Chapitre 2.3 Flashcards
Le modèle de Lotka-Volterra
Un modèle simple basé sur l’équation de croissance exponentielle d’une population:
dN/dt = rN*N
Le modèle de Lotka-Volterra pour la proie
Pour la proie (N), on soustrait l’effet négatif du prédateur (P) sur la croissance de sa population:
dN/dt = rNN-cNP = (rN-cP)N **
rN = taux d'accroissement de la proie c = taux d’attaque par proie et par prédateur (proies tuées/N•P) (cN = nb proies tuées par prédateur = réponse fonctionnelle) (cP = taux de mortalité de la proie dû à la prédation)
Le modèle de Lotka-Volterra pour le prédateur
Pour le prédateur, en l’absence de proies sa population décroit de façon exponentielle:
dP/dt = -rp*P
-rP = taux de décroissance (= mortalité) du prédateur en absence de proies
La présence de proies a un effet positif sur la population de prédateurs:
dP/dt = -rPP + gcNP = (gcN - rP)P ***
g = efficacité de conversion des proies capturées en accroissement de population par le prédateur (prédateurs «produits» /N•P)
(gcN - rP) = taux d’accroissement net per capita du prédateur en présence de proies (réponse numérique)
Dynamique du modèle de Lotka-Volterra
Les conditions d’équilibre sont obtenues quand dN/dt = dP/dt = 0:
Pour la proie
P = rN/c
> Densité de prédateurs requise pour arrêter la croissance de la population de proies
> Dépend du rapport entre le taux d’accroissement de la proie et l’efficacité des prédateurs à capturer des proies
Pour le prédateur
N = rp/gc
> Densité de proies requise pour arrêter la décroissance de la population de prédateurs
> Dépend du rapport entre le taux de mortalité du prédateur sans proies et de l’efficacité de capture et de conversion des proies par le prédateur
Les isoclines
Les isoclines délimitent des portions de graphes où les trajectoires de population sont différentes
Longueur des flèches proportionnelle à vitesse de changement
Les isoclines sont ici des lignes droites car les paramètres qui les définissent sont tous des constantes
Si on superpose les 2 isoclines sur un même graphique
Le modèle prédit que:
Les 2 populations vont osciller de façon régulière (même amplitude) indéfiniment car isoclines sont symétriques (perpendiculaires)
Le prédateur est toujours en retard sur la proie
Amplitude des oscillations dépend des conditions
initiales
Amplitude augmente plus on s’éloigne de l’équilibre
Populations cycliques où la proie et le prédateur se “contrôlent” mutuellement
Réalisme du modèle de Lotka-Volterra
Le modèle prédit des oscillations régulières indéfinies
Perturbations peuvent changer l’amplitude des oscillations
Mais…
Certaines issues ne sont pas prédites:
> Ne prédit pas l’extinction
> Ne prédit pas d’équilibre stable entre les 2 populations
Certaines prémisses sont simplistes:
> Assume un taux de prédation constant (réponse fonctionnelle de type 1)
> Ne tient pas compte de la compétition intraspécifique (croissance exponentielle)
Modèle de prédation basé sur l’équation logistique
Pour la proie (N) on a l’équation suivante:
dN/dt = rNN[(K-N)/K]- cNP **
KN = densité de proies à l'équilibre en absence de prédateurs c = taux d’attaque par prédateur (ne change pas)
Isoclines du modèle de prédation basé sur l’équation logistique
L’isocline de la proie est incliné dû à l’effet dépendant de la densité
Effet synergique de prédation + compétition intraspécifique
> Quand N ↑, il faut de moins en moins de prédateurs pour contrôler la proie à cause des facteurs dépendants de la densité
Isoclines ne sont pas symétriques car l’isocline de la proie n’est plus une constante
Le modèle prédit une oscillation amortie qui tend vers l’équilibre
Le facteur dépendant de la densité stabilise les populations
État transitoire qui mène à un équilibre stable
Réalisme du modèle de prédation basé sur l’équation logistique
Forces:
Tient compte de l’effet dépendant de la densité
Les oscillations ne sont plus régulières
On peut avoir un équilibre
Faiblesses:
Les oscillations prédites ne sont jamais soutenues mais toujours amorties (quoique perturbations peuvent
changer l’amplitude)
On assume encore un taux de prédation constant
(réponse fonctionnelle de type 1)
La réponse fonctionnelle de type I
Réponse assumée par le modèle de LV
Nb proies consommées augmente linéairement
c = taux d’attaque du prédateur
Rare en milieu naturel
La réponse fonctionnelle de type II
Temps pour ingérer des proies (t) a 2 composantes
t = ts + th
ts = temps de recherche → varie avec la densité de proies
th = temps de manipulation (handling) → est fixe par proie
Nb proies consommées augmente à un rythme décroissant avec N
Il tend vers une asymptote
Plus on capture de proies, plus le temps passé à les manipuler est long et moins on a de temps pour en chercher d’autres
Le prédateur sature
Réponse la plus répandue
La pente de la réponse fonctionnelle de Type II est obtenue par:
Le temps total de manipulation des proies (th) dépend de :
h = temps manipulation / proie
n = nb total de proies capturées
Le nombre total de proies capturées (n) dépend de :
c = taux d’attaque (= de rencontre)
N = densité de proies
ts = temps de recherche total
le nombre de proies consommées par unité de temps (n/t ou nt)
nt = cN/(1+hcN)
Si N → 0, dénominateur → 1 et nt ≈ cN (réponse fonctionnelle de Type I)
Si N élevé, nt tend vers une asymptote égale à 1/h (plateau)
La réponse fonctionnelle de type III
Courbe sigmoïde en 2 parties:
1. D’abord le nb de proies consommées augmente à un rythme croissant avec N
Refuge pour la proie à faible densité
Absence de search image à faible N
Changement de proie (prey switch)
• Requiert présence de proies alternatives
2. Ensuite, le nb de proies consommées augmente à un rythme décroissant avec N (saturation du prédateur)
Quel est l’effet de la réponse fonctionnelle sur le taux de prédation?
Types 2 et 3 (2e partie): Le taux de prédation est inversement dépendant de la densité de proies
Plus il y a de proies, plus la proportion tuée est faible
Effet déstabilisant sur la relation prédateur-proie
Type 3 (1ère partie): taux de prédation dépendant de la densité
Type 1: taux de prédation indépendant de la densité
Effet stabilisant sur la relation prédateur-proie
Le prédateur a un pouvoir régulateur sur sa proie
Modèle de prédation avec réponse fonctionnelle complexe
L’équation générale pour la population de la proie (N) devient:
dN/dt = rNN[(K-N)/K]- f(N)P **
f(N) = fonction définissant la réponse fonctionnelle (e.g. Type 1, f(N) = cN)
L’équation pour le prédateur (P) dans ce modèle devient:
dP/dt = gP [f(N)-D] ***
On simplifie l’équation en définissant un nouveau paramètre, D, qui est le taux de consommation per capita minimum permettant au prédateur de se maintenir
D = rP/g
Modèle de prédation avec réponse de Type 2
Équation du 2e degré (i.e. une parabole)
Points d’intersection de cette parabole avec les axes sont identiques au modèle avec effet dépendant de la densité et réponse de type 1:
> N = 0 (alors P = rN/c; ordonnée à l’origine)
> N = K (alors P = 0; abscisse à l’origine)
Isoclines du modèle de prédation avec réponse de Type 2
L’isocline a d’abord une pente positive (il faut de plus
en plus de prédateurs pour contrôler la proie) à cause de la réponse de type 2
À haute densité de proies, l’isocline de la proie diminue à cause de la compétition intraspécifique
Oscillation qui augmente d’amplitude avant de se stabiliser
Les populations sont moins stables
Modèle plus réaliste
–> Amplitude des oscillations influencée par la position relative des isoclines au point d’intersection
Interprétation des isoclines de prédation
Déplacement de(s) isocline(s) dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre:
Trajectoires excentriques
On diminue la stabilité du système
Déplacement de(s) isocline(s) dans le sens des aiguilles d’une montre:
Trajectoires concentriques
On augmente la stabilité du système
Isocline de la proie a subit une rotation anti-horaire au point d’intersection
> Oscillations qui augmentent en amplitude par rapport au modèle LV
Isocline de la proie est horizontal au point d’intersection
> Oscillations stables
> Correspond alors au modèle LV
Isocline de la proie a subit une rotation horaire au point d’intersection
> Oscillations amorties qui mènent à équilibre stable
> Similaire au cas dépendant de la densité avec réponse de type 1
Isoclines avec effet dépendant de la densité chez le prédateur et la proie
Les 2 isoclines ont tourné dans le
sens horaire
> Aucune oscillation, équilibre stable
> À haute densité de N et P, facteurs dépendants de la densité dominent pour chaque espèce
Isocline de la proie a tourné dans le sens anti-horaire (plus instable), mais isocline prédateur a tourné sens horaire (plus stable)
> Issue plus difficile à prévoir
> Oscillation amplifiée (car isocline de la proie s’est déplacé le plus)
