Calculus (differentiaal- en integraalrekening)

Question 1

Wat is calculus?

Answer 1

Calculus is een tak van de wiskunde die zich richt op de studie van verandering en beweging. Het bestaat uit twee hoofdonderdelen:
• Differentiaalrekening (concernant de snelheid van verandering)
• Integraalrekening (concernant het berekenen van gebieden en accumulatie)

Question 2

Wat is het verschil tussen differentiaal- en integraalrekening?

Answer 2

• Differentiaalrekening bestudeert de afgeleiden van functies, die de snelheid van verandering van een functie aangeven.
• Integraalrekening richt zich op het berekenen van het oppervlak onder een curve of het cumuleren van hoeveelheden over een interval.

Question 3

Wat is een afgeleide?

Answer 3

De afgeleide van een functie is de limiet van de verandering van de functie op een infinitesimale schaal. Het geeft de snelheid van verandering aan van een functie, of de helling van de raaklijn op een bepaald punt.

Formule:
f{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Question 4

Wat is de kettingregel in de differentiaalrekening?

Answer 4

De kettingregel wordt gebruikt om de afgeleide van samengestelde functies te berekenen. Als je een functie hebt die bestaat uit twee andere functies, kun je de afgeleiden van deze functies vermenigvuldigen om de afgeleide van de samengestelde functie te verkrijgen.

Formule:
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f{\prime}(g(x)) \cdot g{\prime}(x)

Question 5

Wat is een integraal?

Answer 5

Een integraal is de som van oneindig veel infinitesimale stukjes, die samen het gebied onder een curve beschrijven. In wiskundige termen, de integraal van een functie over een bepaald interval is het oppervlak onder de grafiek van die functie tussen de grenzen van het interval.

Formule voor de onbepaalde integraal:
\int f(x) \, dx = F(x) + C
Waarbij F(x) de primitieve functie is en C de integratieconstante.

Question 6

Wat is het verschil tussen een onbepaalde en een bepaalde integraal?

Answer 6

• Onbepaalde integraal: Geeft de verzameling van alle antiderivaten van een functie, zonder specifieke grenzen.
• Bepaalde integraal: Berekent het exacte gebied onder de curve tussen twee specifieke grenzen a en b , en heeft een numerieke waarde.

Question 7

Wat is de fundamentele stelling van de calculus?

Answer 7

De fundamentele stelling van de calculus verbindt de afgeleide en de integraal. Het stelt dat het nemen van de afgeleide van de integraal van een functie gelijk is aan de oorspronkelijke functie, en vice versa.

Formule:
\int_a^b f{\prime}(x) \, dx = f(b) - f(a)

Question 8

Wat is de productregel in de differentiaalrekening?

Answer 8

De productregel wordt gebruikt om de afgeleide van het product van twee functies te berekenen. Het zegt dat de afgeleide van het product van twee functies gelijk is aan het product van de eerste functie en de afgeleide van de tweede, plus het product van de tweede functie en de afgeleide van de eerste.

Formule:
\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f{\prime}(x)g(x) + f(x)g{\prime}(x)

Question 9

Wat is een partiële afgeleide?

Answer 9

Een partiële afgeleide is de afgeleide van een functie met meerdere variabelen ten opzichte van één van die variabelen, waarbij alle andere variabelen constant worden gehouden. Dit wordt veel gebruikt in functies van twee of meer variabelen, bijvoorbeeld in economie of fysica.

Formule:
Als f(x, y) een functie is van x en y , dan is de partiële afgeleide van f ten opzichte van x :
\frac{\partial f}{\partial x}

Question 10

Wat is een Riemannsom?

Answer 10

Een Riemannsom is een benadering van de integraal van een functie door het op te delen in rechthoeken. Hoe kleiner de breedte van de rechthoeken, hoe nauwkeuriger de benadering van de integraal wordt. Dit concept is de basis voor het berekenen van integralen.

Formule:
\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x