Chapter 1 - Function & Limit

Question 1

极限的唯一性

Answer 1

如果数列 {x_n} 收敛，那么它的极限唯一.

Question 2

收敛序列的有界性

Answer 2

如果数列 {x_n} 收敛，那么数列 {x_n} 一定有界.

Question 3

收敛序列的保号性

Answer 3

如果 Lim_(x->∞) x_n=a，且 a>0 (或 a<0)，那么存在正整数 N ，当 n>N 时，都有 x_n>0 (或 x_n<0).

Question 4

收敛序列的保号性 推论

Answer 4

如果数列{x_n}从某项起有 x_n≥0 (或 x_n≤0)，且 lim_(n->∞) x_n=a，那么 a≥0 (或 a≤0).

Question 5

函数极限的唯一性

Answer 5

如果 lim_(x->x0) f(x) 存在，那么这极限唯一.

Question 6

函数极限的局部有界性

Answer 6

如果 lim_(x->x0) f(x) = A，那么存在常数 M>0 和 δ>0，使得当 0<|x-x₀|< δ 时, 有 |f(x)|≤M.

Question 7

函数的局部保号性

Answer 7

如果 lim(x->x₀) f(x) = A，且 A>0 (或 A<0)，那么存在常数 δ>0，使得当 0<|x-x₀|< δ 时, 有 f(x)>0 (或 f(x)<0).

Question 8

函数的局部保号性 ( |A|/2 )

Answer 8

如果 lim(x->x₀) f(x) = A (A≠0)，那么就存在着 x₀ 的某一去心邻域 U°(x₀)，当 x∈U°(x₀) 时，就有 |f(x)|>|A|/2.

Question 9

函数的局部保号性 推论

Answer 9

如果在 x₀ 的某去心邻域内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0)，而且lim_(x->x0) f(x) = A，那么 A≥0 (或 A≤0).

Question 10

在自变量的同一变化过程 x→x₀ (或 x→∞)中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是：

Answer 10

• f(x)=A+α*
• 其中 α 是无穷小.*

Question 11

无穷大和无穷小的转化关系：

Answer 11

在自变量的同一变化过程中，如果 f(x) 无穷大，那么 1/f(x) 为无穷小；反之，如果 f(x) 为无穷小，且 f(x)≠0，那么 1/f(x) 为无穷大.

Question 12

极限运算法则 定理1

Answer 12

两个无穷小的和是无穷小.

Question 13

极限运算法则 定理1 推论

Answer 13

有限个无穷小之和也是无穷小.

Question 14

极限运算法则 定理2

Answer 14

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

无穷大并不然.

Question 15

极限运算法则 定理2 推论1

Answer 15

常数与无穷小的乘积是无穷小.

Question 16

极限运算法则 定理2 推论2

Answer 16

有限个无穷小的乘积是无穷小.

Question 17

如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 那么
(1)_______; (2)_______;

Answer 17

和的极限等于极限的和;

积的极限等于极限的积;

Question 18

如果 limf(x)=A, limg(x)=B, 若又有_______, 则 lim[f(x)/g(x)] = [limf(x)/[limg(x)] = A/B.

Answer 18

B≠0

Question 19

极限四则运算法则 推论1

Answer 19

如果 limf(x) 存在，而 c 为常数，那么 lim[c·f(x)] = c·limf(x).

Question 20

极限四则运算法则 推论2

Answer 20

如果 limf(x) 存在，而 n 为正整数，那么 f(x) 的n次方的极限等于其极限的n次方.

Question 21

设有数列 {x_n} 和 {y_n}. 如果
lim_(n→∞) x_n=A, lim_(n→∞) y_n=B, 那么 (1)_______; (2)_______;

Answer 21

{x_n±y_n} 收敛于 A±B;
{x_n· y_n} 收敛于 A·B;

Question 22

设有数列 {x_n} 和 {y_n}.如果 lim_(n→∞) x_n=A, lim_(n→∞) y_n=B, 那么当_______时，{x_n/y_n} 收敛于 A/B.

Answer 22

y_n≠0 且 B≠0.

Question 23

极限运算法则 定理5

Answer 23

如果 a(x)≥b(x)，而 lima(x)=A, limb(x)=B, 那么 A≥B.

Question 24

夹逼准则 如果数列 {x_n}，{y_n} 及 {z_n} 满足下列条件： (1)_______; (2)_______; 那么数列 {x_n} 的极限存在，极限为 a.

Answer 24

(1) 从某项起，即存在正整数 n₀，当 n>n₀ 时，有 y_n≤x_n≤z_n;
(2) {y_n} 及 {z_n} 均收敛于 a.

Question 25

夹逼准则’ 如果(1)_______; (2)_______，那么 f(x) 极限存在且等于 A.

Answer 25

(1) 当 x 在 x₀ 的某个去心邻域内（或|x|>M）时，g(x)≤f(x)≤h(x);
(2) g(x)、h(x) 在 x₀ 处（或 x→∞ 时）极限均为 A;

Question 26

极限存在准则 II

Answer 26

单调有界数列必有极限.

Question 27

β与α是等价无穷小的充分必要条件.

Answer 27

β=α+o(α)

Question 28

设 α~α’，β~β’，且_______，则_______.

Answer 28

β’/α’ 的极限存在,

lim[β/α] = lim[β’/α’].

Question 29

函数在点 x₀ 连续的定义:
(1)_______; (2)_______.

Answer 29

(1) 该函数在点 x₀ 的某一邻域内有定义;
(2) Δx→0 时, limΔy = lim[f(x₀+Δx)-f(x₀)] = 0.

Question 30

函数在点 x₀ 连续的定义2:
(1)_______; (2)_______.

Answer 30

(1) 该函数在点 x₀ 的某一邻域内有定义.
(2) x→x₀ 时, limf(x)=f(x₀).

Question 31

_______, 叫做在该区间上的连续函数.

Answer 31

在区间上每一点都连续的函数

Question 32

设函数 f(x) 在点 x₀ 的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数 f(x) 有下列三种情形之一: (1)_______; (2)_______; (3)_______, 那么函数 f(x) 在点 x₀ 为不连续, 而点 x₀ 称为函数 f(x) 的不连续点或间断点.

Answer 32

(1) 在 x=x₀ 没有定义;
(2) 虽在 x=x₀ 有定义, 但 lim(x→x₀) f(x) 不存在;
(3) 虽在 x=x₀ 有定义, 且 lim(x→x₀) f(x) 存在, 但 lim(x→x₀)f(x) ≠ f(x₀).

Question 33

第一类间断点定义

Answer 33

x=x₀ 是函数 f(x) 的间断点, 但左极限和右极限都存在.

Question 34

第一类间断点包括哪些?
它们的的区别是什么?

Answer 34

① 可去间断点 (左右极限相等);
② 跳跃间断点 (左右极限不相等).

Question 35

第二类间断点包括哪些?

Answer 35

无穷间断点、振荡间断点.

Question 36

连续函数的和、差、积、商连续性

Answer 36

设函数 f(x) 和 g(x) 在点 x₀ 连续, 则它们的和、差、积、商(分母≠0)都在点 x₀ 连续.

Question 37

如果函数 y=f(x) 在区间 I_x 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数 x=f^-1(y) 怎样?

Answer 37

也在对应区间 I_y={y|y=f(x), x∈I_x} 上单调增加(或单调减少)且连续.

Question 38

设函数 y=f[g(x)] 由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u) 复合而成, lim(x→x₀) g(x)=u₀, U°(x₀)⊂D_f*g, 若_______, 则
lim(x→x₀)f[g(x)]= lim(u→u₀)f(u)= f(u₀).

Answer 38

函数 y=f(u) 在 u=u₀连续

Question 39

设函数 y=f[g(x)] 由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u) 复合而成, U(x₀)⊂D_f*g, g(x₀)=u₀.若_______, 则复合函数在 x=x₀ 连续.

Answer 39

(1) 函数 u=g(x) 在 x=x₀ 连续,
(2) 函数 y=f(u) 在 u=u₀ 连续.

Question 40

初等函数的连续性.

Answer 40

一切初等函数在其定义区间都是连续的.

Question 41

f(x) 在闭区间上连续的条件.

Answer 41

① 在和闭区间对应的开区间上连续;

② 而​在左右端点分别左右连续;

Question 42

有界性与最大值最小值定理

Answer 42

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.

Question 43

零点定理

Answer 43

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 且 f(a) 与 f(b) 异号, 则在开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使 f(ξ)=0.

Question 44

介值定理

Answer 44

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 且在这区间的端点分别取不同的函数值 f(a)=A, f(b)=B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C, 再开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(ξ)=C .

Question 45

介值定理 推论

Answer 45

在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(x) 的值域为闭区间 [m,M], 其中 m 与 M 依次为 f(x) 在 [a,b] 上的最小值与最大值.