7 Der Satz von Seifert und van Kampen

Question 1

(S) Satz von Seifert und van Kampen (allgemein)

Answer 1

(X,O) topologischer Raum, U1, U2 ⊆X offen mit U1 ∪ U2 =X, ik : Uk → X und jk : U1 ∩ U2 → Uk Inklusionsabbildungen.

Dann ist das folgende Diagramm ein Pushout in der Kategorie der Gruppoide […].

Question 2

(S) Satz von Seifert und van Kampen (reduziert)

Answer 2

(X, O) topologischer Raum, A, U1, U2 ⊆X mit U1, U2 offen, U1 ∪ U2 =X, jede Wegzusammenhangskomponente von U1, U2, U1 ∩ U2 enthält einen Punkt aus A.

Dann ist das folgende Diagramm ein Pushout in der Kategorie der Gruppoide […].

wobei ΠA1 (V ) für V ⊆ X die volle Unterkategorie von Π1(V ) mit Objekten in A ∩ V bezeichnet.

Question 3

(K) Satz von Seifert und van Kampen für Fundamentalgruppen

Answer 3

(X, O) topologischer Raum, U1, U2 ⊆ X offen mit X = U1 ∪ U2, Inklusionsabbildungen ik : Uk → X und jk : U1∩U2 → Uk.

Sind U1, U2 und U1 ∩ U2 wegzusammenhängend, so ist für alle Punkte x ∈ U1 ∩ U2 das folgende Diagramm ein Pushout in der Kategorie Grp […].

Bezeichnen wir mit ιk : π1(x,Uk) → π1(x,U1) ⋆ π1(x,U2) die Inklusionsabbildungen für das freie Produkt, so folgt daraus für alle x ∈ U1 ∩ U2

π1(x, X) ∼= π1(x, U1) ⋆ π1(x, U2) mit N = ⟨ι1 ◦ π1(j1)([γ]) · ι2 ◦ π1(j2)([γ]−1) : [γ] ∈ π1(x, U1 ∩ U2)⟩.