Chapter 3 - Applications of Mean Value Theorems and Derivative

Question 1

费马引理

Answer 1

设函数 f(x) 在点 a 的某邻域内有定义, 并且在 a 处可导, 如果对该邻域内的任意 x 有 f(x)≤f(a) (或 f(x)≥f(a) ), 那么f’(a)=0.

Question 2

罗尔定理

Answer 2

如果函数 f(x) 满足:
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等, 即 f(a)=f(b),
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f’(ξ)=0.

Question 3

拉格朗日中值定理

Answer 3

如果函数 f(x) 满足:
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导,
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使等式
f(b)-f(a) = f’(ξ)(b-a) 成立.

Question 4

如果函数 f(x) _______且导数恒为零, 那么 f(x) 在区间 I 上是一个常数.

Answer 4

在区间 I 上连续, 在区间 I 内可导.

Question 5

柯西中值定理

Answer 5

如果函数 f(x) 及 F(x) 满足:
① 在闭区间 [a,b] 上连续;
② 在开区间 (a,b) 内可导;
③ 对任一 x ∈ (a,b), F’(x)≠0,
那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使等式
[f(b)-f(a)] / [F(b)-F(a)] = f’(ξ)/F’(ξ) 成立.

Question 6

洛必达法则成立条件

Answer 6

(1) 当 x→a 时, 函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零;
(2) 在点 a 的某去心邻域内, f’(x) 及 F’(x) 都存在且 F’(x) ≠0;
(3) lim_(x→a) [f’(x)] / [F’(x)] 存在(或为∞).

Question 7

洛必达法则2
lim_(x→∞) [f(x)] / [F(x)]
=lim_(x→∞) [f’(x)] / [F’(x)]
的成立条件

Answer 7

(1) 当 x→∞ 时, 函数 f(x) 及 F(x) 都趋于零;
(2) 当 |x|>N 时 f’(x) 与 F’(x) 都存在, 且 F’(x)≠0;
(3) lim_(x→∞) [f’(x)] / [F’(x)] 存在 (或为∞).

Question 8

泰勒展开的系数通项

Answer 8

f^<em>(n</em>)(a) / n!

Question 9

设 f(x) 在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两点 a, b 恒有_______, 或 f’‘(x)__0, 那么 f(x) 在 I 上的图形是凹的.

Answer 9

f[(a+b)/2] < [f(a)+f(b)]/2;

>.

Question 10

必要条件 设函数 f(x) 在 a 处可导, 且在 a 处取得极值, 则 f’(a)__0.

Answer 10

=.

Question 11

第二充分条件 设函数在 a 处具有二阶导数, 且 f’(a)=0, f’‘(a)≠0, 则当 f’‘(x)__0 时, 函数 f(x) 在 a 处取得极大值.

Answer 11

<.

可以这样考虑: f’‘(x)<0 意味着 f(x) 的切线反向(顺时针)旋转.

Question 12

曲率 K 的计算公式

Answer 12

K = |y’’| / (1+y’²)^3/2

1 加 y一撇 的方 的二分之三次方 分之 y两撇的绝对值.

Question 13

曲率半径ρ=?

Answer 13

ρ = 1/K.