Chapter 5&6 - Definite Integral & Its Applications

Question 1

定积分性质 1

Answer 1

任意有限个函数的线性组合的积分等于它们各自积分的线性组合.

Question 2

定积分性质 2

Answer 2

区间可加性

设 c∈(a,b), 则∫_a→b = ∫_a→c = ∫_c→b.

Question 3

定积分的保号性

Answer 3

若 f(x)≥0 且在 [a,b] 上 f(x) 不恒等于零, 那么 ∫_a→b f(x) ≥0.

Question 4

定积分的保号性 2

Answer 4

<var>f(x)</var> ≤ <var>g(x)</var> → ∫_a→b <var>f(x)</var> dx ≤ ∫_a→b <var>g(x)</var> dx

Question 5

|∫_a→b f(x) dx| 与 ∫_a→b |f(x)| dx 的大小关系.

Answer 5

|∫_a→b f(x) dx| ≤ ∫_a→b |f(x)| dx

因为右边可以保证北极函数一定是正的; 而左边 f(x) 积分自身正负抵消之后才取得绝对值, 所以较小.

Question 6

设 M, m 分别为 函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值, 则 ∫_a→bf(x)dx 的范围是什么?

Answer 6

m(b-a) ≤ ∫_a→bf(x)dx ≤ M(b-a)

Question 7

积分中值定理

Answer 7

如果函数 f(x) 在 [a,b] 上连续, 那么至少有一个 ξ∈[a,b],
f(ξ)=1/(b-a) ∫_a→bf(x)dx

与其他中值定理不同的是, 此处 ξ ∈ 闭区间 [a,b].

Question 8

d/dx ∫_{φ(x)→ψ(x)}f(t)dt=?

Answer 8

f[φ(x)]·φ’(x) - f[ψ(x)]·ψ’(x)

Question 9

微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)

Answer 9

如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数, 那么
∫_a→bf(x)dx = F(b)-F(a)

Question 10

定积分可积的两个充分条件

Answer 10

(1) f(x) 在区间 [a,b] 上连续, 则 f(x) 在 [a,b] 上可积.
(2) f(x) 在区间 [a,b] 上有界, 且只有有限个间断点, 则 f(x) 在 [a,b] 上可积.

Question 11

定积分的换元公式使用条件

Answer 11

(1) f(x) 在区间 [a,b] 上连续;
(2) 换入函数 φ(x) 在 [a,b] (或 [b,a]) 上有连续导数.

Question 12

分部积分优先级顺序口诀

Answer 12

反对幂指三, 前u后v’.

反三角函数, 对数函数 log, 幂函数 xⁿ, 指数函数 a^x, 三角函数.
靠前的保留, 靠后的还原(积分).

Question 13

瑕点, 瑕积分的定义

Answer 13

如果函数 f(x) 在点 a 的任一邻域内都无界, 那么点 a 称为函数 f(x) 的瑕点.
无界函数的反常积分又称为瑕积分.

Question 14

由参数方程给出的光滑圆弧的弧长公式

Answer 14

s = ∫_a→b√_{φ’(x)²+ψ’(x)²} dt

Question 15

由直角坐标方程给出的光滑圆弧的弧长公式

Answer 15

s = ∫_a→b√_1+y’² dx

Question 16

由极坐标方程给出的光滑圆弧的弧长公式

Answer 16

s = ∫_a→b√_ρ²+ρ’² dx