Chapter 4 - Indefinite Integral

Question 1

∫ x^μ dx

Answer 1

x^μ+1/(μ+1) + C. (μ≠-1)

Question 2

∫ 1/x dx

Answer 2

㏑|x| + C.

Question 3

∫ a^x dx

Answer 3

a^x/㏑a + C.

Question 4

原函数存在定理

Answer 4

连续函数一定有原函数

Question 5

∫ 1/(1+x²) dx

Answer 5

arctan x + C

Question 6

∫ 1/√_1-x² dx

Answer 6

arcsin x + C

Question 7

∫ 1/cos²x dx

Answer 7

tan x + C

Question 8

∫ 1/sin²x dx

Answer 8

• cot x + C

Question 9

∫ sec x· tan x dx

Answer 9

sec x + C

Question 10

∫ csc x·cot x dx

Answer 10

• csc x + C

Question 11

∫ tan x dx

Answer 11

• ㏑|cos x| + C

Question 12

∫ cot x dx

Answer 12

㏑|sin x| + C

Question 13

∫ sec x dx

Answer 13

㏑|csc x - cot x| + C

Question 14

∫ 1/(a²+x²) dx

Answer 14

(1/a)arctan(x/a) + C

Question 15

∫ 1/(x²-a²) dx

Answer 15

(1/2a)ln|(x-a)/(x+a)| + C

Question 16

∫ 1/√_a²-x² dx

Answer 16

arcsin (x/a) + C

Question 17

∫ 1/√_x²+a² dx

Answer 17

ln (x+√_x²+a²) + C

Question 18

∫ 1/√_x²-a² dx

Answer 18

ln |x+√_x²-a²| + C

Question 19

定积分的保号性

Answer 19

若 f(x)≥0 且在 [a,b] 上 f(x) 不恒等于零, 那么 ∫_a→b f(x) ≥0.

Question 20

定积分的保号性 2

Answer 20

f(x)≤g(x) → ∫_a→b f(x) dx ≥0

Question 21

|∫_a→b f(x) dx| 与 ∫_a→b |f(x)| dx 的大小关系.

Answer 21

|∫_a→b f(x) dx| ≤ ∫_a→b |f(x)| dx

因为右边可以保证北极函数一定是正的; 而左边 f(x) 积分自身正负抵消之后才取得绝对值, 所以较小.

Question 22

设 M, m 分别为 函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值, 则 ∫_a→bf(x)dx 的范围是什么?

Answer 22

m(b-a) ≤ ∫_a→bf(x)dx ≤ M(b-a)

Question 23

积分中值定理

Answer 23

如果函数 f(x) 在 [a,b] 上连续, 那么至少有一个 ξ∈[a,b],
f(ξ)=1/(b-a) ∫_a→bf(x)dx

与其他中值定理不同的是, 此处 ξ ∈ 闭区间 [a,b].