Ableitungsregeln Flashcards
Was ist die Produktregel der Ableitungen?
Die Produktregel besagt, dass die Ableitung des Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) gegeben ist durch: (f * g)’ = f’ * g + f * g’.
Wie lautet die Quotientenregel der Ableitungen?
Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen f(x) und g(x) gegeben ist durch: (f / g)’ = (f’ * g - f * g’) / g².
Wann wendet man die Kettenregel an?
Die Kettenregel wird angewendet, wenn eine Funktion in einer anderen Funktion eingebettet ist, also bei zusammengesetzten Funktionen.
Formuliere die Kettenregel mathematisch.
Die Kettenregel lautet: Wenn y = f(g(x)), dann ist die Ableitung y’ = f’(g(x)) * g’(x).
Welche Funktion ist ein Beispiel für die Anwendung der Produktregel?
Ein Beispiel ist f(x) = x² * sin(x).
Was ist das Ergebnis der Ableitung von f(x) = x² * sin(x) nach der Produktregel?
f’(x) = 2x * sin(x) + x² * cos(x).
Gilt die Produktregel auch für mehr als zwei Funktionen?
Ja, die Produktregel kann auf n Funktionen erweitert werden: (f₁ * f₂ * … * fₙ)’ = f₁’ * f₂ * … * fₙ + f₁ * f₂’ * … * fₙ + … + f₁ * f₂ * … * fₙ’.
Was passiert, wenn der Nenner in der Quotientenregel null wird?
Wenn der Nenner null wird, ist die Ableitung nicht definiert, da man nicht durch null teilen kann.
Was ist die Ableitung von f(x) = (x² + 1) / (x - 1) nach der Quotientenregel?
f’(x) = [(2x)(x - 1) - (x² + 1)(1)] / (x - 1)².
Was ist die Ableitung von g(x) = e^(sin(x)) nach der Kettenregel?
g’(x) = e^(sin(x)) * cos(x).
Was ist die Ableitung von h(x) = ln(x² + 1)?
h’(x) = (2x) / (x² + 1).
Wie lautet die Produktregel in Worten?
Die Ableitung eines Produkts ist die Summe der Ableitungen jedes Faktors multipliziert mit dem jeweils anderen Faktor.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = (x² + 3x + 2)²?
f’(x) = 2(x² + 3x + 2)(2x + 3) nach der Kettenregel.
Was beschreibt die Ableitung einer Funktion?
Die Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Funktion oder die Steigung der Tangente an einem Punkt.
Nenne eine wichtige Voraussetzung für die Anwendung der Quotientenregel.
Der Nenner darf nicht null sein.
Was ist die Ableitung von f(x) = sin(x) * cos(x)?
f’(x) = cos²(x) - sin²(x) nach der Produktregel.
Wie lautet die allgemeine Form der Kettenregel?
Wenn y = f(g(x)), dann ist die Ableitung y’ = f’(g(x)) * g’(x).
Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = √x?
f’(x) = 1 / (2√x)
Was ist die allgemeine Form der Wurzelfunktion, die abgeleitet werden kann?
f(x) = x^(1/n) für n > 0
Wie lautet die Ableitungsregel für die Funktion f(x) = x^(1/2)?
f’(x) = (1/2)x^(-1/2)
