Chapter 7 - Differential Equation

Question 1

微分方程的通解是什么?

Answer 1

含有与微分方程的阶数相同的任意常数的个数的微分方程的解, 称为微分方程的通解.

Question 2

微分方程的特解是什么?

Answer 2

确定了通解中的任意常数后得到的解叫做微分方程的特解.

Question 3

线性微分方程解的结构 定理 1
对于 y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0.

Answer 3

如果函数 y₁=f(x) 和 y₂=f(x) 是该方程的两个解, 那么 y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) 也是它的解, 其中 C₁, C₂ 是任意常数.

Question 4

线性微分方程解的结构 定理 2
对于 y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0.

Answer 4

如果函数 y₁=f(x) 和 y₂=f(x) 是该方程的两个线性无关的解, 那么 y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x) 是它的通解, 其中 C₁, C₂ 是任意常数.

Question 5

线性微分方程解的结构 定理 3

Answer 5

设 y*(x) 是二阶非齐次线性方程 y’‘+P(x)y’+Q(x)y=f(x) 的一个特解. Y(x) 是与它对应的齐次方程的通解, 则 y=Y(x)+y*(x) 是该方程的一个通解.

Question 6

线性微分方程解的结构 定理 4

Answer 6

设 y₁*(x) 和 y₂*(x) 分别是方程

y’‘+P(x)y’+Q(x)y=f₁(x)

与

y’‘+P(x)y’+Q(x)y=f₂(x)

的特解.
则 y*₁(x)+y*₂(x) 是方程

y’‘+P(x)y’+Q(x)y=f₁(x)+f₂(x)

的特解.

Question 7

常系数齐次线性微分方程
y’‘+py’+qy=0
的特征方程

Answer 7

r²+pr+q=0

因为当 r 为常数时, y=e^rx 和它的各阶导数都只差一个常数因子, 所以将其带入方程 y’‘+py’+qy=0, 得到 (r²+pr+q)e^<em>rx</em>=0. 又 e^<em>rx</em>≠0, 故 r²+pr+q=0.

Question 8

当常系数齐次线性微分方程的特征方程分别
(1) 有两个不相等的实根 r₁, r₂;
(2) 有两个相等的实根 r;
(3) 一对共轭复根 r_1,2=α±β,
时, 微分方程的通解分别是什么?

Answer 8

(1) y=C₁e^r₁x+C₂e^r₂x;
(2) y=(C₁+C₂x)e^<em>rx</em>;
(3) y=e^αx(C₁cos βx±C₂sin βx).

Question 9

欧拉方程中, x^ky^(k)项应变换为什么?
(用 D 表示 d/dt 运算)

Answer 9

x^ky^(k) = D(D-1)···(D-k+1)y.