y) zu berechnen)

A
  1. Berechne E(X)
  2. Berechne E(Y)
  3. Erstelle Tabelle x*y
  4. Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(X*Y), indem du die verschiedenen Möglichkeiten (welche alle ein bestimmes Produkt ergeben) ADDIERST

Bsp:
P(X*Y= 2) = P ( x=1 n y=2) u ( x=2 n y=1) = P (1,2) + P (2,1)
(sind disjunkt daher Addition)

  1. Berechne E (X*Y) durch die Tabelle
  2. Setze in Formel für Kovarianz ein
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11
Q

X: “ Anzahl der Erfolge beim 1. Versuch “

A

Bernoulli verteilt mit p

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12
Q

X: “ Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum ersten Erfolg”

A

Geometrisch verteilt

G(p)

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13
Q

X: “ Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen”

A

Binomial verteilt

B(n;p)

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14
Q

X: “ Anzahl der gezogenen Elemente mit besonderer Eigenschaft bei n abhängigen Zügen”

A

Hypergeometrisch verteilt

H ( n; N; M )

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15
Q

X: “ Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum r-ten Erfolg “

A

Negativ Binomial verteilt

NB ( r; p)

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16
Q

Was charakterisiert ein Bernoulli - Experiment ?

A

es gibt eine Zweiwertige Ergebnis Menge

Oomega = { w1,w2} also Erfolg und Misserfolg
Erfolgswahrscheinlichkeit pi
Misserfolgswahrscheinlichkeit (1-pi)

nur ein 1 Versuch

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17
Q

Der Wertebereich bei Bernoulli ist {0,1,2}

A

Falsch. Der Wertebereich ist {0,1}

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18
Q

Der Wertebereich eines Binomialverteilten Zufallsexperiments ist { n}

A

Falsch. Der Wertebereich ist { n+1}, da die 0 mit zu x dazu zählt

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19
Q

Was ist die Additionseigenschaft von Binomialverteilungen?

A

ist X B(n1;p) und Y B(n2;p), und sind X und Y stochastisch unabhängig, so ist X+Y B (n1+n2;p)

20
Q

Bei pi = 0,5 ist die Binomialverteilung symmetrisch, sonst nicht.

A

Richtig.

21
Q

Die Summe von Xi von n unabhängigen Versuchen, die Bernoulli verteilt sind, ist binomialverteilt.

A

Falsch. sie müssen IDENTISCH bernoulli-verteilt sein mit einer gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit, sonst gilt das nicht.

22
Q

Bei der hypergeometrischen Verteilung ist n die Anzahl der Züge, M die Anzahl der Elemente mit der gewünschten Eigenschaft und N der Umfang der Grundgesamtheit.

A

Richtig.

23
Q

Wollen wir P ( X>=2) bei einer H-verteilung berechnen, müssen wir…

A

… 1 - den Punktwahrscheinlichkeiten von ) und 1 rechnen.

Die Hypergeometrische berechnet nur Punktwahrscheinlichkeiten!

24
Q

Mit welcher Wkt. brauch ich höchstens 3 Versuche bis zum ersten Erfolg?

A

Geometrisch verteilt

P(X

25
Q

Ist ein Ereignis sicher, so ist seine Wahrscheinlichkeit 1.

Ist die Wahrscheinlichkeit 1, so ist ein Ereignis sicher.

A

Falsch. Dann ist es nur fast sicher! Umkehrschluss gilt nicht.

26
Q

Ist es ein unmögliches Ereignis, so ist P gleich 0.

Ist P gleich 0 , so ist das Ereignis aber nur fast unmöglich.

A

Richtig.

27
Q

Bei der NB Verteilung ist wichtig x und r zu erkennen!

Beim 10ten Versuch den 3ten Erfolg bedeutet also…

A

… dass X = 10 = x+r = x+ 3 also klein x =7

28
Q

Die Poissonverteilung ist charakterisiert durch…

A

…seine sehr geringen Wahrscheinlichkeiten.
–> Verteilung der SELTENEN Ereignisse
Die Ereignisse treten unabhängig auf!

“durchschnittlich” “selten”

29
Q

Die 3 Bedingungen für den Poissonprozess lauten…

A
  1. Stationarität:
    P ist nur von der Länge und nicht von der Lage des Intervalls abhängig
  2. Ordinarität:
    P für das Eintreten von mehr als einem Erfolg in einem sehr kleinen Intervall ist quasi unmöglich ( konvergiert gegen 0)
  3. Unabhängigkeit:
    P für das Eintreten eines Erfolgs ist unabhängig von der Anzahl der bereits eingetretenen Erfolge.
30
Q

Genau wie die Binomialverteilung besitzt auch Poisson die Additionseigenschaft.

A

Richtig.

31
Q

Xi:” Anzahl der Elemente der i-ten Sorte in der Stichprobe vom Umfang n’

A

Multinomial verteilt!
M ( n; pi1, pi2, pi3…)
wobei pi die Anteile der Sorte sind an der Grundgesamtheit

32
Q

Bei der Multinomialverteilung sind die Anteile der einzelnen Sorten unabhängig, die Elemente aber voneinander abhängig, da sie insgesamt n ergeben.

A

Richtig. Habe ich einen größeren Anteil an blauen Kugeln, muss ich ja einen geringeren Anteil an roten Kugeln haben, damit ich bei n bleibe.
Summe der xi = n und Summe der pi = 1

33
Q

Bei der Multinomialverteilung ist die Kovarianz immer Negativ.

A

Richtig. Hab ich mehr von der einen Sorte, bekomm ich automatisch weniger von der anderen. Negatives Abhängigkeitsverhältnis.

34
Q

Die Poisson-Verteilung ist die einzige Verteilung, die nicht auf Bernoulli Experimenten beruht.

A

Richtig.

35
Q

Ist die Kovarianz ungleich Null, so sind die Merkmale stoch. abhängig.

A

Ja.

36
Q

Den Erwartungswert einer poissonverteilten Zufallsvariablen kann keine negativen Werte annehmen

A

Richtig

37
Q

Die Summe von n ( n>1) unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ist binomialverteilt mit n und pi.

A

Falsch. sie müssen identisch verteilt sein.

38
Q

Eine B ( n;pi) verteilte Zufallsvariable hat n+1 Realisationsmöglichkeiten

A

Richtig.

39
Q

Die Zufallsvariable X: “ Anzahl der geworfenen Wappen beim gleichzeitigen Werfen von drei beliebigen Münzen” ist binomialverteilt.

A

Falsch.

40
Q

Die Zufallsvariable X: Anzahl der gezogenen Kugeln beim gleichzeitigen Ziehen aus einer Urne mit roten und nicht roten Kugeln “ ist hypergeometrisch verteilt.

A

Falsch

41
Q

Verwendet man den Klassischen Wkt.begriff nach LaPlace so muß die Ergebnismenge des zugrundeliegenden Zufallsexperiments endlich sein.

A

Richtig.

42
Q

Auf der Basis des Zufallsexperiments “ Werfen zweier idealer Würfel” wird die Zufallsvariable X : “ Augensumme beider Würfe” mit dem Wertebereich { 2

A

Falsch, der letzte Teil stimmt nicht. es geht nur von 1 - 6 nicht 12

43
Q

In einer Urne sind N =10 Kugeln ,von denen M = 6 rot sind. Es werden n=5 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Dann ist die Zufallsvariable X: “ Anzahl der gezogenen roten Kugeln” hypergeometrisch verteilt mit dem Wertebereich : { 0,1,2,3,4,5}

A

Falsch, der Wertebereich stimmt nicht. Die 0 kann nicht im Wertebereich sein, da 5 Kugeln gezogen werden, es aber nur 4 nicht rote gibt, heisst 1 Kugel wird immer rot sein.

44
Q

Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung

A

Falsch.

45
Q

Es gilt: Var(X) = E [ X* (X-1)] + E(X) - [E(X)]^2

A

Richtig, da der erste Teil nur eine andere Schreibweise ist von E[ X^2].

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