G: Diskrete Zufallsvariablen und Modelle Flashcards
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elememtarereignis wi aus Omega eine reele Zahl zuordnet.
Richtig
Eine Zufallsvariable ist eine Zufallsgröße, die einen Wertebereich der reelen Zahlen hat.
Ja.
Nenne die 4 Schritte eines Zufallsexperiments
- Zufallsexperiment: Werfen zweier idealer Würfel
- Ergebnismenge: Omega = (1,1),(1,2)…
- Zufallsvariable X: “ Augensumme”
- Wertebereich: (2,…12)
Die diskrete Wkt.verteilung wird als Treppenfunktion dargestellt.
Richtig.
F(X) = P ( X
Eine Zweidimensionale ZV wird als Funktion abgebildet, die jedem Elementarereignis wi aus Omega ein Paar reeler Zahlen zuordnet.
Richtig.
Sind X und Y unabhängig, so ist die Kovarianz = 0.
Ist die Kovarianz = 0, so sind X und Y unabhängig.
Falsch. Ist die Kovarianz = 0, heisst das nicht, dass X und Y unabhängig sind.
X und Y in einer Kontingenztafel: Wie erkennt man, ob sie stoch. unabhängig sind?
Man muss den Multiplikationssatz auf alle ( !) Felder anwenden!
Die inneren Felder sind definiert als P (X=x n Y=y)
–> daher gilt bei Unabhängigkeit:
P (X=x) * P(Y=y) = P (X=x n Y=y)
also Rand* Rand = inneres Feld
Nur wenn dies für alle (!) Felder gilt sind X und Y unabhängig.
Der Erwartungswert einer diskreten Wkt.tabelle errechnet sich, indem man..
… jedes x mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und diese Produkte aufsummiert.
Wir erhalten E(X) , oder auch [Mü]
Die Varianz berechnen wir, indem…
… man von jedem x den Erwartungswert abzieht, das Ergebnis quadriert und dann mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit multipliziert. Die Produkte werden aufsummiert zur Varianz [sigma quadrat]
Verschiebungssatz:
Quadriere alle x und multipliziere sie mit ihrer Wahrscheinlichkeit.
Summiere diese Produkte und ziehe dann E(x) ^2 ab.
Wie berechne ich die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen ? (bspw. um Var ( X+Y) zu berechnen)
- Berechne E(X)
- Berechne E(Y)
- Erstelle Tabelle x*y
- Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(X*Y), indem du die verschiedenen Möglichkeiten (welche alle ein bestimmes Produkt ergeben) ADDIERST
Bsp:
P(X*Y= 2) = P ( x=1 n y=2) u ( x=2 n y=1) = P (1,2) + P (2,1)
(sind disjunkt daher Addition)
- Berechne E (X*Y) durch die Tabelle
- Setze in Formel für Kovarianz ein
X: “ Anzahl der Erfolge beim 1. Versuch “
Bernoulli verteilt mit p
X: “ Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum ersten Erfolg”
Geometrisch verteilt
G(p)
X: “ Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen”
Binomial verteilt
B(n;p)
X: “ Anzahl der gezogenen Elemente mit besonderer Eigenschaft bei n abhängigen Zügen”
Hypergeometrisch verteilt
H ( n; N; M )
X: “ Anzahl der unabhängigen Versuche bis zum r-ten Erfolg “
Negativ Binomial verteilt
NB ( r; p)
Was charakterisiert ein Bernoulli - Experiment ?
es gibt eine Zweiwertige Ergebnis Menge
Oomega = { w1,w2} also Erfolg und Misserfolg
Erfolgswahrscheinlichkeit pi
Misserfolgswahrscheinlichkeit (1-pi)
nur ein 1 Versuch
Der Wertebereich bei Bernoulli ist {0,1,2}
Falsch. Der Wertebereich ist {0,1}
Der Wertebereich eines Binomialverteilten Zufallsexperiments ist { n}
Falsch. Der Wertebereich ist { n+1}, da die 0 mit zu x dazu zählt
Was ist die Additionseigenschaft von Binomialverteilungen?
ist X B(n1;p) und Y B(n2;p), und sind X und Y stochastisch unabhängig, so ist X+Y B (n1+n2;p)
Bei pi = 0,5 ist die Binomialverteilung symmetrisch, sonst nicht.
Richtig.
Die Summe von Xi von n unabhängigen Versuchen, die Bernoulli verteilt sind, ist binomialverteilt.
Falsch. sie müssen IDENTISCH bernoulli-verteilt sein mit einer gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit, sonst gilt das nicht.
Bei der hypergeometrischen Verteilung ist n die Anzahl der Züge, M die Anzahl der Elemente mit der gewünschten Eigenschaft und N der Umfang der Grundgesamtheit.
Richtig.
Wollen wir P ( X>=2) bei einer H-verteilung berechnen, müssen wir…
… 1 - den Punktwahrscheinlichkeiten von ) und 1 rechnen.
Die Hypergeometrische berechnet nur Punktwahrscheinlichkeiten!
Mit welcher Wkt. brauch ich höchstens 3 Versuche bis zum ersten Erfolg?
Geometrisch verteilt
P(X
Ist ein Ereignis sicher, so ist seine Wahrscheinlichkeit 1.
Ist die Wahrscheinlichkeit 1, so ist ein Ereignis sicher.
Falsch. Dann ist es nur fast sicher! Umkehrschluss gilt nicht.
Ist es ein unmögliches Ereignis, so ist P gleich 0.
Ist P gleich 0 , so ist das Ereignis aber nur fast unmöglich.
Richtig.
Bei der NB Verteilung ist wichtig x und r zu erkennen!
Beim 10ten Versuch den 3ten Erfolg bedeutet also…
… dass X = 10 = x+r = x+ 3 also klein x =7
Die Poissonverteilung ist charakterisiert durch…
…seine sehr geringen Wahrscheinlichkeiten.
–> Verteilung der SELTENEN Ereignisse
Die Ereignisse treten unabhängig auf!
“durchschnittlich” “selten”
Die 3 Bedingungen für den Poissonprozess lauten…
- Stationarität:
P ist nur von der Länge und nicht von der Lage des Intervalls abhängig - Ordinarität:
P für das Eintreten von mehr als einem Erfolg in einem sehr kleinen Intervall ist quasi unmöglich ( konvergiert gegen 0) - Unabhängigkeit:
P für das Eintreten eines Erfolgs ist unabhängig von der Anzahl der bereits eingetretenen Erfolge.
Genau wie die Binomialverteilung besitzt auch Poisson die Additionseigenschaft.
Richtig.
Xi:” Anzahl der Elemente der i-ten Sorte in der Stichprobe vom Umfang n’
Multinomial verteilt!
M ( n; pi1, pi2, pi3…)
wobei pi die Anteile der Sorte sind an der Grundgesamtheit
Bei der Multinomialverteilung sind die Anteile der einzelnen Sorten unabhängig, die Elemente aber voneinander abhängig, da sie insgesamt n ergeben.
Richtig. Habe ich einen größeren Anteil an blauen Kugeln, muss ich ja einen geringeren Anteil an roten Kugeln haben, damit ich bei n bleibe.
Summe der xi = n und Summe der pi = 1
Bei der Multinomialverteilung ist die Kovarianz immer Negativ.
Richtig. Hab ich mehr von der einen Sorte, bekomm ich automatisch weniger von der anderen. Negatives Abhängigkeitsverhältnis.
Die Poisson-Verteilung ist die einzige Verteilung, die nicht auf Bernoulli Experimenten beruht.
Richtig.
Ist die Kovarianz ungleich Null, so sind die Merkmale stoch. abhängig.
Ja.
Den Erwartungswert einer poissonverteilten Zufallsvariablen kann keine negativen Werte annehmen
Richtig
Die Summe von n ( n>1) unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ist binomialverteilt mit n und pi.
Falsch. sie müssen identisch verteilt sein.
Eine B ( n;pi) verteilte Zufallsvariable hat n+1 Realisationsmöglichkeiten
Richtig.
Die Zufallsvariable X: “ Anzahl der geworfenen Wappen beim gleichzeitigen Werfen von drei beliebigen Münzen” ist binomialverteilt.
Falsch.
Die Zufallsvariable X: Anzahl der gezogenen Kugeln beim gleichzeitigen Ziehen aus einer Urne mit roten und nicht roten Kugeln “ ist hypergeometrisch verteilt.
Falsch
Verwendet man den Klassischen Wkt.begriff nach LaPlace so muß die Ergebnismenge des zugrundeliegenden Zufallsexperiments endlich sein.
Richtig.
Auf der Basis des Zufallsexperiments “ Werfen zweier idealer Würfel” wird die Zufallsvariable X : “ Augensumme beider Würfe” mit dem Wertebereich { 2
Falsch, der letzte Teil stimmt nicht. es geht nur von 1 - 6 nicht 12
In einer Urne sind N =10 Kugeln ,von denen M = 6 rot sind. Es werden n=5 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Dann ist die Zufallsvariable X: “ Anzahl der gezogenen roten Kugeln” hypergeometrisch verteilt mit dem Wertebereich : { 0,1,2,3,4,5}
Falsch, der Wertebereich stimmt nicht. Die 0 kann nicht im Wertebereich sein, da 5 Kugeln gezogen werden, es aber nur 4 nicht rote gibt, heisst 1 Kugel wird immer rot sein.
Die geometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung
Falsch.
Es gilt: Var(X) = E [ X* (X-1)] + E(X) - [E(X)]^2
Richtig, da der erste Teil nur eine andere Schreibweise ist von E[ X^2].
