Chapitre 2.3

Question 1

Le modèle de Lotka-Volterra

Answer 1

Un modèle simple basé sur l’équation de croissance exponentielle d’une population:
dN/dt = rN*N

Question 2

Le modèle de Lotka-Volterra pour la proie

Answer 2

Pour la proie (N), on soustrait l’effet négatif du prédateur (P) sur la croissance de sa population:

dN/dt = rNN-cNP = (rN-cP)N **

rN = taux d'accroissement de la proie
c = taux d’attaque par proie et par prédateur (proies tuées/N•P)
(cN = nb proies tuées par prédateur = réponse fonctionnelle)
(cP = taux de mortalité de la proie dû à la prédation)

Question 3

Le modèle de Lotka-Volterra pour le prédateur

Answer 3

Pour le prédateur, en l’absence de proies sa population décroit de façon exponentielle:
dP/dt = -rp*P
-rP = taux de décroissance (= mortalité) du prédateur en absence de proies

La présence de proies a un effet positif sur la population de prédateurs:

dP/dt = -rPP + gcNP = (gcN - rP)P ***

g = efficacité de conversion des proies capturées en accroissement de population par le prédateur (prédateurs «produits» /N•P)
(gcN - rP) = taux d’accroissement net per capita du prédateur en présence de proies (réponse numérique)

Question 4

Dynamique du modèle de Lotka-Volterra

Answer 4

Les conditions d’équilibre sont obtenues quand dN/dt = dP/dt = 0:
Pour la proie
P = rN/c
> Densité de prédateurs requise pour arrêter la croissance de la population de proies
> Dépend du rapport entre le taux d’accroissement de la proie et l’efficacité des prédateurs à capturer des proies

Pour le prédateur
N = rp/gc
> Densité de proies requise pour arrêter la décroissance de la population de prédateurs
> Dépend du rapport entre le taux de mortalité du prédateur sans proies et de l’efficacité de capture et de conversion des proies par le prédateur

Question 5

Les isoclines

Answer 5

 Les isoclines délimitent des portions de graphes où les trajectoires de population sont différentes
 Longueur des flèches proportionnelle à vitesse de changement
 Les isoclines sont ici des lignes droites car les paramètres qui les définissent sont tous des constantes

Question 6

Si on superpose les 2 isoclines sur un même graphique

Answer 6

Le modèle prédit que:
 Les 2 populations vont osciller de façon régulière (même amplitude) indéfiniment car isoclines sont symétriques (perpendiculaires)
 Le prédateur est toujours en retard sur la proie
 Amplitude des oscillations dépend des conditions
initiales
 Amplitude augmente plus on s’éloigne de l’équilibre
 Populations cycliques où la proie et le prédateur se “contrôlent” mutuellement

Question 7

Réalisme du modèle de Lotka-Volterra

Answer 7

 Le modèle prédit des oscillations régulières indéfinies
 Perturbations peuvent changer l’amplitude des oscillations

Mais…
 Certaines issues ne sont pas prédites:
> Ne prédit pas l’extinction
> Ne prédit pas d’équilibre stable entre les 2 populations
 Certaines prémisses sont simplistes:
> Assume un taux de prédation constant (réponse fonctionnelle de type 1)
> Ne tient pas compte de la compétition intraspécifique (croissance exponentielle)

Question 8

Modèle de prédation basé sur l’équation logistique

Answer 8

Pour la proie (N) on a l’équation suivante:
dN/dt = rNN[(K-N)/K]- cNP **

KN = densité de proies à l'équilibre en absence de prédateurs
c = taux d’attaque par prédateur (ne change pas)

Question 9

Isoclines du modèle de prédation basé sur l’équation logistique

Answer 9

 L’isocline de la proie est incliné dû à l’effet dépendant de la densité
 Effet synergique de prédation + compétition intraspécifique
> Quand N ↑, il faut de moins en moins de prédateurs pour contrôler la proie à cause des facteurs dépendants de la densité
 Isoclines ne sont pas symétriques car l’isocline de la proie n’est plus une constante
 Le modèle prédit une oscillation amortie qui tend vers l’équilibre
 Le facteur dépendant de la densité stabilise les populations
 État transitoire qui mène à un équilibre stable

Question 10

Réalisme du modèle de prédation basé sur l’équation logistique

Answer 10

Forces:
 Tient compte de l’effet dépendant de la densité
 Les oscillations ne sont plus régulières
 On peut avoir un équilibre

Faiblesses:
 Les oscillations prédites ne sont jamais soutenues mais toujours amorties (quoique perturbations peuvent
changer l’amplitude)
 On assume encore un taux de prédation constant
(réponse fonctionnelle de type 1)

Question 11

La réponse fonctionnelle de type I

Answer 11

Réponse assumée par le modèle de LV

 Nb proies consommées augmente linéairement
c = taux d’attaque du prédateur
 Rare en milieu naturel

Question 12

La réponse fonctionnelle de type II

Answer 12

Temps pour ingérer des proies (t) a 2 composantes
t = ts + th
ts = temps de recherche → varie avec la densité de proies
th = temps de manipulation (handling) → est fixe par proie

 Nb proies consommées augmente à un rythme décroissant avec N
 Il tend vers une asymptote
 Plus on capture de proies, plus le temps passé à les manipuler est long et moins on a de temps pour en chercher d’autres
 Le prédateur sature
 Réponse la plus répandue

Question 13

La pente de la réponse fonctionnelle de Type II est obtenue par:

Answer 13

Le temps total de manipulation des proies (th) dépend de :
h = temps manipulation / proie
n = nb total de proies capturées

Le nombre total de proies capturées (n) dépend de :
c = taux d’attaque (= de rencontre)
N = densité de proies
ts = temps de recherche total

le nombre de proies consommées par unité de temps (n/t ou nt)
nt = cN/(1+hcN)
 Si N → 0, dénominateur → 1 et nt ≈ cN (réponse fonctionnelle de Type I)
 Si N élevé, nt tend vers une asymptote égale à 1/h (plateau)

Question 14

La réponse fonctionnelle de type III

Answer 14

Courbe sigmoïde en 2 parties:
1. D’abord le nb de proies consommées augmente à un rythme croissant avec N
 Refuge pour la proie à faible densité
 Absence de search image à faible N
 Changement de proie (prey switch)
• Requiert présence de proies alternatives
2. Ensuite, le nb de proies consommées augmente à un rythme décroissant avec N (saturation du prédateur)

Question 15

Quel est l’effet de la réponse fonctionnelle sur le taux de prédation?

Answer 15

Types 2 et 3 (2e partie): Le taux de prédation est inversement dépendant de la densité de proies
 Plus il y a de proies, plus la proportion tuée est faible
 Effet déstabilisant sur la relation prédateur-proie

Type 3 (1ère partie): taux de prédation dépendant de la densité

Type 1: taux de prédation indépendant de la densité
 Effet stabilisant sur la relation prédateur-proie
 Le prédateur a un pouvoir régulateur sur sa proie

Question 16

Modèle de prédation avec réponse fonctionnelle complexe

Answer 16

L’équation générale pour la population de la proie (N) devient:
dN/dt = rNN[(K-N)/K]- f(N)P **
f(N) = fonction définissant la réponse fonctionnelle (e.g. Type 1, f(N) = cN)

L’équation pour le prédateur (P) dans ce modèle devient:
dP/dt = gP [f(N)-D] ***
On simplifie l’équation en définissant un nouveau paramètre, D, qui est le taux de consommation per capita minimum permettant au prédateur de se maintenir
D = rP/g

Question 17

Modèle de prédation avec réponse de Type 2

Answer 17

 Équation du 2e degré (i.e. une parabole)
 Points d’intersection de cette parabole avec les axes sont identiques au modèle avec effet dépendant de la densité et réponse de type 1:
> N = 0 (alors P = rN/c; ordonnée à l’origine)
> N = K (alors P = 0; abscisse à l’origine)

Question 18

Isoclines du modèle de prédation avec réponse de Type 2

Answer 18

 L’isocline a d’abord une pente positive (il faut de plus
en plus de prédateurs pour contrôler la proie) à cause de la réponse de type 2
 À haute densité de proies, l’isocline de la proie diminue à cause de la compétition intraspécifique
 Oscillation qui augmente d’amplitude avant de se stabiliser
 Les populations sont moins stables
 Modèle plus réaliste

–> Amplitude des oscillations influencée par la position relative des isoclines au point d’intersection

Question 19

Interprétation des isoclines de prédation

Answer 19

Déplacement de(s) isocline(s) dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre:
 Trajectoires excentriques
 On diminue la stabilité du système

Déplacement de(s) isocline(s) dans le sens des aiguilles d’une montre:
 Trajectoires concentriques
 On augmente la stabilité du système

Isocline de la proie a subit une rotation anti-horaire au point d’intersection
> Oscillations qui augmentent en amplitude par rapport au modèle LV

Isocline de la proie est horizontal au point d’intersection
> Oscillations stables
> Correspond alors au modèle LV

 Isocline de la proie a subit une rotation horaire au point d’intersection
> Oscillations amorties qui mènent à équilibre stable
> Similaire au cas dépendant de la densité avec réponse de type 1

Question 20

Isoclines avec effet dépendant de la densité chez le prédateur et la proie

Answer 20

 Les 2 isoclines ont tourné dans le
sens horaire
> Aucune oscillation, équilibre stable
> À haute densité de N et P, facteurs dépendants de la densité dominent pour chaque espèce

 Isocline de la proie a tourné dans le sens anti-horaire (plus instable), mais isocline prédateur a tourné sens horaire (plus stable)
> Issue plus difficile à prévoir
> Oscillation amplifiée (car isocline de la proie s’est déplacé le plus)